柯西不等式的推广及其应用
柯西不等式的应用(整理篇)
柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴
不等式的证明方法及其推广
不等式的证明方法及其推广 摘要：在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。初等代数中介绍了许多具体的而且相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等代数中，可以利用的方法更加灵活技巧。我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。由此我们可以看到，不等式的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握证明不等式的思想方法；注重对一些着名不等式的推广及应用的介绍。 关键词：不等式；证明方法 1引言 1．1研究的背景 首先，我们要从整个数学，特别是现代数学在21世纪变得更加重要来认识不等式的重要性。美国《数学评论》2000年新的分类中，一级分类已达到63个，主题分类已超过5600 多个，说明现代数学已形成庞大的科学体系，并且仍在不断向纵深化发展。它在自然科学、 工程技术、国防、国民经济(如金融、管理等)和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、 文学艺术等)以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和发展。它为我们提供了理解信 息世界的一种强有力的工具，它也是新世纪公民的文化和科学素质的重要组成部分。而不 等式在数学中又处于独特的地位。美国《数学评论》在为匡继昌的《常用不等式》第2版 写的长篇评论中指出:“不等式的重要性，无论怎么强调都不会过分。”这说明不等式仍 然是十分活跃又富有吸引力的研究领域。 再者不等式的求解和证明一直是高考的热点和难点。近年来高考虽然淡化了单纯的不等式证明的证明题。但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现。常常与函数、 数列、三角等综合，考查逻辑推理能力。是高考考查的一项重要内容。而要解决这一点的 关键在于掌握常用方法，理解不等式证明中的数学思想，熟练地运用性质和基本不等式。 因此，本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注 重对一些着名不等式的推广及应用的介绍，以便更好地理解和运用。 1．2文献综述 数学问题（猜想）的重要性先哲们已有过精辟的阐述。的确，形式优美、新颖、内涵丰富的不等式问题，不仅丰富了我们的研究素材，而且孕育了新思想、新方法的胚芽。当
(完整word版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
高中数学教学论文 柯西不等式的证明与应用
柯西不等式的证明及其应用 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc ≥ =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
柯西不等式高考题精选
柯西不等式高考题精选 1.（2013年湖北）设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=, 2314x y z ++=,则x y z ++=_______. 【答案】314 7 2.（2013年陕西）已知a, b, m, n 均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______. 【答案】2 3.[2014·福建] 已知定义在R 上的函数 f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a. (1)求a 的值； (2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ， 求证：p 2＋q 2＋r 2 ≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x≤2时，等号成立， 所以f(x)的最小值等于3，即a ＝3. (2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数， 所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p ＋q ＋r)2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3. 4.[2014·陕西] A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________． 【答案】 5 5.[2014·浙江] (1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3；
(2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ， 求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立条件． 解：(1)当x≤－1时，2(2－x)＋(x ＋1)＞3， 得x ＜2，此时x≤－1； 当－1＜x≤2时，2(2－x)－(x ＋1)＞3，得x ＜0，此时 －1
柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |=
柯西不等式各种形式的证明及其应用培训资料
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==??==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 2 22 111n n n k k k k k k k a b a b ===??≥ ??? ∑∑∑
柯西不等式及排序不等式及其应用经典例题透析
经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数 的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不 等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得∴时函数取最大值，最大值 为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一： 由柯西不等式 于 是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值． 【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积， ，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 ∴ 即（3）改变结构：4、若>>，求证： 思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。 ，，∴，∴所证结论改为证
(均值不等式的推广)
均值不等式的推广: 2/]2^...2^1[n an a ++≥(a1+a2+…+an)/n≥n an a a ...21≥n/(1/a1+1/a2+…+1/an) 证明： 1. 2/]2^...2^1[n an a ++≥(a1+a2+…+an)/n 两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+… +(an)^2)≥(a1+a2+…+an) ^2 /n （如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了） 柯西不等式： (a1^2 + a2^2 +...+an^2)* （b1^2+b2^2+...+bn^2）≥ （a1b1+a2b2+...+anbn ）^2 柯西不等式变式： [a1^2 + a2^+...+an^2] ×n ≥（a1+a2+...+an ）^2
