级数的收敛性

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fn( x) f ( x) (n ), x D.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
根据一致收敛定义可推出下述定理:
定理13.2(余项准则)
函数列{ fn }在区间 D上一致收敛于f 的充分必要条件是:
§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
例2
定义在 (, ) 上的函数列
fn(x)
sin nx , n
n 1,2,L
.
由于对任何实数 x, 都有
sin nx 1 , nn
故对任给的 0, 只要 n N 1 , 就有
sin nx 0 .
limsup |
n xD
fn(x)
f
( x) | 0.
(6)
证 必要性 若 fn( x) f ( x) (n ), x D. 则对任 给的正数 , 存在不依赖于 x 的正整数 N, 当n N 时,
有 | fn( x) f ( x) | , x D.
由上确界的定义, 对所有 n N , 也有
收敛,而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用
较为方便. 如例2, 由于
lim sup sin nx 0 lim 1 0,
因为对任意给定的正数 , 不论 x取(-,+)上什么值 ,
只要取 N 1 ,当 n N 时, 恒有 sin nx .
n
所以函数列sinnnx
在(-,+)上一致收敛于
f
(x)
0.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
x1
不能全部落在由 y 与 y
夹成的带状区域内.
O
若函数列{ xn }只限于在区间 [0, b]
x2 x3
1x
(b 1) 上, 则容易看到, 只要n ln (其中 0 1),
ln b
曲线 y xn 就全部落在 y 和 y 所夹成的带状
区域内,所以 xn 在 0, b上是一致收敛的.
对一切 x D, 都有
| fn( x) fm ( x) | .
(4)
证 必要性 设 fn( x) f ( x) (n ), x D, 即对
任给 0, 存在正数N, 使得当 n N 时, 对一切 x D,
都有
|
fn(x)
f
( x) |
. 2
(5)
于是当n,m N ,由(5)得
|
fn(x)
limsup |
n xD
fn(x)
f ( x) |
0.
(6)
充分性 由假设, 对任给 >0, 存在正整数N, 使得
当n N 时,有 sup | fn( x) f ( x) | .
(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
| fn ( x) f ( x) | sup | fn( x) f ( x) | .
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
显然, 若函数列 fn 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上
每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,
它在 D 上不一定一致收敛.
例2
中的函数列
sin nx
n
是一致收敛的,
对一切 x D, 都有
| fn( x) fm ( x) | .
(4)
充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则,
{ fn }在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f ( x), xD. 现固定(4)式中的n, 让m , 于是当n N时,
对一切 xD都有| fn( x) f ( x) | . 由定义1知,
fn( x) f ( x)(n ) , x D.
由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列趋
于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
为与: 相对应的 N 仅与 有关, 而与x在D上的取值无关,
因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 N ( ).
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
n
所以函数列sin nx n的收敛域为 (, ),
极限函数为 f ( x) 0.
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远远
不够的, 重要的是要研究极限函数与函数列所具有的
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
§1 级数的收敛性
对于一般项是函 数的无穷级数,其收敛 性要比数项级数复杂得 多,特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富, 它在理论和应用上有着 重要的地位.
一、函数列及其一致收敛性
二、函数项级数及其一致收 敛性
三、函数项级数的一致收敛 判别法
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数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)
函数列{ fn } 在数集 D 上一致收敛的充要条件是:
对任给正数 , 总存在正数 N , 使当 n, m N 时,
下面来证明这个结论.
事实上 ,
若取 0
1 2
,
对任何正整数 N 2,
1
取正整数
n0
N

x0
1
1 N
N
(0,
1),
就有
x0n0 0
1 1 1. N2
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
当 x 0 和 x 1 时, 对任何正整数 n , 都有
| fn(0) f (0) | 0 ,
| fn(1) f (1) | 0 .
这就证明了 { fn } 在( 1 , 1] 上收敛, 且极限就是(3)式
函数项级数的一致 收敛性判别法
函数列 fn在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是:
存在某正数 0, 对任何正数 N, 必定存在 x0 D 和
正整数 n0 N ( 注意: x0 与 n0 的取值与 N 有关 ),
使得
fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0 .
由例1 中知道, xn 在 (0, 1) 上不可能一致收敛于 0.
f1( x0 ), f2( xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ), L , fn( x0 ), L .
(2)
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 x0 收敛, x0 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 x0 发散. 当函数列(1)在数集 D E 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 一 点x 都有数列 { fn( x)}的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
所表示的函数.
又 当| x | 1时, 有 | x |n (n ), 当 x 1时,
对应的数列为 1, 1, 1, 1L , 显然是发散的. 所以函数列 { xn } 在区间 (1, 1]外都是发散的. 故所讨论的函数列的收敛域是 (1, 1].
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解析性质的关系.
例如, 能否由函数列每项的连续性、可导性来判断出 极限函数的连续性和可导性; 或极限函数的导数或积 分是否分别是函数列每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性 提出更高的要求才行.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
sup | fn( x) f ( x) | .
xD
这就得到了(6)式.
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
定理13.2(余项准则)
函数列{ fn }在区间 D上一致收敛于f 的充分必要条件是:
xD
故由 (7) 式得 fn( x) f ( x) ,
于是 fn 在 D 上一致收敛于 f .
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么,
只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
函数列{xn} 在区间(0, 1)上不一致收敛从几何意义上看
就是存在某个预预先给定的 ( 1),
y
1
无论 N 多么大, 总存在某条曲线
y xn(n N ),
fm(x) ||
fn(x)
f (x) | |
f (x)
fm(x) |
2
2
.
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定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)
函数列 { fn }在数集 D 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数 N , 使当 n, m N ,
§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
函数列及其一致收敛性

f1, f2, L , fn , L
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数, 称为定义在 E 上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2,L .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
| fn( x) f ( x) | .
使函数列 { fn }收敛的全体收敛点集合, 称为函数列
{ fn }的收敛域.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
例1 设 fn( x) xn, n 1,2,L 为定义在(-, ) 上的 函数列, 证明它的收敛域是 (1, 1], 且有极限函数
函数列 fn 一致收敛于 f 的几何意义:
0, N 0, 对于序 y
号大于 N 的所有曲线
y f (x)
y fn( x) (n N ),
y f (x)
y f (x) y fn(x)
都落在曲线 y f ( x)
与 y f ( x) 所夹的带 O a
bx
状区域之内.
图 13-1
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
设函定义数1列{ fn } 与函数 f 定义在同一 数集 D 上,
若对任给的正数 , 总存在某一正整数 N , 使当
n N 时,对一切 x D, 都有
| fn( x) f ( x) | , 则称函数列 { fn} 在 D 上一致收敛于 f ,记作

lim
n
fn(x)
f (x) ,
xD
fn(x) f (x) (n ) , x D.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 级数的收敛性 函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
函数列极限 的 N 定义
对每一固定的 x D , 任给正数 , 总存在正 数N , (注意: 一般说来N值与 和 x的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间的依赖关系) 使当 n N 时, 总有
f
(
x
)
0,
1,
| x | 1, x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时, 就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
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