(整理)数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章.

第十七章 多元函数微分学

一、证明题

1. 证明函数 ??

???=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.

2. 证明函数

??

???=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222

在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.

3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.

4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有

x y

1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:

(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;

(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.

6.设Z=()

22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x

Z ??+y 1y Z ??=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:

x Z ?? sec x + y Z ??secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换

x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ

之下.()2x f +()2

y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).

则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2

v

g .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,

F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),

试求:F x (0,0)与F g (0,0)

10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式

F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)

则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:

()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).

并证明:Z=xy y x xy 222

-+为二次齐次函数.

11..设f(x,y,z)具有性质f ()

Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0) 证明:

(1) f(x,y,z)=??? ??m k n x Z ,x y ,

1f x ; (2) ()z ,y ,x x f x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).

12.设由行列式表示的函数

D(t)=()()()

()()()

()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211????

??????????????????????????

其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明

()dt t dD =∑=n 1k ()()()

()()()()()()

t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211????

????????????????????'???''???????????????????????? 13.证明:

(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);

(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);

(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;

(4) grad f(u)=f '(u)grad u.

14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.

15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有

43=6

cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22

e t a 21

--π(a,b 为常数)

满足热传导方程:t

u ??=222x u a ?? 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ??+22y

u ??=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ??+2

2y u ??=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+?,证明:

???x

u y x u 2???=???y u 22x u ??. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),

21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有

f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)

二、计算题

1.求下列函数的偏导数:

(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1

+;

(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctg

x y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=z

x y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x

.

2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsin

y

x ; 求f x (x,1). 3. 设 ??

???=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222

考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.

4. 证明函数Z=2

2y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.

5. 考察函数 ??

???=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.

6. 求下列函数在给定点的全微分;

(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x

+在点(1,0),(0,1).

7. 求下列函数的全微分;

(1) Z=ysin(x+y);

(2) u=xe yx +e -z +y

8. 求曲面Z=arctg x y 在点??? ?

?4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.

10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.

11. 计算近似值:

(1) 1.002×2.0032×3.0043;

(2) sin29°×tg46°.

12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.

13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续

(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?

(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?

(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?

14. 求曲面Z=4

y x 2

2+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=v

w 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求

x dZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ??,y

Z ??; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求

dt

Z ?; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ??,v Z ??; (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ??,y

u ??; (6) 设u=f ???? ??Z y ,y x ,求x u ??,y u ??,Z

u ??. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.

18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.

19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3

z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ??? ??r 1,其中r=

()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.

21设函数u=22

2222b

y a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求:

(1)grad r; (2)grad r

1. 23.设u=x 3+y 3+z 3-3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴

(3)恒为零向量.

24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?

25.求下列函数的高阶偏导数:

(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2,所有二阶偏导数;

(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23???,23y

x z ???; (4) u=xyze x+y+z ,r

q p z q p z y x u ????++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数; (6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数;

(7)Z=f(x+y,xy,y

x ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式: (1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止);

(2) f(x,y)=y

x 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);

(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,-2).

27.求下列函数的极值点:

(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);

(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;

(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).

28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.

(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}

4y 2≤; (2) Z=22y x y x +-,(){}

1y x y ,x ≤+; (3) Z=sinx+sing -sin(x+y),()(){}

π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x

29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.

30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y -16=0的距离平方和最小.

31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .

试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.

32.设 u=2

22z y x z y x

1 1 1

求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .

33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、

三、考研复习题

1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明

f x +f y +f z =(x+y+z)2.

2. 求函数

??

???=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.

3. 设 1n

n 1n 21n 12

n 2221n 21 x

x x x x x x

x x 1

1 1u ---=

证明: (1)∑==??n 1k k 0;x u (2) ∑=-=??n 1k k k u 2

1)n(n x u x .

4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f(a y k x h dt g(t)d n n n ++???

? ????+??=. 5. 设 22x 求x

k z h y g y f x e z d z

c y b x a z)y,(x,??+++++++++=??. 6. 设 (z )

h (z )h (z )h (y )g (y )g (y )g (x )f (x )f (x )f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3????. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.

8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n

2π,证明

∑==n 1i 0Li 0)(p f

.

9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明

1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=???? ?

???+?? .

10. 对于函数f(x,y)=sin x

y ,试证 m

y y x x ???? ????+??f=0.

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