中考数学专题复习 函数的实际应用题

专题复习(十) 函数的实际应用题

1．(2016·合肥蜀山区二模)为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭用水量划分为两个阶梯，一、二级阶梯用水的单价之比等于1∶2.如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y(元)与

用水量x(m 3

)之间的函数关系．其中射线AB 表示第二阶梯时y 与x 之间的函数关系． (1)写出点B 的实际意义；

(2)求射线AB 所在直线的表达式．

解：(1)图中B 点的实际意义表示当用水量为25 m 3

时，所交水费为70元．

(2)设第一阶梯用水的单价为m 元/m 3，则第二阶梯用水单价为2m 元/m 3

，设A(a ，30)，

则?????am ＝30，am ＋2m （25－a ）＝70.解得?

????a ＝15，m ＝2. ∴A(15，30)，B(25，70)．

设线段AB 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，则?????15k ＋b ＝30，25k ＋b ＝70.解得?

????k ＝4，b ＝－30.

∴线段AB 所在直线的表达式为y ＝4x －30.

2．(2016·芜湖南陵县一模)某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y ＝－2x ＋100.

(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间函数解析式(利润＝售价－制造成本)；

(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)z ＝(x －18)y ＝(x －18)(－2x ＋100)

＝－2x 2

＋136x －1 800.

∴z 与x 之间的函数解析式为z ＝－2x 2

＋136x －1 800(18≤x≤50)．

(2)由z ＝350，得350＝－2x 2

＋136x －1 800， 解得x 1＝25，x 2＝43.

将z ＝－2x 2＋136x －1 800配方，得z ＝－2(x －34)2

＋512(18≤x≤50)． ∴当x ＝34时，z 最大＝512.

答：销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得350万元的利润；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元．

3．(2016·合肥十校联考)某企业生产一种节能产品，投放市场供不应求．若该企业每月的产量保持在一定的范围，每套产品的售价不低于120万元．已知这种产品的月产量x(套)与每套的售价y 1(万元)之间满足关系式y 1＝190—2x ，月产量x(套)与生产总成本y 2(万元)存在如图所示的函数关系． (1)直接写出y 2与x 之间的函数关系式； (2)求月产量x 的取值范围；

(3)当月产量x(套)为多少时，这种产品的利润W(万元)最大？最大利润是多少？

解：(1)y 2＝30x ＋500.

(2)由题意，得190－2x≥120，解得x≤35. 又x ＞0，∴月产量x 的范围是0＜x≤35 . (3)由题意，得

W ＝(190－2x)x －(30x ＋500)

＝－2x 2

＋160x －500

＝－2(x －40)2

＋2 700.

∵－2＜0，且对称轴为直线x ＝40，

∴当0＜x≤35时，W 随x 的增大而增大． ∴当x ＝35时，W 有最大值，最大值是2 650.

故当月产量为35套时，这种产品的利润最大，最大利润是2 650万元． 4．(2016·晋江模拟)如图，把一张长15 cm ，宽12 cm 的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去的小正方形的边长为x cm . (1)请用含x 的代数式表示长方体盒子的底面积；

(2)当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积130 cm 2?

(3)试判断折合而成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？若有，试求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，试说明理由．

解：(1)(15－2x)(12－2x)cm 2

.

(2)依题意，得(15－2x)(12－2x)＝130，即2x 2

－27x ＋25＝0， 解得x 1＝1，x 2＝25

2

(不合题意，舍去)．

答：当剪去的小正方形的边长为1 cm 时，其底面积是130 cm 2

.

(3)设长方体盒子的侧面积S ，则S ＝2[(15－2x)x ＋(12－2x)x]，即S ＝54x －8x 2

＝－8?

????x －2782

＋729

8(0

当x ＝278时，S 最大值＝729

8

.

即当剪去的小正方形的边长为278 cm 时，长方体盒子的侧面积有最大值7298

cm 2

.

