《数学建模与数学实验》实验指导书

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《数学建模与数学实验》实验指导书

目录

实验1 Matlab程序设计与作图 (1)

实验2 线性规划建模实验 (3)

实验3 无约束、非线性优化建模实验 (5)

实验4 常微分方程的求解与定性分析 (7)

实验5 统计方法回归分析建模实验 (9)

实验6 插值与拟合建模实验 (11)

实验7 人口增长模型及其数量预测 (13)

实验1 Matlab程序设计与作图

一、实验目的

熟悉MATLAB软件的用户环境；了解MATLAB软件的一般命令；掌握MATLAB 向量、数组、矩阵操作与运算函数；掌握MATLAB软件的基本绘图命令；掌握MATLAB 语言的几种循环、条件和开关选择结构，及其编程规范。

通过该实验的学习，使学生能灵活应用MATLAB软件解决一些简单问题，能借助MATLAB软件的绘图功能，对函数的特性进行探讨，广泛联想，大胆猜想，发现进而证实其中的规律。

二、实验学时数与实验类型

3学时，基础性实验

三、实验内容

1．MATLAB软件的数组操作及运算练习；

2．直接使用MATLAB软件进行作图练习；

3．用MATLAB语言编写命令M文件和函数M文件。

四、实验步骤

1．在D盘建立一个自己的文件夹；

2．开启软件平台——MATLAB，将你建立的文件夹加入到MATLAB的搜索路径中；

3．利用帮助了解函数max, min, sum, mean, sort, length，rand, size 和diag的功能和用法；

4．开启MATLAB编辑窗口，键入你编写的M文件（命令文件或函数文件）；

5．保存文件（注意将文件存入你自己的文件夹）并运行；

6．若出现错误，修改、运行直到输出正确结果；

7．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的

→问题→算法与编程→计算结果或图形→心得体会）

1. 已知矩阵??????????=321212113A ， ????

?

?????--=101012111B 要求：（1）屏幕输出A 与B ；（2）A 的转置A ′；（3）求A+B 的值；（4）求A-B 的值；（5）求4A ；（6）求A ×B ；（7）求A -1

．

2. 有一函数f (x ,y )=x 2+sin xy +2y ，写一程序，输入自变量的值，输出函数

值。

3. 用plot ，fplot 分别绘制函数y =cos(tan(πx ))图形。

4. 绘制函数?????-=-=)cos 1()sin (33t a y t t a x 在]2,0[π∈t 上的图形。

5. 作出下列曲面的三维图形：

???????∈∈=+=+=)

2,0(),2,0(,

sin ,sin )cos 1(,cos )cos 1(ππv u u z v u y v u x 6．建立一个M-文件：求所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个

三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。例如：153是一个水仙花数，因为153=13+53+33。

实验2 线性规划建模实验

一、实验目的

学习最优化技术和基本原理，了解最优化问题的分类；掌握线性规划的建模技巧和求解方法；熟悉MATLAB软件求解线性规划模型的基本命令；通过范例学习，熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。

通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对现实生活中的最优化问题，怎样提出假设和建立优化模型，并且学会使用MATLAB软件进行线性规划模型求解的基本命令。

二、实验学时数与实验类型

2学时，基础性实验

三、实验内容

1．最优化问题的提出，提出不同的假设可以建立不同的最优化模型；

2．建立线性规划模型的基本要素和步骤；

3．使用MATLAB命令对线性规划模型进行计算。

四、实验步骤

1．开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据问题，建立的线性规划模型，并编写求解规划模型的M文件；

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果；

5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

1．应用matlab求解以下线性规划模型

2050

030

120

..

4

3

6

min

32

1

3 2

1

3

2

1

≥

≤

≤

≥

=

+

+

+

+

=

x x

x

x x

x t s

x

x

x

z

2. 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，试建立一个数学模型，要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。

3．投资策略

某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目可供选择：

项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；

项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；

项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；

项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；

问如何确定投资策略使第五年末本息总额达最大？

实验3 无约束、非线性优化建模实验

一、实验目的

学习无约束、非线性规划模型的标准形式和建模方法；掌握建立无约束、非线性规划模型的基本要素和求解方法；熟悉MATLAB软件求解无约束、非线性规划模型的基本命令；通过范例学习，了解建立无约束、非线性规划模型的全过程，与线性规划比较其难点何在。

通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优化模型，并且使学生学会使用MATLAB软件进行无约束、非线性规划模型求解的基本命令。

二、实验学时数与实验类型

2学时，基础性实验

三、实验内容

1．建立无约束、非线性规划模型的基本要素和步骤；

2．熟悉使用MATLAB命令对无约束、非线性规划模型进行求解；

3．学会计算无约束优化问题和有约束优化问题的技巧。

四、实验步骤

1．开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据问题，建立无约束或非线性规划模型，并编写求解规划模型的M文件；

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果；

5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

1、求解无约束优化

2,1,55..713.2220),(min ))2cos()2(cos(5.0)(5.02.021212221=≤≤-+--=++-i x t s e e

x x f i x x x x ππ

1) 画出该曲面图形，直观地判断该函数的最优解；

2) 使用fminunc 命令求解，能否求到全局最优解？

2、求解非线性规划

125

0,

50,3600

10419.00

675..10201.0max 32172

3

2122

17

2

3

241≤≤≤≤≤≤≥-≥-=x x x x x x x t s x x x z 试判定你所求到的解是否是最优？

实验4 常微分方程的求解与定性分析

一、实验目的

1. 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；

2. 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；

3. 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；

4. 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；

通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。

二、实验学时数与实验类型

2学时，基础性实验

三、实验内容

1．微分方程及方程组的解析求解法；

2．微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；

3．直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；

4．利用图形对解的特征作定性分析；

5．建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。

四、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据微分方程求解步骤编写M文件

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．根据观察到的结果和体会写出实验报告。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问

题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。

y '= y + 2 x, y (0) = 1, 0< x <1；

y ''+ y cos( x ) = 0, y (0)=1, y '(0)=0；

2．求微分方程??

