级数的收敛性
序列与级数的收敛性判断方法
序列与级数的收敛性判断方法序列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
在研究序列与级数的性质时，我们常常需要判断它们的收敛性。
本文将介绍一些常用的判断序列与级数收敛性的方法。
一、序列的收敛性判断方法1. 有界性判断法对于一个序列来说，如果存在一个实数M，使得对于所有的正整数n，都有|an|≤M成立，那么称该序列是有界的。
有界序列一定是收敛的，而且收敛到的极限值就是序列的上确界或下确界。
2. 单调性判断法如果一个序列是单调递增的，并且有上界，那么它一定是收敛的。
同样地，如果一个序列是单调递减的，并且有下界，那么它也是收敛的。
这是因为有界单调序列必定存在极限。
3. 夹逼定理夹逼定理是判断序列收敛性的常用方法。
如果一个序列an满足对于所有的正整数n，都有bn≤an≤cn成立，并且序列bn和cn都收敛到同一个极限L，那么序列an也收敛到L。
4. 子序列的收敛性判断法如果一个序列的子序列收敛到某个极限L，那么该序列也收敛到L。
这是因为子序列是原序列的一部分，它们的收敛性是相互联系的。
二、级数的收敛性判断方法1. 正项级数的收敛性判断法如果一个级数的每一项都是非负数，并且序列{Sn}的部分和有上界，即存在一个实数M，使得对于所有的正整数n，都有Sn≤M成立，那么该级数是收敛的。
2. 比较判别法比较判别法是判断级数收敛性的常用方法。
如果一个级数的每一项都是非负数，并且存在另一个级数{bn}，使得对于所有的正整数n，都有0≤an≤bn成立，那么如果级数{bn}收敛，那么级数{an}也收敛；如果级数{bn}发散，那么级数{an}也发散。
3. 比值判别法比值判别法是判断级数收敛性的重要方法。
对于一个级数an，如果存在正实数r，使得对于充分大的正整数n，都有|an+1/an|≤r成立，那么：- 如果0≤r<1，那么级数an是绝对收敛的；- 如果r>1，那么级数an是发散的；- 如果r=1，那么比值判别法无法确定级数an的收敛性。
不定积分的级数收敛性
不定积分的级数收敛性对于不定积分，我们通常采用分部积分法和换元法来求解。
然而有些特殊的函数却无法采用这些方法进行求解，这时我们则需要用到级数收敛性的知识。
一、级数的概念我们先来了解一下级数的概念。
级数是由一列数按一定规律相加得到的一种数列，通常是由无穷多个数相加得到。
比如，下面这个级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} +\frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots$$其中$\frac{1}{n^2}$就是级数的一般项，上下限分别为$1$和$\infty$。
二、级数的收敛性对于级数收敛性的判断有两种方式：一是使用比较、比值、根值等判别法，二是使用级数收敛的必要条件：柯西收敛准则和阿贝尔收敛准则。
1. 比较、比值、根值等判别法这些方法的共同特点是要求找到一个级数，这个级数的求和过程比原级数更容易得到或更容易判断收敛性。
如果这个级数收敛，原级数也收敛；如果这个级数发散，原级数也发散。
2. 柯西收敛准则柯西收敛准则就是要求序列$\{s_n\}$的柯西序列$\{S_n\}$收敛。
即：$$\lim\limits_{n\to \infty}|s_{n+p}-s_n| = 0$$这意味着，无论$p$取多大，如果$n$取得足够大，$|s_{n+p}-s_n|$都会小于任何一个正数$\epsilon$。
那么就可以说明$\{s_n\}$是收敛的，反之$\{s_n\}$就是发散的。
3. 阿贝尔收敛准则对于形如$\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cdot b_n$这个级数，如果$b_n$为单调有界数列且$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则该级数也一定收敛。
三、不定积分的级数收敛性了解了以上的基本知识后，我们再来看一下不定积分的级数收敛性。
对于某些特殊的函数，在进行不定积分后得到的结果往往会是无法直接求解的。
级数的收敛性讲解
级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具. 级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用.
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对于有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数，
这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是:
称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和.
定义2 若数项级数(1)的部分和数列 {Sn }收敛于 S
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(即
lim
n
Sn
S
),
则称数项级数(1)收敛,
S 称为数
项级数(1)的和,记作
S u1 u2 L un L , 或 S un . n1
若 {Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散.
定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要
条件是:任给正数 , 总存在正整数 N ,使得当 m N
以及对任意的正整数 p 都有
um1 um2 L um p .
