初中数学圆的经典测试题含答案解析

初中数学圆的经典测试题含答案解析

一、选择题

1．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，若∠ABD＝24°，则∠C 的度数是（）

A．48°B．42°C．34°D．24°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C＝42°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B＝∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．

【详解】

解：∵∠ABD＝24°，

∴∠AOC＝48°，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠OAC＝90°，

∴∠AOC+∠C＝90°，

∴∠C＝90°﹣48°＝42°，

故选：B．

【点睛】

考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC的度数，题目比较好，难度适中．

2．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=3，AC=4，则sin∠ABD的值是（）

A．4

3

B．

3

4

C．

3

5

D．

4

5

【答案】D

【解析】

【分析】

由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin∠ABD 的值．

【详解】

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴弧AC=弧AD，

∴∠ABD=∠ABC．

根据勾股定理求得AB=5，

∴sin∠ABD=sin∠ABC=4

5

．

故选D．

【点睛】

此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=22，则?AB的长是（）

A．πB．3

2

πC．2πD．

1

2

π

【答案】A

【解析】

【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．

【详解】连接OA、OB，

∵正方形ABCD内接于⊙O，

∴AB=BC=DC=AD，

∴????

AB BC CD DA

===，

∴∠AOB=1

4

×360°=90°，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，

解得：AO=2，

∴?AB的长为902 180

′

=π，

故选A．

【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．

4．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()

A．4 B．83C．6 D．43

【答案】B

【解析】

【分析】

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.

【详解】

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，

由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，

∴∠OAB=60°，

在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB3

∴光盘的直径为3

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.

5．已知下列命题：

①若a＞b，则ac＞bc；

②若a=1a；

③内错角相等；

④90°的圆周角所对的弦是直径．

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【解析】

【分析】

先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．

【详解】

解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；

②若a=1，则a=a是真命题，逆命题是假命题；

③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；

④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；

故选A．

点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

6．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=2

5

，则线段AC的长为（）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由

⊙O的半径是5，sinB=2

5

，即可求得答案．

【详解】

解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，

由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，

∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ，

∴∠B=∠D ，即sinB=sinD=25， ∵半径AO=5，

∴CD=10， ∴2sin 105

AC AC D CD =

==， ∴AC=4，

故选：C.

【点睛】

本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

7．如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作?AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）

A ．20833

π- B ．20833π+C ．20833π D ．20433

π 【答案】A

【解析】

【分析】 如图，连接CE ．图中S 阴影＝S 扇形BCE ?S 扇形BOD ?S △OCE ．根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝3，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．

【详解】

解：如图，连接CE ．

∵AC⊥BC，AC＝BC＝8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，

∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8．

又∵OE∥AC，

∴∠ACB＝∠COE＝90°．

∴在Rt△OEC中，OC＝4，CE＝8，

∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝43，

∴S阴影＝S扇形BCE?S扇形BOD?S△OCE

＝

2

2

60811

-4-443 36042

π

π

?

???

=20

-83 3

π

故选：A．

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．

8．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()

A．54°B．27°C．36°D．46°

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.【详解】

解：∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB＝54°，

∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，

∴∠ACB＝1

2

∠AOB＝36°．

故答案为C．

【点睛】

本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.

9．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】

解：如右图，

连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，

所以OP=1

2

AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以

O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．

故选D．

10．如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a＞0）与x轴交于A、B两点，顶点为C点．以C点为

圆心，半径为2画圆，点P 在⊙C 上，连接OP ，若OP 的最小值为3，则C 点坐标是（ ）

A ．522(,22-

B ．（4，﹣5）

C ．（3，﹣5）

D ．（3，﹣4）

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标，再由当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，列出关于a 的方程，即可求解．

【详解】

∵2650y ax ax a a +-=（

＞） 与x 轴交于A 、B 两点， ∴A （1，0）、B （5，0），

∵226534y ax ax a a x a =+=---（

） ， ∴顶点34C a （，-）

， 当点O 、P 、C 三点共线时，OP 取最小值为3，

∴OC ＝OP+2＝5， 29165(0)a a +=> ，

∴1a = ，

∴C （3，﹣4），

故选：D ．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长．

11．如图，O e 中，若66OA BC AOB ⊥∠=o 、，则ADC ∠的度数为（ ）

A ．33°

B ．56°

C ．57°

D ．66°

【答案】A

【解析】

【分析】 根据垂径定理可得??AC

AB =，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】

∵OA ⊥BC ，

∴??AC

AB =， ∵∠AOB=66°，∠AOB 和∠ADC 分别是?AB

和?AC 所对的圆心角和圆周角， ∴∠ADC=12

∠AOB=33°， 故选：A ．

【点睛】 本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理是解题关键．

12．如图，ABC V 是O e 的内接三角形，且AB AC =，56ABC ∠=?，O e 的直径CD 交AB 于点E ，则AED ∠的度数为（ ）

A ．99?

