江西省赣中南五校2020-2021学年高三下学期第一次联考数学理试卷含解析【加16套高考模拟卷】

江西省赣中南五校2020-2021学年高三下学期第一次联考数学理试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3

π??

??

?

上单调递增 B ．直线8

x π=

需是函数()y f x =图象的一条对称轴

C ．点,04π??

???

是函数()y f x =图象的一个对称中心

D ．将函数()y f x =图象向左平移需

8

π

个单位，可得到2y x =的图象 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23

B ．25

C ．28

D ．29

3．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12

B ．21

C ．24

D ．36

4．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=?，则BD CD ?=（）

A ．4

B ．6

C ．

D ．5．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员?面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态?紧跟时代脉搏的热门APP ?该款软件主要设有“阅读文章”?“视听学习”两个学习模块和“每日答题”?“每周答题”?“专项答题”?“挑战答题”四个答题模块?某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（ ） A ．60

B ．192

C ．240

D ．432

6．执行如图的程序框图，若输出的结果2y =，则输入的x 值为( )

A ．3

B ．2-

C ．3或3-

D ．3或2-

7．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件

B ．甲9件，乙2件

C ．甲4件，乙5件

D ．甲2件，乙6件

8．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1

B ．5

C 3

D ．5

9．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ） A 2

B ．

22

C ．

24

D ．210．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

11．已知集合|03x A x Z x ??

=∈≤??+?

?

，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3

B ．4

C ．7

D ．8

12．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．

12

B ．5

C 5

D ．5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱1BB 的中点，点F 是棱1CC 靠近1C 的三等分点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为______．

14．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2

214

x y -=的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为

______.

15．已知0a >，0b >，4c ≥，且2a b +=，则5

2ac c c b ab +-+

___________． 16．数据1,3,5,7,9的标准差为_____．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=log 2（|x+1|+|x ﹣2|﹣m ）． （1）当m=7时，求函数f （x ）的定义域；

（2）若关于x 的不等式f （x ）≥2的解集是R ，求m 的取值范围． 18．（12分）已知函数()||f x x a =-

（1）当1a =-时，求不等式()|21|1f x x ≤+-的解集；

（2）若函数()()|3|g x f x x =-+的值域为A ，且[2,1]A -?，求a 的取值范围. 19．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin 3cos 2

cos 3sin x y θθθθ

=--??

=+?（θ为参数），坐标原点

为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ??

+=- ??

?

. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；

（2）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，D 是曲线1C 上的动点，求ABD △面积的最大值.

20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线2y x =-上动点，过点作M 抛物线C :2

x y =的两条

切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点. （1）证明:MN x ⊥轴；

（2）直线AB 是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

21．（12分）{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{max =，己知函数

{}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,242g x x x x a x a a ???

?=+-+-++?? ?????

.

（1）设2

1()()3(1)2h x f x x x ??=--- ??

?，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数；

（2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得3

()42

g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.

22．（10分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：

以加工这100个零件用时的频率代替概率. （1）求X 的分布列与数学期望EX ；

（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【解析】 【分析】

利用辅助角公式化简函数得到())4

f x x π

=-，再逐项判断正误得到答案.

【详解】

()sin 2cos 2)4

f x x x x π

=-=-

A 选项，132(,)4413

220,

x x ππππ??

∈? ?

?

?

-∈-函数先增后减，错误

B 选项，208

4

x x π

π

=?-=不是函数对称轴，错误 C 选项，24

4

4

x x π

π

π

=

?-

=

，不是对称中心，错误

D 选项，图象向左平移需8

π

个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确

故答案选D 【点睛】

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键. 2、D 【解析】 【分析】

由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】 解：

{}n a 是等差数列

95981S a ∴==

59a ∴=，又45a =， ∴公差为4d =，

410629a a d ∴=+=，

故选：D 【点睛】

考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 3、B 【解析】 【分析】

根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】

因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =， 所以73

173

a a d -=

=-，1320a a d =-=，

故1777()

212

a a S +=

= 故选：B 【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题. 4、B 【解析】 【分析】

根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，

菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=?，

∴120C ∠=?，∴22222222cos12012BD =+-????=， ∴23BD =30BDC ∠=?，

∴|||3

302|326BD CD BD CD cos =???==?， 故选B ． 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.． 5、C 【解析】 【分析】

四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类． 【详解】

四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不

同的方法数为31232

42243240A C A A A +=．

故选：C ． 【点睛】

本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法．

6、D 【解析】 【分析】

根据逆运算，倒推回求x 的值，根据x 的范围取舍即可得选项. 【详解】

因为2y =,所以当()1

2+12x =，解得3>0x = ，所以3是输入的x 的值； 当122x --=时，解得20x =-<，所以2-是输入的x 的值， 所以输入的x 的值为2- 或3， 故选：D. 【点睛】

本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题. 7、D 【解析】 【分析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】

设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*

4750,

,,

x y x y N +≤??∈? 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，

显然当55

99

y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 8、A

【解析】 【分析】

首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可． 【详解】 解：55(34)4334255

i i i i

z i +-+=

==-， 2

2

43155z ????

∴=-+= ? ?????

，

故选：A 【点睛】

本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 9、B 【解析】 【分析】

设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，求出向量DP ，求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围0,

2π??

????

，结合θ为定值，得出sin θ为定值，且P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【详解】

由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，

以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，

则可得1OB OC ==，3

232

OA =

=OA 的三等分点G 、F 如图， 则13

33

OG OA =

=

，2333AG OF OA ===，226

3

DG AD AG =-=

，1623EF DG ==，

所以()0,1,0B 、()0,1,0C -

、)

A

、33D ? ??

、,0,33E ??

? ???

， 由题意设(),,0P x y

，,DP x y ?= ??

，

ABD 和ACD 都是等边三角形，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，CE AD ⊥，

BE CE E =，AD ∴⊥平面BCE

，AD ?∴= ??

为平面BCE 的一个法向量，

因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则0,2π??θ∈????

， 由题意可得

sin cos ,AD DP AD DP AD DP

θ-

?=<>=

=

?

=

==

因为P 的轨迹为一段抛物线且tan θ为定值，则sin

θ也为定值，

22339

x x ==，可得23y =，此时sin θ=，则cos θ=，sin tan cos 2

θθθ==

. 故选：B. 【点睛】

考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题． 10、D 【解析】 【分析】

先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】

由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】

本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 11、C

【解析】 【分析】

解出集合A ，再由含有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个可得答案. 【详解】

解：由|

03x A x Z x ??

=∈≤??+?

?

，得{}|30{2,1,0}A x Z x =∈-<≤=-- 所以集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C 【点睛】

此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个，属于基础题. 12、C 【解析】

试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－

1

2

，b ＝－1

所以|a ＋bi|=

，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、12 【解析】 【分析】

由题意，设底面平行四边形ABCD 的BC a =，且BC 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。 【详解】

由题意，设底面平行四边形ABCD 的AB a ，且AB 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为

h ，

则直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh abh ==， 又由三棱锥1A AEF -的体积为11111111

23326

A AEF F AA E V V S h ah b abh --===??==， 解得12abh =，即直四棱柱的体积为12。 【点睛】

本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表