???====-+]100[0)0(;0)0(01.03t u

u u u u &&&的数值解，要求编写求解程序。 3．Rossler 微分方程组：

??

???-+=+=--=)('''c x z b z ay

x y z y x 当固定参数b=2，c=4时，试讨论随参数a 由小到大变化（如 a ∈(0，0.65))

而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？

4．导弹追踪问题

设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头

始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度v 0(是常数)沿平行于y 轴的直线行驶，导

弹的速度是5v 0，求导弹运行的曲线方程？乙舰行驶多远时，导弹将它击中？针

对该问题，分别采用解析法与数值解法建立其数学模型，并采用Matlab 软件进行求解。

实验5 统计方法回归分析建模实验

一、实验目的

学习统计方法回归分析的思想和基本原理；掌握建立回归模型的基本步骤，明确回归分析的主要任务；熟悉MATLAB软件进行回归模型的各种统计分析；通过范例学习，熟悉统计分析思想和建立回归模型的基本要素。

通过该实验的学习，使学生掌握回归分析的统计思想，认识面对什么样的实际问题可以建立回归模型，并且对回归模型作统计分析，同时使学生学会使用MATLAB软件进行回归分析和计算的基本命令，了解统计软件的功能和作用；熟悉处理大量数据的要领和方法。

二、实验学时数与实验类型

3学时，基础性实验

三、实验内容

1．线性回归模型的建立与分析步骤（问题假设→模型→参数估计→模型检验→确定最优回归方程→预测）；

2．非线性回归模型的建立与分析步骤；

3．使用MATLAB命令对回归模型进行计算与分析（包括模型检验与预测）；

4．利用某些数值与图形对统计特征作定性分析。

四、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．打开其它数据存放的软件平台，如excel、txt等软件；

3．在Matlab平台上调用数据文件；

4．根据问题和数据，建立的线性（或非线性）回归模型，并编写统计分析的M文件；

5．保存文件并运行；

6．观察运行结果(数值或图形)；

7．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问

题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）。

1.某校60名学生的一次考试成绩如下：

93 75 83 93 91 85 84 82 77 76

77 95 94 89 91 88 86 83 96 81

79 97 78 75 67 69 68 84 83 81

75 66 85 70 94 84 83 82 80 78

74 73 76 70 86 76 90 89 71 66

86 73 80 94 79 78 77 63 53 55

1) 计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；

2) 检验分布的正态性；

3) 若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。

2．观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s 关于t 的回归

方程2?ct bt a s

++=。 3.电影院调查电视广告费用和报纸广告费用对每周收入的影响，得到下面

的数据，试建立回归模型，并进行检验（写出模型检验的依据），并预测电视广告费用为1，报纸广告费用为6时的周收入（写出预测的程序指令）。

实验6 插值与拟合建模实验

一、实验目的

了解插值与拟合的基本原理和方法；掌握用MATLAB计算插值与作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；

通过动手作实验学习如何用插值与拟合方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验学时数与实验类型

2学时，基础性实验

三、实验内容

1．编写插值方法的函数M文件；

2．用MATLAB中的函数作函数的拟合图形；

3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

四、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据各种数值解法步骤编写M文件；

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）。

1．天文学家在1914年8月的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单

位：米），并取得常用对数值，与日期的一组历史数据如下表：

由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.93518？

2．在某海域测得一些点(x,y)处的水深z 由下表给出，船的吃水深度为5

英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。

（1） 输入插值基点数据；

（2） 在矩形区域（75，200）x （-50，150）作二维插值；

（3） 作海底曲面图；

（4） 作出水深小于5的海域范围，即z=5的等高线。

3．用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t 时刻的电压为 τt

e V V V t v ---=)()(0，其中V 0是电容器的初始电压，τ

是充电常数。试由下面一组t ，v 数据确定V 0和 τ。

实验7 人口增长模型及其数量预测

一、实验目的

学习由实际问题去建立数学模型的全过程；训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计 matlab程序来求解其中的数学模型；提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力。

通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。

二、实验学时数与实验类型

2学时，综合性实验

三、实验内容

1．数学建模的基本方法；

2．查阅资料理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型；

3．Matlab软件中曲线拟合函数的异常情况处理；

4．误差分析与模型检验。

四、实验步骤

1．分析理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型；

2．利用 Matlab 软件求解上述两个模型；

3．设计数据拟合方法；

4．编写M文件，保存文件并运行观察运行结果 ( 数值或图形 ) ，并进行误差分析；

5．利用至少两种模型预测人口数量；

6．分析、整理和总结，写出实验报告。

五、实验要求与任务

从 1790 — 1990 年间美国每隔 10 年的人口记录如下表所示：

用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010 年的人口数量。

提示 1 ： Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻 t的人口为x ( t )（即x ( t )为模型的状态变量），且初始时刻的人x，于是得到如下微分方程：

口为

提示 2 ：阻滞增长模型（或 Logistic 模型）由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的减函数，如设r(x)=r(1-x/x m) ，其中r为固有增长率 (x很小时 ) ，x m为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：

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