(6)
根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻
写出级数(1)发散的充要条件是: 存在某正数 0 , 对
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n
nnnn
lim
n
1
1 n2
1
n2
n
nn
10
所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.
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例5
运用级数收敛的柯西准则证明级数
1 n2
收敛.
证 由于
级数的收敛性判定与计算
级数的收敛性判定与计算级数是数学中一种特殊的数列求和形式。
在数学分析中，我们通常关心的是级数的收敛性判定与计算。
本文将介绍几种常见的级数收敛性判定方法，并以例子详细说明其计算过程。
一、级数的收敛性判定在讨论级数的收敛性之前，先来了解一下级数的定义。
设有数列{an}，则数列{an}的和称为级数，用Σan表示。
1.正项级数收敛判定如果对于数列{an}的每一项都有an≥0且数列{an}的部分和序列{s1, s2, s3, ...}有上界，则称Σan为正项级数。
关于正项级数的收敛性，有以下判定定理：（1）Cauchy准则：正项级数Σan收敛当且仅当对任意ε>0，存在N∈N，当n>N时，对任意的m>n，有|sm-sn|<ε。
（2）比较判别法：若存在正数c，当n>N时，对任意的m>n，有an≤cn，则正项级数Σan收敛。
（3）极限判别法：如果lim(n→∞)(an+1/an)=l，其中l>0或l=+∞，则正项级数Σan与Σan收敛或发散。
2.交错级数收敛判定若级数Σ(-1)^(n-1)an的一般项是由正项和负项构成的交错形式，则称之为交错级数。
关于交错级数的收敛性，有以下判定定理：（1）莱布尼茨判别法：对于交错级数Σ(-1)^(n-1)an，若满足an≥0、an递减（即an+1≤an）且lim(n→∞)an=0，则交错级数Σ(-1)^(n-1)an收敛。
3.绝对收敛和条件收敛对于级数Σan，若级数Σ|an|收敛，则称Σan为绝对收敛级数；若Σan收敛而Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛级数。
二、级数的计算在判断级数的收敛性后，有时我们还需要计算级数的和。
以下是几种常见的级数计算方法。
1.等差级数等差级数是指数列项的差值为常数的级数。
对于等差级数Σa+(n-1)d，其求和公式为Sn=(n/2)[2a+(n-1)d]，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2.几何级数几何级数是指数列项的比值为常数的级数。
函数的级数展开与级数的收敛性
函数的级数展开与级数的收敛性级数展开是数学中一种常见的数值方法，可以将一个函数用一个级数表示出来。
而级数的收敛性则是判断级数求和的性质，是非常重要的一个概念。
本文将介绍函数的级数展开的概念、级数展开的方法，以及级数的收敛性判断方式。
一、函数的级数展开的概念函数的级数展开是指将一个给定的函数表示为无穷级数的形式。
一般情况下，我们可以利用泰勒级数展开或者傅里叶级数展开来表示一个函数。
泰勒级数展开适用于可微函数的展开，傅里叶级数展开适用于周期函数的展开。
无论是哪种展开方式，都可以将一个函数用一系列的项相加来表示。
二、泰勒级数展开的方法泰勒级数展开是将一个可微函数展开成无穷级数的方法。
泰勒级数展开的主要思想是利用函数在某一点处的导数来逼近函数的值。
具体的方法是首先将函数在某一点处展开成幂级数的形式，然后利用函数的导数来确定每一项的系数，从而得到函数的级数展开。
三、傅里叶级数展开的方法傅里叶级数展开是将一个周期函数展开成正弦函数和余弦函数的无穷级数的方法。
傅里叶级数展开的主要思想是利用正弦函数和余弦函数的正交性质来逼近周期函数。
具体的方法是利用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示一个函数，通过求解傅里叶系数来确定每一项的权重，从而得到函数的级数展开。
四、级数的收敛性判断方式在对一个级数进行求和时，我们需要判断这个级数是否收敛。
级数的收敛性可以通过多种方法来判断，其中常用的有比值判别法、根值判别法和积分判别法。
比值判别法是根据级数的项之间的比值的极限来判断收敛性；根值判别法是根据级数的项的绝对值的开根号的极限来判断收敛性；积分判别法是将级数与一个已知的收敛级数进行比较，通过比较它们的积分来判断收敛性。
综上所述，函数的级数展开是一种将一个函数用无穷级数表示的方法，可以通过泰勒级数展开或傅里叶级数展开来实现。
在对级数进行求和时，我们需要判断级数的收敛性，可以通过比值判别法、根值判别法和积分判别法来进行判断。
级数展开与级数的收敛性是数学中非常重要的概念和方法，对于理解和应用数学有着重要的意义。
级数的收敛性
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S 21
1
1， 2
S4
S22
1
1 2
1 3
1 4
1
1 2
1 2
1
2， 2
S8 S23
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
(un vn ) un vn S1 S2 .
n1
n1
n1
例7.
