创新设计 数学一轮理科 人教A 课时作业 62 含答案

第2讲 等差数列及其前n 项和

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2014·温州二模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 33－S 2

2＝1，则其公差d ＝

( )

A.12

B ．2

C ．3

D ．4

解析 由S 33－S 2

2＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，

即a 1＋d －? ?

???a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.

答案 B

2．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4

成等比数列，则a 1＝

( )

A ．2

B ．－2

C.1

2

D ．－12

解析 由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 2

2＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12，故选D. 答案 D

3．(2015·石家庄模拟)已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为

( )

A ．24

B ．39

C ．104

D ．52

解析 因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，

所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和为13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×8

2＝

52，故选D. 答案 D

4．(2015·广州综合测试)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，公差d ≠0，若S 11＝132，a 3＋a k ＝24，则正整数k 的值为

( ) A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

解析 依题意得S 11＝11（a 1＋a 11）

2＝11a 6＝132，a 6＝12，于是有a 3＋a k ＝24

＝2a 6，因此3＋k ＝2×6＝12，k ＝9，故选A. 答案 A

5．(2014·武汉调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －5

7，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为

( )

A ．7

B ．8

C ．7或8

D ．8或9

解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－5

7的等差数列，所以a n ＝5－5

7(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C. 答案 C 二、填空题

6．(2014·肇庆二模)在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________． 解析 a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99. 答案 99

7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________．

解析

由题意知???2a 1＋d ＝6a 1＋6×5

2

d ，

a 1＋3d ＝1，

解得?????a 1＝7，d ＝－2，∴a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.

答案 －1

8．已知等差数列{a n }中，S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________．

解析 ∵{a n }为等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6 ＝2(S 6－S 3)－S 3 ＝2(36－9)－9＝45. 答案 45 三、解答题

9．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1

＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；

(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． (1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.

(2)解 由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.

令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得 {a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.

因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．

10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0. (1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使a n ≥S n . 解 (1)设公差为d ，则由S 2 015＝0? 2 015a 1＋2 015×2 014

2d ＝0?a 1＋1 007d ＝0，

d ＝－1

1 007a 1，a 1＋a n ＝

2 015－n 1 007a 1，

∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 015－n 1 007a 1＝a 1

2 014(2 015n －n 2)． ∵a 1<0，n ∈N *，

∴当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1. (2)a n ＝1 008－n

1 007a 1，

S n ≤a n ?a 1

2 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 017n ＋2 016≤0， 即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n ≤2 016. 故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016，n ∈N *}．

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

11．(2015·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1

7是较小的两份之和，则最小的一份为 ( ) A.53

B.103

C.5

6

D.116

解析 依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a －2m ，a －m ，a ，a ＋m ，a ＋2m ，则有

?????5a ＝100，a ＋（a ＋m ）＋（a ＋2m ）＝7（a －2m ＋a －m ），

解得a ＝20，m ＝11a 24，

a －2m ＝a 12＝53，即其中最小一份为5

3，故选A. 答案 A

12．(2014·杭州质量检测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋

1

(n ∈N *

)．若a 8a 7

＜－1，则

( )

A ．S n 的最大值是S 8

B ．S n 的最小值是S 8

C ．S n 的最大值是S 7

D ．S n 的最小值是S 7

解析 由条件得S n n ＜S n ＋1

n ＋1，即n （a 1＋a n ）2n ＜（n ＋1）（a 1＋a n ＋1）2（n ＋1），

所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8

a 7

＜－1，所以a 8＞0，a 7＜

0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D. 答案 D

13．(2014·陕西卷)已知f (x )＝

x

1＋x

，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 014(x )的表达式为________． 解析 由已知易知f n (x )＞0， ∵f n ＋1(x )＝f (f n (x ))＝

f n （x ）1＋f n （x ）

，

∴1f n ＋1（x ）＝1＋f n （x ）f n （x ）＝1f n （x ）＋1?1f n ＋1（x ）－1

f n （x ）＝1， ∴??????1f n （x ）是以1

f 1（x ）＝1＋x x 为首项，1为公差的等差数列．

∴1f n （x ）＝1＋x x ＋(n －1)×1＝1＋nx x ， ∴f n (x )＝x 1＋nx ，∴f 2 014(x )＝x 1＋2 014x

. 答案

x

1＋2 014x

14．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.

(1)求a 及k 的值；

(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n

n ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 解 (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2

＋k .

由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，

解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.

(2)由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n

n ＝n ＋1， 故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，

即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2

.