5．(2016·安徽十校联考四模)某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2 400元，销售单价定为3

000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3 000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2 600元．

(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2 600元？

(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元(其他销售条件不变)? 解：(1)设件数为x ，根据题意，得 3 000－10(x －10)＝2 600. 解得x ＝50.

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2 600元． (2)由题意，得3 000－10(x －10)≥2 600.解得x≤50. 当0≤x≤10时，y ＝(3 000－2 400)x ＝600x ；

当10＜x≤50时，y ＝[3 000－2 400－10(x －10)]x ＝－10x 2

＋700x ； 当x ＞50时，y ＝(2 600－2 400)x ＝200x.

(3)由y ＝－10x 2

＋700x 可知抛物线开口向下．

∴当x ＝－700

2×（－10）＝35时，利润y 有最大值，此时销售单价为3 000－10×(35－10)＝2 750(元)．

答：公司应将最低销售单价调整为2 750元．

6．(2016·临朐县一模)家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC 发热材料，它的电阻R(k Ω)随温度t(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10 ℃上升到30 ℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30 ℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1 ℃，电阻增加4

15

k Ω.

(1)求当10≤t≤30时，R 和t 之间的关系式；

(2)求温度在30 ℃时电阻R 的值；并求出t≥30时，R 和t 之间的关系式；

(3)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6 k Ω？

解：(1)∵温度在由室温10 ℃上升到30 ℃的过程中，电阻与温度成反比例关系， ∴设R 和t 之间的关系式为R ＝k

t .

将(10，6)代入上式中得6＝

k

10

，解得k ＝60. ∴当10≤t≤30时，R ＝60

t

.

(2)将t ＝30代入上式中，得R ＝60

30，解得R ＝2.

∴温度在30 ℃时，电阻R ＝2 k Ω.

∵在温度达到30 ℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1 ℃，电阻增加4

15 k Ω，

∴当t≥30时，R ＝2＋4

15(t －30)，

即R ＝4

15

t －6.

(3)把R ＝6代入R ＝4

15t －6，得t ＝45.

∴温度在10～45 ℃时，电阻不超过6 k Ω.

7.(2016·合肥高新区一模)音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18 m ，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y ＝kx 上变动，从而产生一组不

同的抛物线(图2)，这组抛物线的统一形式为y ＝ax 2

＋bx.

(1)若已知k ＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3 m ，求此时a ，b 的值；

(2)若k ＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少m? (3)若k ＝2，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a 的取值范围．

解：(1)当k ＝1时，y ＝x.

由题意，得抛物线的顶点坐标为(3，3)．

∴设抛物线的解析式为y ＝a(x －3)2

＋3. 又∵抛物线过原点(0，0)．

∴a ×(－3)2

＋3＝0， 解得a ＝－1

3

.

∴y ＝－13(x －3)2

＋3，即y ＝－13x 2＋2x.

∴a ＝－1

3

，b ＝2.

(2)∵k＝1，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边18 m ，抛物线的顶点在直线y ＝kx 上， ∴此时抛物线的对称轴为x ＝9，y ＝x ＝9，即顶点坐标为(9，9)． 故此时喷出的抛物线水线最大高度是9 m .

(3)∵y＝ax 2

＋bx 的顶点为? ????－b

2a

，－b 2

4a ，抛物线的顶点在直线y ＝2x 上，

∴－b 2a ·2＝－b

2

4a

，解得b ＝4.

∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边18 m ， ∴－b 2a ＜9，即－4

2a ＜9.

又∵a＜0，∴a ＜－29

.

8．(2016·芜湖繁昌县一模)某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～

12月份中，公司前x 个月累计获得的总利润y(万元)与销售时间x(月)之间满足二次函数关系式y ＝a(x －h)2

＋k ，

二次函数y ＝a(x －h)2

＋k 的一部分图象如图所示，点A 为抛物线的顶点，且点A ，B ，C 的横坐标分别为4，10，12，点A ，B 的纵坐标分别为－16，20.

(1)试确定函数关系式y ＝a(x －h)2

＋k ；

(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；

(3)在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最大？最大利润是多少万元？

解：(1)根据题意可设y ＝a(x －4)2

－16. 当x ＝10时，y ＝20.