因为等比级数
n1
1与 2 n n1
1 收敛，所以级数
3n
1
n1 2n
1 3n
也收敛.
例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？
答：是发散的.
问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1 (1
3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例3. 讨论等比级数 ar n1 的敛散性. n1
解：等比级数的部分和为：
S n
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) .
1 r
当公比
1. 无穷级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
级数的收敛性
n
用比较判别法，需要事先有一个敛散性已知的合适级数作为比较的基础，用
起来不大方便，我们用几何级数作比较可以导出两个简便判别法.
二 比式判别法和根式判别法
定理 7 （达朗贝尔判别法或比值判别法）有正项级数 un n1
2020/2/29
15
i) 若 存 在 N, n N 时 有
un1
级数的收敛性：若
lim
n
S
n
S
存在，称级数
un 收敛S， 称为级数的和；
n1
余和：称 rn S Sn uk 为级数 un 的余和
kn
n1
若部分和数列{Sn} 发散，则称级数 un 发散，发散级数没有和。 n1
这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
和
n n2
1 n
的敛散性 .
解 前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛 .
2020/2/29
19
三 积分判别法
级数与无穷积分的关系 :
n1
f (x)dx f u n ,
1
n1 n
n 1
n1
其中 un f . 无穷积分可化为级数 ;
n1 n p
例 1）
1
，
n1 n(n 2 1)
解
1
1 ， 而 1 收敛
n(n 2 1) n3/ 2
n3/ 2
n1
由比较判别法，级数
1
收敛。
n1 n(n 2 1)
例 2）
1
n1 3 n 2 1
级数收敛性判断方法总结
级数收敛性判断方法总结级数是由无限多项式相加而成的一个数列，对于级数来说，有两个重要的性质，即级数的收敛性和发散性。
收敛性是指级数的和可以无限接近一些数，而发散性是指级数的和无法无限接近一些数，可能趋向于无穷大或无穷小。
判断一个级数是否收敛的方法有很多，下面是一些常用的方法总结：1.有限和法：如果一个级数的部分和随着项数的增加趋于一些有限数，那么该级数收敛，否则发散。
2.单调有界法：如果一个级数的一般项是单调递减（或递增）的，并且一般项的绝对值是有界的，那么该级数收敛。
3.比较判别法：如果一个级数的一般项与一个已知的收敛（或发散）级数的一般项相比，它们之间的大小关系足够清楚，那么该级数的收敛性与已知级数的收敛性相同。
a. 比较判别法之比较法：若对于级数∑an和∑bn来说，存在一个正数c，使得当n足够大时，有，an，≤c，bn，那么∑bn收敛必有∑an收敛；b. 比较判别法之极限判别法：若对于级数∑an和∑bn来说，当n趋向于无穷时，有lim(an/bn)=c（其中c为常数）存在而不为0和正无穷大，那么∑bn与∑an同时收敛或∑bn与∑an同时发散。
4. 比值判别法：对于级数∑an来说，如果存在正数c，当n足够大时，有，an+1/an，≤c（0≤c<1），那么级数∑an收敛；如果存在正数c，当n足够大时，有，an+1/an，≥c（c>1），那么级数∑an发散；如果不存在这样的c，那么级数∑an的收敛与发散是不确定的。
5. 根值判别法：对于级数∑an来说，如果存在正数c，当n足够大时，有(√(，an+1，))/√(，an，)≤c（0≤c<1），那么级数∑an收敛；如果存在正数c，当n足够大时，有(√(，an+1，))/√(，an，)≥c（c>1），那么级数∑an发散；如果不存在这样的c，那么级数∑an的收敛与发散是不确定的。
6.积分判别法：对于非负函数f(x)，当函数在[1,+∞)上单调递减有界，则级数∑f(n)与曲线y=f(x)所围成图形的面积为收敛；若级数∑f(n)与曲线y=f(x)所围成的图形面积为发散。
级数与收敛性
