一元二次方程专题能力培优(含答案)

第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程

专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值

1.已知2

(3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）

A.m ≠3

B.m ≥3

C.m ≥-2

D. m ≥-2且m ≠3

2. 已知关于x 的方程2

1

(1)(2)10m

m x m x +++--=，问：

（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？

专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值

3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2

-1=0的常数项为0，求m 的值．

4.若一元二次方程2

(24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 .

专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式

5.已知关于x 的方程x 2

+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2

6.若一元二次方程ax 2

+bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 .

7.已知实数a 是一元二次方程x 2

－2013x+1=0的解，求代数式22

1

20122013

a a a +--的值.

知识要点：

1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2

是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.

3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.

温馨提示：

1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.

2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.

方法技巧：

1.ax k

+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.

2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领

会. 答案：

1. D 解析：

30

20

m

m

-≠

⎧

⎨

+≥

⎩

，解得m≥-2且m≠3

2.解：（1）当

212,

10

m

m

⎧+=

⎨

+≠

⎩

时，它是一元二次方程.解得：m=1．

当m=1时，原方程可化为2x2-x-1=0；

（2）当

20,

10

m

m

-≠

⎧

⎨

+=

⎩

或者当m+1+（m-2）≠0且m2+1=1时，它是一元一次方程.

解得：m=-1，m=0.

故当m=-1或0时，为一元一次方程．

3.解：由题意，得：

210,

10.

m

m

⎧-=

⎨

-≠

⎩

解得：m=－1．

4.a=-2 解析：由题意得

360,

240.

a

a

+=

⎧

⎨

-≠

⎩

解得a=－2.

5. A 解析：∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），∴a2－ab+a=0.∴a（a－b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．

6.x=－1 解析：比较两个式子

会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x2对应了第二

个式子中的1，第一个式子中的x对应了第二个式子中的-1.故

21

1

x

x

⎧=

⎨

=-

⎩

.解得x=－1.

7.解：∵实数a是一元二次方程x2－2013x+1=0的解，∴a2－2013a+1=0. ∴a2+1=2013a，a2－2013a=－1.

∴

2.2 一元二次方程的解法

专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值

1.若方程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或9

2.如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式，则m= .

3.用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．

专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围

4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）

A.没有实数根

B.可能有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根

D.有两个不相等的实数根

5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）

6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c

专题三解绝对值方程和高次方程

7.若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .

8.阅读题例，解答下题：

例：解方程x2－|x－1|－1=0.

解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.

解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.

（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.

解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.

综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.

依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．

专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系

9.探究下表中的奥秘，并完成填空：