6.3 第六章 多项式回归,响应面

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那么产量可表示为:
yij b0 b1 N i b2 Pj b3 N i Pj b4 N b5 P ij
2 i 2 j
表13.66 大麦氮磷肥配比试验结果
氮 肥 0 86.9 110.4 134.3 3 162.5 204.4 238.9 6 216.4 276.7 295.9 9 274.7 342.8 363.3 12 274.3 343.4 361.7 15 301.4 368.4 345.4 18 270.3 335.1 351.5
U k U k 1 F Qk /[n (k 1)]

(11· 27)
可测验k 次多项式的适合性。

(三) 各次分量项的假设测验
偏回归平方和:

U Pi b c(i 1)(i 1)
2 i
(11· 28)

此 U P 具有 1 ,故由: i
F
U Pi Qk /[n (k 1)]
(11· 4)

显著,就可进一步计算回归统计数:
b SPyx / SSx ln a y bx ae

ln a

(11· 5)
ˆ ax b 的配置 三、幂函数曲线方程 y
b ˆ y ax
(11· 6)

当 y 和 x 都大于0时可线性化为:
ˆ ln a b ln x ln y
ln a

(11· 10)

四、Logistic曲线方程的配置

k y bx 1 ae
(a、b、k均>0)
(11· 11)

K 可由两种方法估计:
①如果y是累积频率,则显然k=100%;


②如果y是生长量或繁殖量,则可取3对观察值
(x1,y1)、(x2,y2)、和(x3,y3),代入(11· 11) 得:

(11· 24)
可测验多项式回归关系的真实性。

相关指数:R
y · x,x , ,x
2
k
,k 次多项式的回归平方
和占Y总平方和的比率的平方根值,可用来表示Y与X
的多项式的相关密切程度。
R y·x,x 2, U / SS k k y ,x

(11· 25)
决定系数:在Y 的总变异中,可由X 的k 次多项式

y 的总平方和 SSy 可分解为回归和离回归两部分:
SSy=Uk+Qk
(11· 21)
SS y Y Y (1Y)2 /n Qk Y Y b X Y U k b X Y (1Y)2 /n SS y Qk


(11·22)
k
k 2
k 1 a
k ˆ y bx 1 ae
x
第二节 曲线方程的配置

一、曲线回归分析的一般程序
ˆ aebx的配置 二、指数曲线方程 y


三、幂函数曲线方程的配置 四、Logistic曲线方程的配置

一、曲线回归分析的一般程序

曲线方程配置(curve fitting):是指对两个变数资 料进行曲线回归分析,获得一个显著的曲线方程的 过程。
ˆ aebx的配置 二、指数曲线方程 y


bx ˆ y ae
(11· 1)
两边取对数:
ˆ ln a bx ln y

(11· 2)
令 y ln y ,可得直线回归方程:
ˆ ln a bx y

(11· 3)
若 y 与x的线性相关系数:
ryx
SPyx SS y SSx
(11· 29)
可测验i次分量是否显著。
第五节
响应面分析

响应面分析:在多因素数量处理试验
的分析中,可以分析试验指标(依变量)
与多个试验因素(自变量)间的回归关 系,这种回归可能是曲线或曲面的关

在响应面分析中,首先要得到回归方:
ˆ f ( x1,x 2, y ,xl )
然后通过对自变量 x1,x 2, ,xl 的合理取值,求 得使 y ˆ f ( x1,x 2, ,xl ) 最优的值,这就是响应 面分析的目的。

(11· 7)
若令 y ln y ,x ln x ,即有线性回归方程:
ˆ ln a bx y

(11· 8)
若线性相关系数:
ryx
SPyx SS y SSx
(11· 9)

显著,回归统计数:
b SPyx / SS x

ln a y bx ae
b<0
图11.2 方程
ˆ =a+blnx y
x
的图象


三、幂函数曲线
幂函数曲线指y是x某次幂的函数曲线,其方程为:
b ˆ y ax
y
a>0 b>1
y
a>0,b<0
a>0 0< b<1
x
x
ˆ ax b 的图象 图11.3 方程 y


四、双曲函数曲线
双曲函数因其属于变形双曲线而得名,其曲线方程 一般有以下3种形式:
第十章 曲线回归

第一节 曲线的类型与特点 第二节 曲线方程的配置 第三节 多项式回归



曲线回归(curvilinear regression)或非线
性回归(non-linear regression):两个变数 间呈现曲线关系的回归。

曲线回归分析或非线性回归分析:以最小二
乘法分析曲线关系资料在数量变化上的特征 和规律的方法。

应用上述程序配置曲线方程时,应注意以下3点: (1) 若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置, 需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和
2 最小的当选。 ˆ ( y y )


(2) 若转换无法找出显著的直线化方程,可采用 多项式逼近,

(3) 当一些方程无法进行直线化转换,可采用最
小二乘法拟合。
磷肥 0 7 14
21
28 35
162.5
158.2 144.3
275.1
237.9 204.5
325.3
320.5 286.9
336.3
353.7 322.5
381.0
369.5 345.9
362.4
388.2 344.6
382.2
355.3 353.5
42
88.7
192.5
219.9
278.0
319.1
ˆ k a b1 x1 b2 x2 bk xk y
(11· 20)

可采用矩阵方法求解。即由
x 21 x k1 1 x11 x 22 x k 2 1 x12 1 x x 2 n x kn 1n
2 k x11 x 11 2 k x12 x 12 x12n x 1k n
k 次多项式的离回归标准误可定义为:
s y/x,x 2, ,x k