级数与收敛性级数是数学中一个重要的概念，它是由一系列无穷多个数的和所组成的。
在研究级数的时候，一个关键的问题是判断级数是否收敛，即求出级数的和是否存在。
一、级数的定义我们先来看一下级数的定义。
给定一个无穷数列 {a1, a2, a3, ...}，级数表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，S表示级数的和。
二、级数的收敛性在判断级数的收敛性时，我们首先需要了解如下的一些概念。
1. 部分和级数的部分和表示为：Sn = a1 + a2 + ... + an其中，Sn表示级数的前n项和。
2. 收敛若存在一个实数L，使得级数的部分和 {Sn} 逐渐趋近于L，即当n 趋向于无穷大时，Sn无限接近L，则称级数收敛，并且L就是该级数的和。
这样的级数也被称为收敛级数。
3. 发散如果一个级数不收敛，则称其为发散。
三、判断级数收敛性的准则下面介绍一些常见的判断级数收敛性的准则。
1. 正项级数收敛准则如果级数的每一项都为非负数，并且级数的部分和是有界的，那么该级数收敛。
2. 比较判别法对于两个级数，如果存在一个正数M，使得对于所有的n，有|an| ≤ M|bn|，那么当级数∑bn收敛时，级数∑an也收敛；当级数∑bn发散时，级数∑an也发散。
3. 极限判别法设有两个关于n的正实数数列 {an} 和 {bn}，如果极限lim(n→∞) (an/bn) = L，其中L是一个正常数，并且级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛；若级数∑bn发散，则级数∑an也发散。
四、级数求和的方法在确定级数收敛后，我们希望能求出级数的和。
下面介绍两种常见的求和方法。
1. 部分和级数的部分和Sn表示级数的前n项和，如果Sn的极限存在，则该极限即为级数的和。
2. 常数项级数常数项级数是指由一个常数项和一个变化项组成的级数，常数项和可以直接计算出来，而变化项的和则通过数学方法求解。
总结：级数是数学中的一个重要概念，我们可以通过判断级数的收敛性来了解级数是否有和。
级数与收敛性判定方法
级数与收敛性判定方法级数是数学中一个重要的概念，它是由一列数相加而得到的数列。
在数学中，级数的收敛性判定方法是一个关键的问题，它帮助我们确定级数是否会趋于一个有限的值。
本文将介绍一些常见的级数和收敛性判定方法。
一、等差级数等差级数是最简单的级数形式，它由一个常数项和一个公差确定。
例如，1+2+3+4+...就是一个等差级数，其中常数项为1，公差为1。
对于等差级数，我们可以使用求和公式来判断其是否收敛。
对于等差级数1+2+3+4+...，我们可以使用求和公式S = n(n+1)/2来计算其和，其中n为级数的项数。
如果n趋于无穷大时，求和公式的结果也趋于无穷大，那么该等差级数就是发散的；反之，如果求和公式的结果趋于有限的值，那么该等差级数就是收敛的。
二、等比级数等比级数是由一个常数项和一个公比确定的级数。
例如，1+2+4+8+...就是一个等比级数，其中常数项为1，公比为2。
对于等比级数，我们可以使用求和公式S = a/(1-r)来计算其和，其中a为常数项，r为公比。
同样地，如果公比r的绝对值大于1，那么等比级数就是发散的；反之，如果公比r的绝对值小于1，那么等比级数就是收敛的。
当公比r的绝对值等于1时，等比级数可能是发散的也可能是收敛的，这时我们需要进一步分析级数的项是否趋于无穷大。
三、幂级数幂级数是由一列系数和一列幂指数确定的级数。
例如，1+x+x^2+x^3+...就是一个幂级数，其中系数为1，幂指数递增。
对于幂级数，我们可以使用比值判别法来判断其收敛性。
比值判别法是通过计算级数的相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。
具体地，如果这个极限小于1，那么幂级数就是收敛的；如果这个极限大于1，那么幂级数就是发散的；如果这个极限等于1，那么比值判别法无法确定级数的收敛性，我们需要使用其他方法进一步分析。
四、绝对收敛与条件收敛在判断级数的收敛性时，还需要考虑绝对收敛和条件收敛的概念。
如果一个级数的绝对值级数收敛，那么我们称该级数是绝对收敛的；如果一个级数本身收敛但其绝对值级数发散，那么我们称该级数是条件收敛的。
级数的收敛性
则部分和
a(1qn ) 1q
因此级数收敛 , 其和为 S
a
从而 lim Sn
n
a 1q
;
1 q
因此级数发散 .