得等号！！！ 2.(a1+a2+…+an)/n≥n an 1 2 a a... 琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...+xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...+f(xn) 令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0或从图象上直接观察] nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥ f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3+...+lgan =lga1*a2*…*an 也即 lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2 a...an)^(1/n)=lg n an 2 1 a... a f(x)在定义域内单调递增，所以 (a1+a2+..an)/n≥n an 1 2 a... a
柯西不等式的应用及推广
浅谈柯西不等式的应用及推广 【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方 面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。 【关键词】柯西（Cauchy ）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学 【Abstract 】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of function.Then Cauchy-inequality's some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed. 【Key words 】Cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangle's proving 引言 中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此，本文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳，并谈谈它在中学数学中的一些应用.。 1 柯西不等式的证明[1][2] 对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指 ()n i n i i n i i n i i i b a b a , ..., 2,11 2 1 2 2 1====∑ ∑ ∑≤?? ? ?? 当且仅当 n n b a b a b a = == ...2 21 1时，等号成立。 1.1 构造二次函数证明 当021====n a a a 或021===n b b b 时，不等式显然成立 令∑ == n i i a A 1 2 ∑ == n i i i b a B 1 ∑ == n i i b C 1 2 ， 当n a a a ,,,21 中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数()C Bx Ax x f ++=2 2 2，展开得：
二维形式的柯西不等式知识点梳理
课题：二维形式的柯西不等式 备课教师：沈良宏参与教师：郭晓芳、龙新荣审定教师：刘德清 1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 3、学生必须掌握的内容： 1．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 注意： 1．二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式． 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示． 2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号． 3．掌握二维柯西不等式的常用变式 (1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd. (4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2. 4．基本不等式与二维柯西不等式的对比 (1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式． (2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效． 4、容易出现的问题： 在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置易出错。 5、解决方法：
专题三 柯西不等式的应用
专题三 不等式的证明 （柯西不等式） 1．下列不等式的证明明过程： ①若a ，b ∈R ，则 ②若x ，y ∈R ，则 ； ③若x ∈R ，则 ； ④若a ，b ∈R ，ab ＜0，则． 其中正确的序号是 ． 2．设a ，b ∈R + ，a+b=1，则+的最小值为（ ） A.2+ B.2 C.3 D. 3．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则与 的大小关系为 ． 4．已知a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=0，abc ＞0，则++的值（ ） A.小于0 B.大于0 C.可能是0 D.正负不能确定 5．若不等式（﹣1）n a ＜2+ 对任意n ∈N * 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.[﹣2，） B.（﹣2，） C.[﹣3，） D.（﹣3，） 6．设a ，b ，c ∈（﹣∞，0），则对于a+，b+，c+，下列正确的是 ①都不大于﹣2 ②都不小于﹣2 ③至少有一个不小于﹣2 ④至少有一个不大于﹣2． 7．定义在R 上的函数f （x ）=mx 2 +2x+n 的值域是[0，+∞），又对满足前面要求的任意实数m ，n 都有不等式 恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A.2013 B.1 C. D. 8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，A=，B=，则（ ） A.A ＞B B.A ＜B C.A≥B D.A≤B 9．设正实数x y z 、、满足0432 2 =-+-z y xy x ，则当 取得最小值时，2x y z +-的最大值为（ ）
10．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x , ） A ．0 B ．1 C D ．3 11．（2012?湖北）设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2 +b 2 +c 2 =10，x 2 +y 2 +z 2 =40，ax+by+cz=20，则=（ ） A. B. C. D. 12．用柯西不等式求函数y=的最大值为（ ） A. B.3 C.4 D.5 13．若23529x y z ++=，则函数 ） 14．对任意正数x ，y 不等式（k ﹣）x+ky≥ 恒成立，则实数k 的最小值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 15．已知x 2+4y 2+kz 2 =36，且x+y+z 的最大值为7，则正数k 等于（ ） A.1 B.4 C.8 D.9 16．设x 、y 、z 是正数，且x 2+4y 2+9z 2 =4，2x+4y+3z=6，则x+y+z 等于（ ） A. B. C. D. 17．已知x ，y ，z 均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（ ） A.2 B.2 C.2 D. 3 18．实数a i （i=1，2，3，4，5，6）满足（a 2﹣a 1）2+（a 3﹣a 2）2+（a 4﹣a 3）2+（a 5﹣a 4）2+（a 6﹣a 5）2 =1则（a 5+a 6）﹣（a 1+a 4）的最大值为（ ） A.3 B.2 C. D.1 19．设a ，b ，c ，x ，y ，z 均为正数，且a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝10，x 2 ＋y 2 ＋z 2 ＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则 a b c x y z ＋＋＋＋等于( )． A.14 B.13 C. 12 D.34
浅谈柯西不等式的应用和推广