B ．100?

C ．101°

D ．102?

【答案】D

【解析】

【分析】 连接OB ，根据等腰三角形的性质得到∠A ，从而根据圆周角定理得出∠BOC ，再根据OB=OC 得出∠OBC ，即可得到∠OBE ，再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED 的度数.

【详解】

解：连接OB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=56°，

∴∠A=180°-56°-56°=68°=1

2

∠BOC，

∴∠BOC=68°×2=136°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=（180°-136°）÷2=22°，

∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°，

∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.

故选D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线OB，得到∠BOC的度数.

13．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是( )

A．22°B．26°C．32°D．68°

【答案】A

【解析】

试题分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍，则∠BOC=2∠A=136°，则根据三角形内角和定理可得：∠OBC+∠OCB=44°，根据OB=OC可得：∠OBC=∠OCB=22°.

考点：圆周角的计算

14．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径

画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）

A ．183π-

B ．183π

C ．32316π

D ．1839π-

【答案】C

【解析】

【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，

∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，

∵DF 是菱形的高，

∴DF ⊥AB ，

∴DF=AD ?sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2

120(43)84332316ππ??=． 故选：C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．

15．下列命题中正确的个数是（ ）

①过三点可以确定一个圆

②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5

③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米

④三角形的重心到三角形三边的距离相等．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】A

【解析】

【分析】

①根据圆的作法即可判断；

②先利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断；

③根据圆与圆的位置关系即可得出答案；

④根据重心的概念即可得出答案．

【详解】

①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故错误；

②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12， ∴斜边为2251213+= ,

∴它的外接圆半径为.113652

?=，故正确； ③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米或1厘米，故错误； ④三角形的内心到三角形三边的距离相等，故错误；

所以正确的只有1个，

故选：A ．

【点睛】

本题主要考查直角三角形外接圆半径，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念，掌握直角三角形外接圆半径的求法，圆与圆的位置关系，三角形内心，重心的概念是解题的关键．

16．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）

A ．4

B ．2

C ．23

D ．43

【答案】A

【解析】

试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A ． 考点：正多边形和圆．

17．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD 的度数是（ ）

A ．86°

B ．94°

C ．107°

D ．137° 【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵∠BOD=86°，

∴∠BAD=86°÷2=43°，

∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BCD=180°-43°=137°，

即∠BCD的度数是137°．

故选D．

【点睛】

本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

18．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.

图1图2

有如下四个结论：

①勒洛三角形是中心对称图形

②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等

③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④

【答案】B

【解析】

【分析】

逐一对选项进行分析即可.

【详解】

①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；

②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等，故②正确；

③图2中，设圆的半径为r

∴勒洛三角形的周长=

120

32

180

r

r

π

π?=

g g

圆的周长为2r

π

∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误故选B

【点睛】

本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键.

19．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）

A ．13

B ．12

C ．34

D ．1

【答案】B

【解析】 【分析】

根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长． 【详解】

圆锥的底面周长是：π；

设圆锥的底面半径是r ，则2πr=π．

解得：r=

12

． 故选B ．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

20．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323y x =

+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )

A ．3

B ．2

C 3

D 2 【答案】D

【解析】

【分析】

先根据题意，画出图形，令直线3x+ 23x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，作OH ⊥CD 于H ；

然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C 、D 两点的坐标值； 再在Rt △POC 中，利用勾股定理可计算出CD 的长，并利用面积法可计算出OH 的值； 最后连接OA ，利用切线的性质得OA ⊥PA ，在Rt △POH 中，利用勾股定理，得到21PA OP =-PA 的最小值即可.

【详解】

如图，令直线3x+23x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x=0时，y=3D（0，3

当y=033，解得x=-2，则C（-2，0），

∴22

2(23)4

CD=+=，

∵1

2

OH?CD=

1

2

OC?OD，

∴OH=23

3 4

?

=

连接OA，如图，

∵PA为⊙O的切线，

∴OA⊥PA，

∴2221

PA OP OA OP

=-=-

当OP的值最小时，PA的值最小，

而OP的最小值为OH的长，

∴PA22

(3)12

-=

故选D.

【点睛】

本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．