从而
lim
n
Sn
,
9
2). 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
4
4 n
n0 3
此为等比级数，公比
q 4 1 该级数发散。
3
11
例3. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
lim
n
un
lim
n
S
n
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
23
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
n1 n
23
n
证明: 考虑曲边为 y 1曲边梯形的面积(如图),
序列与级数的收敛性
序列与级数的收敛性序列是由一系列数字按一定次序排成的数列，而级数是由一个无穷序列的和来表示的数列。
也就是说，级数是序列的和，序列可以看作是级数的元素。
对于序列和级数，我们通常关心其收敛性。
一、序列的收敛性如果一个序列有一个有限的极限值，我们称之为这个序列是收敛的。
比如，考虑序列{1/2, 1/4, 1/8, ……}，这是一个几何级数，其通项公式为an=1/2^n，当n趋于无穷大时，an的值趋近于零，因此该序列的极限值为零，所以它是一个收敛序列。
如果一个序列没有有限的极限值，我们称之为这个序列是发散的。
比如，考虑序列{1, -1, 1, -1, ……}，这是一个由1和-1交替组成的序列，它不会趋近于任何一个有限值，因此该序列是发散的。
二、级数的收敛性对于级数，我们不仅关心其通项公式的趋势，还要考虑其和的收敛性。
如果一个级数有一个有限的和，我们称之为这个级数是收敛的。
比如，考虑级数∑(1/2^n)，如上所述，由于这是一个收敛序列，因此根据级数的定义，这个级数的和是有限的，即2。
如果一个级数的和是无限的，我们称之为这个级数是发散的。
比如，考虑级数∑n，它的通项公式为an=n，它的和是发散的。
三、确定序列和级数的收敛性在实际问题中，我们需要确定序列和级数的收敛性，这需要使用一些判断方法。
1. 收敛序列的判别法对于序列，有如下判断方法：• 收敛序列的必要条件：序列有极限值，即序列随着n的增大而不断趋近于一个确定的值。
• 收敛序列的充分条件：序列的通项公式满足极限判别法、比较判别法等。
极限判别法：如果一个序列的通项公式可以表示为an=sin(nπ/2^n)，它可以证明收敛。
比较判别法：如果给定的序列可以比较大于一个收敛的序列，同时小于一个发散的序列，则说明该序列收敛。
2. 收敛级数的判别法对于级数，有如下判断方法：• 收敛级数的必要条件：级数可以将无限的项相加得到一个有限的值。
• 收敛级数的充分条件：在比较判别法和极限判别法的基础上，还有交错级数法、级数换项法、Cauchy判别法等。
高等数学中的级数收敛性与发散性分析
高等数学中的级数收敛性与发散性分析在高等数学中，级数是一种重要的数学概念，它是一列数的无穷和。
在研究级数时，我们通常关注它的收敛性与发散性。
收敛性指的是级数的和是否趋于一个有限的数，而发散性则表示级数的和是否趋于无穷大或者发散到无穷大。
为了分析级数的收敛性与发散性，我们需要了解一些重要的概念和判别法。
首先，我们来讨论级数的收敛性。
1. 收敛级数如果一个级数的部分和数列收敛，那么该级数就是收敛的。
一般用S_n表示级数的前n项部分和。
如果数列S_n收敛到一个有限的数S，即 lim(n->∞) S_n = S，那么该级数就是收敛的，并且它的和为S。
2. 绝对收敛级数如果一个级数的各项绝对值之和收敛，那么该级数就是绝对收敛的。
一般用Σ|a_n|表示级数的各项绝对值之和。
如果Σ|a_n|收敛，那么级数Σa_n也一定收敛。
3. 条件收敛级数如果一个级数是收敛但不是绝对收敛的，那么该级数就是条件收敛的。
条件收敛级数的收敛性依赖于数列项的正负项交替变化的性质。
接下来，我们讨论级数的发散性。
1. 发散级数如果一个级数的部分和数列发散或者趋于无穷大，那么该级数就是发散的。
一般用lim(n->∞) S_n= ±∞表示级数的和为无穷大。
2. 正项级数如果一个级数的所有项都是非负数，那么它就是正项级数。
正项级数的收敛性可以通过下列常见的判别法来判断：- 比较判别法：如果存在一个收敛级数Σb_n，使得当n足够大时，恒有|a_n|≤b_n，则正项级数Σa_n也收敛。
- 极限判别法：如果lim(n->∞) (a_(n+1)/a_n) = L，其中L是一个实数（可以是0或∞），那么正项级数Σa_n的收敛性和L有关。
当0≤L<1时，级数收敛；当L>1时，级数发散；当L=1时，判别不出，需要进一步分析。
除了上述常见的判别法外，还有其他判别法，如根值判别法、比值判别法等。
综上所述，在高等数学中，我们可以通过分析级数的部分和数列的性质、绝对值之和的收敛性、数列项的正负交替变化等方法来判断一个级数的收敛性与发散性。
级数收敛性判断方法
级数收敛性判断方法