Qk n (k 1)
(11· 23)
即是多项式回归方程的估计标准误。


二、多项式回归的假设测验
多项式回归的假设测验包括三项内容: ①总的多项式回归关系是否成立? ②能否以k-1次多项式代替k次多项式,即是否有必


要配到k次式?
1 x11 1 x12 X 1 x 1n

y1 y2 Y y n

-1,并由 求得 X X 、 和 ( ) X X X Y
b=( X X)-1( X Y)获得相应的多项式回归统计数。

(四) 多项式回归方程的估计标准误
y1 k (1 ae bx1 ) bx2 y 2 k (1 ae ) bx3 y 3 k (1 ae )

若令 x2 ( x1 x3 ) / 2 ,解得:
2 y2 ( y1 y 3 ) 2 y1 y 2 y 3
k
(11· 12)
x ˆ y a bx
y
a bx ˆ y x
1 b
1 ˆ y a bx
y
a>0,b<0
a>0,b>0
x
ˆ 图11.4 方程 y
x 的图象 a bx

a b
xFra Baidu bibliotek


五、S型曲线
S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程,故 又称生长曲线。
y
ln a b

Logistic曲线方程为:


二次多项式,其方程为:
ˆ 2 a b1x b2 x y
2
(11· 17)

三次多项式的方程式为:
2 3 ˆ y3 a b1 x b2 x b3 x
(11· 18)

多项式方程的一般形式为:
ˆ k a b1 x b2 x bk x y
2

k
(11· 19)
(二)多项式方程次数的初步确定

多项式回归方程取的次数:散点所表现的曲线趋势
的峰数+谷数+1。若散点波动较大或峰谷两侧不
对称,可再高一次。

(三)多项式回归统计数的计算 可采用类似于多元线性回归的方法求解多项式回归

的统计数。

2 令 x1 x, 19)可化为: x2 x , … xk x k ,(11·
290.5
281.2

其中Ni、Pj、ij分别表示N、P施用量和误差,按此模
型的方差分析见表13.67。结果表明b2和b3这两个偏
回归系数不显著,应该将模型缩减,逐步去掉不显
著的回归系数,得到的模型为:。使用该模型分析
的结果为表13.68,从中可以看出b1,b4,b5是显著
的,b2达到显著,该模型的回归变异占总变异的98%,


三、幂函数曲线
四、双曲函数曲线 五、S型曲线
一、指数函数曲线

指数函数方程有两种形式:
ˆ ae y
y
bx
ˆ ab y
x
a>0,b>0
a>0,b<0
x
ˆ ae bx 的图象 图11.1方程 y


二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为:
ˆ a b ln x y
y
b>0

由试验数据配置曲线回归方程,一般包括以下3个基
本步骤:

1.根据变数X 与Y 之间的确切关系,选择适当的曲 线类型。

2.对选定的曲线类型,在线性化后按最小二乘法原
理配置直线回归方程,并作显著性测验。

3.将直线回归方程转换成相应的曲线回归方程,并
对有关统计参数作出推断。
表11.1 常用曲线回归方程的直线化方法

③在一个k次多项式中,X 的一次分量项、二次分量
项、…、k-1次分量项能否被略去(相应的自由度和
平方和并入误差)?

(一)多项式回归关系的假设测验
多项式回归(Uk)由X的各次分量项的不同所引起,具 有: k 。


离回归(Qk):与X 的不同无,具有 n (k 1) 。
Uk / k F Qk /[n (k 1)]

曲线回归分析方法的主要内容有:
① 确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规 律;


② 估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数,如
回归参数、极大值、极小值和渐近值等;

③ 为生产预测或试验控制进行内插,或在论据充足
时作出理论上的外推。
第一节 曲线的类型与特点

一、指数函数曲线 二、对数函数曲线
y y1 y 3
2 2
移项,取自然对数得:
ˆ ky ln( ) ln a bx ˆ y
(11· 13)

ky 令 y ln( ) ,可得直线回归方程: y
ˆ ln a bx y

(11· 14)
y 和 x 的相关系数:
ryx

SPyx SS y SS x

[例13.15] 有一个大麦氮磷肥配比试验,施氮肥量
为每亩尿素0,3,6,9,12,15,18kg 7个水平,
施磷肥量为每亩过磷酸钙0,7,14,21,28,35,
42kg 7个水平,共49个处理组合,试验结果列于表
13.66,试作产量对于氮、磷施肥量的响应面分析。

对于表13.66的数据可以采用二元二次多项式拟合,
说明的部分所占的比率。
R

2 y · x,x 2, ,x k
U k SS y
(二) k 次多项式必要性的假设测验

若k次多项式的k次项不显著,可由(k-1)次方程
描述Y 与X 的曲线关系。

有必要测验多项式增加一次所用去的1个自由度,
对于离回归平方和的减少(或回归平方和的增加)是
否“合算”。因此由:
(11· 15)
回归统计数 a 和 b 由下式估计:
b SPyx / SSx ln a y bx ln a ae
(11· 16)
第三节

多项式回归
一、多项式回归方程

二、多项式回归的假设测验
一、多项式回归方程

(一) 多项式回归方程式 多项式回归(polynomial regression):当两个变数 间的曲线关系很难确定时,可以使用多项式去逼近。
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