∴a(10－4)2

－16＝20，解得a ＝1.

∴所求函数关系式为y ＝(x －4)2

－16.

(2)当x ＝9时，y ＝(9－4)2

－16＝9，

∴前9个月公司累计获得的利润为9万元． 当x ＝10时，y ＝20，而20－9＝11.

答：10月份一个月内所获得的利润为11万元．

(3)设在前12个月中，第n 个月该公司一个月内所获得的利润为s(万元)，则有

s ＝(n －4)2－16－[(n －1－4)2

－16]＝2n －9. ∵s 是关于n 的一次函数，且2＞0，

∴s 随着n 的增大而增大．

又∵1≤n≤12，∴当n ＝12时，s 最大＝15.

答：12月份该公司一个月内所获得的利润最大，最大利润是15万元．

9．(2016·安庆二模)某玩具店试销售一种进价为20元的新型玩具，根据物价部门规定：该玩具售价不得超过90元. .

(1)运用所学过的函数知识，试判断y 与x 之间的函数关系，并求y 与x 的函数关系式； (2)该玩具店若想每天获得2 400元的利润，应将售价定为多少元？

(3)这种新型玩具的售价定为多少元时，玩具店每天能够获得的利润w(元)最大？此时的最大利润为多少元？

解：(1)建立平面直角坐标系，并将表格中的数据看成点的坐标，并在坐标系中描出各点，根据点的排列趋势，可

判断y 与x 之间满足一次函数关系，故设y ＝kx ＋b(k≠0)，分别将(30，100)和(40，90)代入，可得????

?30k ＋b ＝100，40k ＋b ＝90.

解得?

????k ＝－1，

b ＝130.

∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋130 .

(2)根据题意，得(x －20)(－x ＋130)＝2 400. 解得x 1＝50，x 2＝100. ∵x 2＝100＞90，故x ＝50. 答：应将售价定为50元．

(3)根据题意，得w ＝(x －20)(－x ＋130)＝－x 2＋150x －2 600＝－(x －75)2

＋3 025. ∵a ＝－1<0，∴当x ＝75时，w 最大＝3 025.

答：当售价定为75元时，能够获得最大利润为3 025元．

10．(2016·阜阳二模)某市决定对欲引进种植的A ，B 两种绿色蔬果实行政府补贴，分析得到以下两条信息： 信息一：对于A 种蔬果，所获收益y A (万元)与补贴金额x(万元)之间满足正比例函数关系：y A ＝kx ；

信息二：对于B 种蔬果，所获收益y B (万元)与补贴金额x(万元)之间满足二次函数关系：y B ＝ax 2

＋bx.

其中，y A ，y B (万元)与补贴金额x(万元)的部分对应值如上表所示： (1)填空：y A ＝；y B ＝－＋；

(2)如果政府对两种蔬果种植补贴总额共15万元，设总收益为W(万元)，对种植B 种蔬果的补贴金额为x(万元)，试求出W 与x 之间的函数关系式，并求出W 的最大值；

(3)如果政府对两种蔬果种植补贴的总额在10～16万元(含10，16万元)，那么补贴总额是多少万元时才能获得最大收益率？(收益率＝收益（万元）

补贴金额（万元）×100%)

解：(2)W ＝y A ＋y B ＝(15－x)＋(－＋ ＝－＋2x ＋9.

∵－<0，∴当x ＝－2

2×（－）

＝5时，W 最大＝14.

(3)设政府对两种蔬果种植补贴总额为n 万元，

其中对于种植B 种蔬果的补贴金额为x 万元，总收益为W 万元． 则W ＝y A ＋y B ＝(n －x)＋(－＋ ＝－＋2x ＋

＝－(x －5)2

＋5＋. ∴x ＝5时，W 最大＝5＋

∴收益率为5＋n ＝5

n ＋，显然n 越小，收益率越大．

∴当补贴总额为10万元时，能获得最大收益率．