有多种方法可以判断级数的收敛性，下面列举了一些常见的方法：
1. 利用基本判别法：例如，比较判别法、积分判别法和极限判别法。
- 比较判别法：将待判断的级数和一个已知收敛的级数进行比较，如果原级数的通项绝对值小于等于已知级数的通项绝对值，则原级数收敛。
- 积分判别法：将待判断的级数的通项与一个函数的通项进行比较，并进行积分运算，如果积分收敛，则原级数收敛。
- 极限判别法：对待判断的级数求极限，如果极限存在且不为零，则级数发散；如果极限为零，则级数可能收敛。
2. 利用比值判别法和根值判别法：对待判断的级数求出通项的绝对值的比值或根值的极限，通过比较极限值和阈值的大小，判断级数的收敛性。
- 比值判别法：当求得的极限小于1时，级数收敛；当极限大于1时，级数发散。
- 根值判别法：当求得的极限小于1时，级数收敛；当极限大于1时，级数发散。
3. 利用级数特性：柯西收敛准则和绝对收敛。
- 柯西收敛准则：如果对于任意正数ε，存在正整数N，使得对于任意的n > N，都有级数前N项之后的所有项的绝对值之和小于ε，则级数收敛。
- 绝对收敛：如果级数的每一项都取绝对值，并判断其是否收敛，如果收敛，则原级数也是绝对收敛的。
需要注意的是，以上方法仅为一些常用方法，并不能对所有级数都适用。
对于一些特殊的级数，可能需要使用其他的收敛性判断方法。
级数收敛性与绝对收敛性
级数收敛性与绝对收敛性级数是数学中重要的概念之一，它由一系列数的无限求和构成。
在研究级数的性质时，我们常常关注收敛性和绝对收敛性。
本文将介绍级数的收敛性和绝对收敛性，并分析它们的特点和相关定理。
一、级数的收敛性级数的收敛性是指当级数的部分和逐渐趋近于某个有限数时，我们称该级数是收敛的。
如果级数的部分和无限逼近无穷大，或者没有确定的趋近，那么我们称该级数是发散的。
对于一个级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，其部分和可以表示为$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k $。
如果对于任意的正实数 $\varepsilon $，存在正整数 N，当 n > N 时，有 $| S_n - S| < \varepsilon $，其中 S 是某个有限数，那么我们称级数收敛于 S。
我们可以通过一些方法来判断级数的收敛性，如比较审敛法、极限审敛法、积分审敛法等。
这些方法基于一些特殊级数的性质和常用的极限定理，通过比较或者变换，判断原级数的收敛性。
二、级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性是指级数的每一项都是非负的，并且级数的绝对值收敛。
如果一个级数绝对收敛，那么它一定是收敛的。
对于一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛，那么我们称其为绝对收敛的。
绝对收敛是一种更强的收敛性，它保证了级数的每一项绝对值的部分和存在有限极限。
绝对收敛性在分析数学和函数论中占有重要地位，很多重要的级数都是绝对收敛的。
绝对收敛级数具有一些重要的性质，比如可以对其进行任意交换和分组。
三、级数收敛性的相关定理在研究级数的收敛性和绝对收敛性时，一些重要的定理为我们提供了判断的方法和条件。
1. 比较审敛法：如果一个级数的绝对值收敛，那么它的每一项的绝对值小于一个已知收敛的级数的每一项的绝对值，那么该级数也收敛。
同样地，如果一个级数的绝对值发散，而它的每一项的绝对值大于一个已知发散的级数的每一项的绝对值，那么该级数也发散。
级数的收敛性
un (unk11 L unk ) vk .
n1
k 1
k 1
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
于是, 若{Sn }为收敛级数 un 的部分和数列, 则级数
vk的部分和数列 Snk 是Sn的一个子列. 由于
Sn
收敛,且
lim
n
Sn
S.
故由子列性质，
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
1 (1) 1 (1) L
中，如果将其写作
(1 1) (1 1) (1 1) L 0 0 0 L ,
结果肯定是0，而写作
1 [(1) 1] [(1) 1] L 1 0 0 0 L ,
则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”; 如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新
S 称为数
项级数(1)的和,记作 S u1 u2 un , 或 S un . n1
若 {Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散.
例1 讨论等比级数(也称几何级数)
a aq aq2 L aqn L
(3)
的收敛性(a≠0).
