人教A版数学必修1：1-1-1集合的含义与表示

1.1.1《集合的含义与表示》

一、选择题

1．方程组?

???? 3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( ) A.?????

x ＝3y ＝－7 B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}

C ．{3，－7}

D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}

[答案] D

[解析] 解方程组????? 3x ＋y ＝22x －3y ＝27得?????

x ＝3y ＝－7 用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D.

2．集合A ＝{x ∈Z |y ＝

12x ＋3，y ∈Z }的元素个数为( ) A ．4

B ．5

C ．10

D ．12 [答案] D

[解析] 12能被x ＋3整除．∴y ＝±1，±2，±3，±4，±6，±12，相应的x 的值有十二个：9，－15,3，－9,1，－7,0，－6，－1，－5，－2，－4.故选D.

3．集合A ＝{一条边长为2，一个角为30°的等腰三角形}，其中的元素个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．无数个 [答案] C

[解析] 两腰为2，底角为30°；或两腰为2，顶角为30°；或底边为2，底角为30°；或底边为2，顶角为30°.共4个元素，因此选C.

4．已知a 、b 、c 为非零实数，代数式a |a |＋b |b |＋c |c |＋abc |abc |

的值所组成的集合为M ，则下列判断中正确的是( )

A ．0?M

B ．－4?M

C ．2∈M

D ．4∈M [答案] D

[解析] a 、b 、c 皆为负数时代数式值为－4，a 、b 、c 二负一正时代数式值为0，a 、b 、c 一负二正时代数式值为0，a 、b 、c 皆为正数时代数式值为4，∴M ＝{－4,0,4}．

5．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为( )

A ．{(x ，y )|x ＝0，y ≠0或x ≠0，y ＝0}

B ．{(x ，y )|x ＝0且y ＝0}

C ．{(x ，y )|xy ＝0}

D ．{(x ，y )|x ，y 不同时为零}

[答案] C

[解析] 在x 轴上的点(x ，y )，必有y ＝0；在y 轴上的点(x ，y )，必有x ＝0，∴xy ＝0.

6．集合M ＝{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }的意义是( )

A ．第二象限内的点集

B ．第四象限内的点集

C ．第二、四象限内的点集

D ．不在第一、三象限内的点的集合

[答案] D

[解析] ∵xy ≤0，∴xy ＜0或xy ＝0

当xy ＜0时，则有????? x ＜0y ＞0或?????

x ＞0y ＜0，点(x ，y )在二、四象限， 当xy ＝0时，则有x ＝0或y ＝0，点(x ，y )在坐标轴上，故选D.

7．方程组?????

x ＋y ＝1x 2－y 2＝9的解(x ，y )构成的集合是( ) A ．(5,4) B ．{5，－4}

C ．{(－5,4)}

D ．{(5，－4)} [答案] D

[解析] 首先A ，B 都不对，将x ＝5，y ＝－4代入检验知是方程组的解．∴选D.

*8.集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是

( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

[答案] D

[解析] 由集合元素的互异性知，a 、b 、c 两两不等．

9．设a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a

，b }，则b －a 等于( ) A ．1

B ．－1

C ．2

D ．－2

[答案] C

[解析] ∵{1，a ＋b ，a }＝{0，b a

，b }， ∴a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ，∴b a

＝－1， ∴a ＝－1，b ＝1，∴b －a ＝2.故选C.

10．设集合A ＝{0,1,2}，B ＝{－1,1,3}，若集合P ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B ，且x ≠y }，则集合P 中元素个数为( )

A ．3个

B ．6个

C ．9个

D ．8个

[答案] D

[解析] x ∈A ，对于x 的每一个值，y 都有3个值与之对应，但由于x ≠y ，∴x ＝1，y ＝1，不合题意，故共有3×3－1＝8个．

[点评] 可用列举法一一列出：

P ＝{(0，－1)，(0,1)，(0,3)，(1，－1)，(1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)}．

二、填空题

11．将集合{(x ，y )|2x ＋3y ＝16，x ，y ∈N }用列举法表示为________．

[答案] {(2,4)，(5,2)，(8,0)}

[解析] ∵3y ＝16－2x ＝2(8－x )，且x ∈N ，y ∈N ，

∴y 为偶数且y ≤5，

∴当x ＝2时，y ＝4，当x ＝5时y ＝2，当x ＝8时，y ＝0.

12．已知A ＝{1,0，－1,2}，B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝________.

[答案] {1,0,2}

[解析] 当x ＝1时，y ＝1；x ＝0时，y ＝0；x ＝－1时，y ＝1；x ＝2时，y ＝2，∴B ＝{1,0,2}．

13．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是________．

[答案] 2或4

[解析] ∵a ∈A ，∴a ＝2或a ＝4或a ＝6，而当a ＝2和a ＝4时，6－a ∈A ，∴a ＝2或a ＝4.

三、解答题

14．用列举法表示集合．

(1)平方等于16的实数全体；

(2)比2大3的实数全体；

(3)方程x 2＝4的解集；

(4)大于0小于5的整数的全体．

[解析] (1){－4,4} (2){5} (3){－2,2} (4){1,2,3,4}．

15．用描述法表示下列集合：

(1){0,2,4,6,8}；

(2){3,9,27,81，…}；

(3)????

??12，34，56，78，…； (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．

[解析] (1){x ∈N |0≤x <10，且x 是偶数}．

(2){x |x ＝3n ，n ∈N ＋}．

(3){x |x ＝2n －12n

，n ∈N ＋}． (4){x |x ＝5n ＋2，n ∈Z }．

*16.设A 表示集合{2,3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{|a ＋3|,2}，若已知5∈A ，且5?B ，求实数a 的值．

[解析] ∵5∈A ，且5?B ，∴?????

a 2＋2a －3＝5，|a ＋3|≠5， 即?????

a ＝－4或a ＝2，a ≠2且a ≠－8，∴a ＝－4. 17．已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }：

(1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；

(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．

[分析] 集合A 是方程ax 2－3x －4＝0的解集．A 中有两个元素，即方程有两个相异实根，必有a ≠0；A 中至多有一个元素，则a ≠0时，应有Δ≤0；a ＝0时，恰有一个元素．

[解析] (1)∵A 中有两个元素，∴关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根， ∴?????

Δ＝9＋16a >0a ≠0，即a >－916且a ≠0. (2)当a ＝0时，A ＝{－43

}；当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－3x －4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，∴Δ＝9＋16a ≤0，即a ≤－916.故所求的a 的取值范围是a ≤－916

或a ＝0. *18.设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2008＋b 2007.

[解析] 解法1：∵A ＝B ，∴????? a 2＝1，ab ＝b ，或?????

a 2＝

b ，ab ＝1. 解方程组得，????? a ＝－1，b ＝0，或?????

a ＝1，

b ＝1，或a ＝1，b 为任意实数． 由集合元素的互异性得a ≠1，

∴a ＝－1，b ＝0，故a 2008＋b 2007＝1.

解法2：由A ＝B ，可得

?

???? 1·a ·b ＝a ·a 2·ab ，1＋a ＋b ＝a ＋a 2＋ab ， 即?????

ab (a 3－1)＝0 ①(a －1)(a ＋b ＋1)＝0 ② 因为集合中的元素互异，所以a ≠0，a ≠1. 解方程组得，a ＝－1，b ＝0.故a 2008＋b 2007＝1.