1、认识无理数学案

第一节：认识无理数 （学案）

一、

知识与回顾：

1、整数：包括 和

2、分数包括： 和 。

3、有理数： 和 统称为有理数。 二、新课：

1、有理数：（举例说明）

（1）有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示：． （2）反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。 2、无理数的概念

（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数．

学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少． (2)有理数与无理数的区别

事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为3

1这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为37

50.

有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．

【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

3．141 592 6，－4

3，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，

227，－5.23·，－π

2.

例2把下列各数填入相应的集合内：

213、 0、 3

π

、5.0、3.14159、-0.020020002 0.12121121112… (1)有理数集合{ } (2)无理数集合{ }

3．无理数近似值的估算方法

要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．

【例3】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题．

(1)x 的整数部分是多少？

(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ (3)x 是有理数吗？请简要说明理由．

解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，6.76＜x 2＜7.29；

当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；

当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316； …

则有：

(1)x 的整数部分为2.

(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65. (3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方

等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数． 三、课内习题：

1. 在以下数0.3, 0, 3π-,

2

π

, 0.123456…，0.1001001001…中，其中无理数的个数是（ ） A.2

B.3

C.4

D.5

2、下列说法正确的是（ ）

A. 有理数只是有限小数

B. 无理数是无限小数

C. 无限小数是无理数

D.

3

π

是无理数 3.边长为4的正方形的对角线长是 （ D ）

A.整数

B.分数

C.有理数

D.无理数

4.如图:(1)斜边所在的正方形面积是___________.⑵如果斜边用b 表示，b 是有理数吗？

第二节 平方根

一、新知识：1、算术平方根：(1)定义;若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0.

(2)、下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根. ［例1］求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)

64

49

；(4)14. 解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即900=30； (2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；

(3)因为,6449)87(2=所以6449的算术平方根是87，即8

7

6449=；

(4)14的算术平方根是14. 试一试：求下列各数的平方根

36， 16

9， 17， 0.81， 4

10-， 解：

练习题：1.若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________. 2. 121的算术平方根是 9

4

的算术平方根是_________. 3. (－1.44)2的算术平方根为_________. 4.81的算术平方根为_________，

04.0=_________

6、 9的算术平方根是（ ）A.±3 B.3 C.±3 D.

3

7、用符号表示下列各数的算术平方根：

(1 ) (7.4)2； (2) (－3.9)

2

；(3) 2.25；(4) 2

4

1. 解：

二、平方根的概念

1、平方根： 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就

是说，如果x 2

=a ，那么，x 叫做a 的平方根.

a 的平方根，读作“正负根号a ”

a 的算术平方根 例如 9

3. 9的算术平方根是3 . 11

. 11

2、性质：一个 正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是它本身负数没有平方根

3、求一个数a 的平方根的运算叫做开平方。其中，a 叫做被开方数。举例。 ［例］求下列各数的平方根.（用 (1)64； (2)

121

49

；(3)0.0004； (4)(－25)2； (5)11.

4.想一想(1)(

64)2等于多少？(

121

49)2

等于多少？ (2)(2.7)2等于多少？ (3)对于正数a ，(

a )2等于多少？

5、课内训练：

（1）. 下面说法正确的是( )

A.0的平方根是0 ( )

B.1的平方根是1( )

C.﹣1的平方根是﹣1( )

D.(﹣1)2平方根是﹣1( ) （2）. 下列各数没有平方根的是( )

A.64

B.0

C.(﹣2)3

D.(﹣3)4 （3）. x+2和3x －14是一个数的平方根，则x 等于( )

A.－2

B.0

C.8

D.3 第三节 立方根

一、回顾与思考：