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
例6 判别下列级数的敛散性： 1 1 1 1 1 1 L 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1
解 考虑加括号的级数
1 2 1
1 2
1
1 3 1
1 3 1
其一般项
1 4 1
1 4
证明级数收敛的方法
证明级数收敛的方法
有多种方法可以证明级数的收敛性，下面列举了一些常见的方法：
1. 比较判别法：对于给定的级数∑a_n和∑b_n，如果存在正整数N，使得当n>N 时，恒有0≤a_n≤b_n成立，且∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
或者，如果存在正整数N，使得当n>N时，恒有0≤a_n≥b_n成立，且∑b_n发散，则∑a_n也发散。
2. 比值判别法：对于给定的级数∑a_n，如果存在正实数r，使得当n足够大时，有r·a_(n+1)/a_n <1，则∑a_n收敛。
反之，如果r·a_(n+1)/a_n >1，则∑a_n 发散。
其中，r称为比值判别法的比值。
3. 根值判别法：对于给定的级数∑a_n，如果存在正实数r，使得当n足够大时，有a_n ^1/n<r<1，则∑a_n收敛。
反之，如果r·a_n ^1/n>1，则∑a_n发散。
其中，r称为根值判别法的根值。
4. 积分判别法：对于给定的级数∑a_n，如果存在一个在区间[1,∞]上的连续函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上单调递减且f(n)=a_n（n∈N），则∫(f(x))dx（从1到无穷）与∑a_n具有相同的收敛性。
5. 部分和判别法：对于给定的级数∑a_n，如果∑S_n收敛，其中S_n是∑a_n的部分和，则∑a_n也收敛。
反之，如果∑S_n发散，则∑a_n也发散。
需要注意的是，这些判别法是可行的充分条件，但不一定是必要条件。
而且，在具体分析级数时，可能需要根据级数的特点灵活运用这些方法。
级数收敛定义
级数收敛定义级数是数学中的一个重要概念，它是指将一系列数相加所得到的无穷和。
在数学中，我们经常需要讨论级数的收敛性问题，这是因为级数的收敛性质与许多数学问题密切相关。
本文将介绍级数收敛的定义、性质以及一些常见的判别法。
一、级数的定义定义1：若数列 {a_n} 的和 s_n 满足当 n 趋向于无穷大时，s_n 趋向于一个有限数 s，则称级数∑a_n 收敛于 s，记作∑a_n=s。
定义2：若数列 {a_n} 的和 s_n 满足当 n 趋向于无穷大时，s_n 趋向于正无穷大或负无穷大，则称级数∑a_n 发散。
二、级数的性质1.级数收敛的必要条件是其通项趋于零。
即当∑a_n 收敛时，必有 lim n→∞ a_n=0。
证明：假设∑a_n 收敛，若 lim n→∞ a_n≠0，则存在一个正数ε，使得对于所有的 n，有 |a_n|≥ε，从而∑|a_n|≥∑ε=+∞，这与级数收敛的定义相矛盾。
2.级数的收敛性与级数的部分和有关。
即若级数∑a_n 收敛，则其部分和数列 {s_n} 有界。
证明：由级数收敛的定义可知，对于任意的ε>0，存在一个正整数 N，使得当 n>N 时，有 |s_n-s|<ε。
取ε=1，则存在正整数 N1，使得当 n>N1 时，有 |s_n-s|<1，即 s_n-1<s<s_n+1。
于是对于任意的 n>N1，有 |s_n|≤|s|+1，即数列 {s_n} 有界。
3.级数的收敛性具有可加性。
即若级数∑a_n 和∑b_n 均收敛，则级数∑(a_n+b_n) 也收敛，并且有∑(a_n+b_n)=∑a_n+∑b_n。
证明：设∑a_n=s1，∑b_n=s2，∑(a_n+b_n)=s3。
则对于任意的ε>0，由级数收敛的定义可知，存在正整数 N1，N2，N3，使得当n>N1，n>N2，n>N3 时，有|s1-s_n|<ε/2，|s2-t_n|<ε/2，|s3-(s_n+t_n)|<ε。
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
显然, 若函数列 fn 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上
每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,
它在 D 上不一定一致收敛.
例2
中的函数列
sin nx
n
是一致收敛的,
f
(
x
)
0,
1,
| x | 1, x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时, 就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
下面来证明这个结论.
事实上 ,
若取 0
1 2
,
对任何正整数 N 2,
1
取正整数
n0
N
及
x0
1
1 N
N
(0,
1),
就有
x0n0 0
1 1 1. N2
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
解析性质的关系.
例如, 能否由函数列每项的连续性、可导性来判断出 极限函数的连续性和可导性; 或极限函数的导数或积 分是否分别是函数列每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性 提出更高的要求才行.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
limsup |
n xD
fn(x)
f
( x) | 0.