浅谈柯西不等式的应用和推广 摘 要：柯西不等式是一个熟知的重要不等式，有着相当广泛的应用。本文运用柯西不等式及推论对证明相关命题、证明不等式等问题进行探讨，并进一步地研究柯西不等式的推广和应用。 关键词：柯西不等式；应用；推广 柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，因而被命名为柯西不等式。柯西不等式具有对称和谐的结构，在熟练掌握柯西不等式的相关内容之后，主要是应用柯西不等式解决相关问题，可以使一些复杂繁琐的题目简单化，从而可以拓宽解题思路，节省解题时间，提高解题效率。 1 柯西不等式的基本形式 定理（柯西不等式） 设有两组实数1a ，2a ，???，n a 和1b ，2b ，???，n b ，则 () ()()2 222 22211221212.n n n n a b a b a b a a a b b b ++???+≤++???+++???+ 当且仅当i a 或i b 全为0，或i i b a λ=，R λ∈，1,2,,i n =???时取等号。 柯西不等式可以简写成： 2 柯西不等式的应用 柯西不等式在数学各个分支里都有极其广泛的应用，本文对柯西不等式的应用做一些粗略的归纳，关键是分析问题后抓住问题的结构特征，找准解题的方法思路，通过变形构造出符合柯西不等式的形式及条件，从而达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的。 2.1 应用柯西不等式证明相关命题 例1[1] 已知()000,P x y 及直线l ：0Ax By C ++=()220A B +≠，求证点0P 到直线l 的距离为 证明 设点(),P x y 是直线l 上的任意一点，则0.Ax By C ++= 那么 的最小值就是点0P 到直线l 的距离， 由Ax By C +=-且220A B +>，构造两数组A ，B 与0x x -，0.y y - 由柯西不等式，得 2 22111. n n n i i i i i i i a b a b ===?????? ≤ ? ????????? ∑∑∑1PP = ()()()()()222 2 20000A B x x y y A x x B y y ??+-+-≥-+-?????? ()()()()222 000000. Ax By Ax By C Ax By Ax By C =+-+=--+=++????????d
基本不等式柯西不等式知识点复习
基本不等式及应用 一、考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． 二、基本不等式 三、常用的几个重要不等式 (1)a 2＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (3)a 2 ＋b 2 2≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 四个“平均数”的大小关系； a ， b ∈R+： 当且仅当a ＝b 时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数． (1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和 x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14 S 2 . 强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； +≤≤2 a b ≤+2ab a b
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．） 想一想:错在哪里？ 3、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1 y )的最小值为________． 解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1 y )≥4，所以z 的最小值是4. 解二：z ＝2＋x 2y 2 －2xy xy ＝(2 xy ＋xy)－2≥2 2 xy ·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)． 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的． 【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2 －2xy xy ＝2 xy ＋xy －2， 令t ＝xy ，则0
归纳柯西不等式的典型应用
归纳柯西不等式的典型应用
归纳柯西不等式的典型应用 【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的 方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 【关键词】：柯西不等式 ；证明；应用 【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出 了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。 【正文】： 1.柯西不等式的一般形式为： 对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121?????? ()( ) 222112 22212 222 1 )(n n n n b a b a b a b b b a a a ??????++≥+??????+++??????++
其中等号当且仅当λ=== n n b a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ??????++≥+??????+++??????++ 2. 柯西不等式的证明： 证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法： 作差：因为22211 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑ 221 1 1 1 ()()()()n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2211 11 n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2222 111111 1(2)2n n n n n n i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑ 2222 11 1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211 1()02n n i j j i i j a b a b ===-≥∑∑ 所以222 1 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===≥∑∑∑ 即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==…… 即(1,2,,;1,2,,;0)j i j i j a a i n j n b b b ===≠…………时等号成立。 2）用数学归纳法证明 i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。
Cauchy不等式的等价形式及其应用【开题报告】
毕业论文开题报告 数学与应用数学 Cauchy 不等式的等价形式及其应用 一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式在数学的各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 从收集到的文献中发现国内外对柯西不等式的研究进展主要有对柯西不等式的证明，推广，以及对柯西不等式的应用举例。 二、相关研究的最新成果及动态 柯西不等式的证明主要可以从配方法、数学归纳法、?判别法、向量内积法等一些常规的方法加以证明。下面就用其中一种方法加以简单地证明。 柯西不等式：设n n b b b a a a ,,,,,,,2121ΛΛΛΛ均为实数则 ()()()22221222212332211b n n n b b b a a a b a b a b a b a ++++++≤++++ΛΛΛΛΛΛ 当且仅当i i kb a =时（其中k 为常数，n i Λ3,2,1=）等号成立。 证明：利用配方法证明 ,,,A 11212∑∑∑======n i i i n i i n i i b a C b B a 只需证明.2 B C A ≥由均值不等式有 .2;;2;22222222222221121222 1 n n n n b a B C b B C a b a B C B B C a b a B C b B C a ≥+≥+≥+Λn 个式子相加得