(6)
证 必要性 若 fn( x) f ( x) (n ), x D. 则对任 给的正数 , 存在不依赖于 x 的正整数 N, 当n N 时,
有 | fn( x) f ( x) | , x D.
由上确界的定义, 对所有 n N , 也有
n
所以函数列sin nx n的收敛域为 (, ),
极限函数为 f ( x) 0.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远远
不够的, 重要的是要研究极限函数与函数列所具有的
fn( x) f ( x)(n ) , x D.
由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列趋
于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
为与: 相对应的 N 仅与 有关, 而与x在D上的取值无关,
因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 N ( ).
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
§1 级数的收敛性
对于一般项是函 数的无穷级数，其收敛 性要比数项级数复杂得 多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富， 它在理论和应用上有着 重要的地位.
一、函数列及其一致收敛性
二、函数项级数及其一致收 敛性
三、函数项级数的一致收敛 判别法
*点击以上标题可直接前往对应内容
fm(x) ||
fn(x)
f (x) | |
f (x)
fm(x) |
2
2
.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）
函数列 { fn }在数集 D 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数 N , 使当 n, m N ,
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
当 x 0 和 x 1 时, 对任何正整数 n , 都有
| fn(0) f (0) | 0 ，
| fn(1) f (1) | 0 .
这就证明了 { fn } 在( 1 , 1] 上收敛, 且极限就是(3)式
f1( x0 ), f2( x0 ), L , fn( x0 ), L .
(2)
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 x0 收敛, x0 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 x0 发散. 当函数列(1)在数集 D E 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 一 点x 都有数列 { fn( x)}的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
例2
定义在 (, ) 上的函数列
fn(x)
sin nx , n
n 1,2,L
.
由于对任何实数 x, 都有
sin nx 1 , nn
故对任给的 0, 只要 n N 1 , 就有
sin nx 0 .
x1
不能全部落在由 y 与 y
夹成的带状区域内.
O
若函数列{ xn }只限于在区间 [0, b]
x2 x3
1x
(b 1) 上, 则容易看到, 只要n ln (其中 0 1),
ln b
曲线 y xn 就全部落在 y 和 y 所夹成的带状
区域内，所以 xn 在 0, b上是一致收敛的.
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）
函数列{ fn } 在数集 D 上一致收敛的充要条件是:
对任给正数 , 总存在正数 N , 使当 n, m N 时,
函数列 fn 一致收敛于 f 的几何意义:
0, N 0, 对于序 y
号大于 N 的所有曲线
y f (x)
y fn( x) (n N ),
y f (x)
y f (x) y fn(x)
都落在曲线 y f ( x)
与 y f ( x) 所夹的带 O a
bx
状区域之内.
图 13-1
对一切 x D, 都有
| fn( x) fm ( x) | .
(4)
充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则,
{ fn }在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f ( x), xD. 现固定(4)式中的n, 让m , 于是当n N时,
对一切 xD都有| fn( x) f ( x) | . 由定义1知,
函数项级数的一致 收敛性判别法
函数列 fn在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是:
存在某正数 0, 对任何正数 N, 必定存在 x0 D 和
正整数 n0 N ( 注意: x0 与 n0 的取值与 N 有关 ),
使得
fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0 .
由例1 中知道, xn 在 (0, 1) 上不可能一致收敛于 0.
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
函数列{xn} 在区间(0, 1)上不一致收敛从几何意义上看
就是存在某个预预先给定的 ( 1),
y
1
无论 N 多么大, 总存在某条曲线
y xn(n N ),
对一切 x D, 都有
| fn( x) fm ( x) | .
(4)
证 必要性 设 fn( x) f ( x) (n ), x D, 即对
任给 0, 存在正数N, 使得当 n N 时, 对一切 x D,
都有
|
fn(x)
f
( x) |
. 2
(5)
于是当n,m N ,由(5)得
|
fn(x)
或
lim
n
fn(x)
f (x) ,
xD
fn(x) f (x) (n ) , x D.
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
函数列极限 的 N 定义
对每一固定的 x D , 任给正数 , 总存在正 数N , (注意: 一般说来N值与 和 x的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间的依赖关系) 使当 n N 时, 总有
所表示的函数.
又 当| x | 1时, 有 | x |n (n ), 当 x 1时,
对应的数列为 1, 1, 1, 1L , 显然是发散的. 所以函数列 { xn } 在区间 (1, 1]外都是发散的. 故所讨论的函数列的收敛域是 (1, 1].
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数