高三数学竞赛讲义教案及练习 §30组合数学选讲

§30组合数学选讲

组合数学是中学数学竞赛的“重头戏”，具有形式多样，内容广泛的特点.本讲主要围绕组合计数，组合恒等式及组合最值展开

例题讲解

1．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？

2．集合X 的覆盖是指X 的一族互不相同的非空子集A 1、A 2、…、A k ，它们的并集A 1∪A 2∪…∪A k =X ，现有集合X={1,2,…,n}，若不考虑A 1, A 2,…, A k 的顺序，试求X 的覆盖有多少个？

3．已知集合X={1,2,…,n}，映射f ：X →X ，满足对所有的x ∈X ，均有f(f(x))=x ，求这样的映射f 的个数.

4．S 为{1,2,…,n}的一些子集族，且S 中任意两个集合互不包含，求证：S 的元素个数的最大值为

(Sperner 定理)

5．设M={ 1,2,3,…,2m n} (m,n ∈N *)是连续2m n 个正整数组成的集合，求最小的正整数k ，使得M

n n 2⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

的任何k 元子集中都存在m+1个数，a 1,a 2,…a m+1，满足a i |a i+1 (i=1,2,…,m).

6．计算.

7．证明： (范德蒙公式)

8．在平面上有n(≥3)个点，设其中任意两点的距离的最大值为d ，我们称距离为d 的两点间的线段为该点集的直径，证明：直径的数目至多有n 条.

9．已知：两个非负整数组成的不同集合和.求证：集合

与集合相同的充要条件是n 是2的幂次，这里允许

集合内，相同的元素重复出现.

课后练习

n

2

k 1n k k =⎛⎫

⎪⎝⎭

∑q

k 0n m m n k q k q =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑},,,{1n a a a a },,,{21n b b b }1{n j i a a j i ≤<≤+}1{n j i b b j i ≤<≤+

1. 空间n 条直线，最多能把空间分成多少块空间区域？

2. 证明：.

3. 证明：.

4. 证明：在边长为1的等边三角形内有五个点，则这五个点中一定有距离小于的两点.

例题答案：

2

n

k 0n 2n k n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭∑n

k k 0n 111

(1)1k 2

k n

=⎛⎫⎛⎫-+++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑1

2

1．解：易见，第k 号点能被染红的充要条件是

∃j ∈N *⋃{0}，使得a 02j ≡k (mod800)，1≤k ≤800 ①

这里a 0是最初染的点的号码，为求最大值，不妨令a 0=1.即2j ≡k (mod25×52).

当j=0,1,2,3,4时，k 分别为1,2,4,8,16，又由于2模25的阶，因此，当j ≥5时 2j+20-2j =2j (220-1)≡0(mod 800),

而对∀k<20,k ∈N *，及j ≥5,j ∈N *，由于25+(2k -1)，所以

2j+k -2j =2j (2k -1)不为800的倍数. 所以，共存在5+20=25个k ，满足①式。

注：本题解法不止一种，但利用些同余理论，可使解法简洁许多. 2．解：首先，X 的非空子集共有

2n -1

个，它们共组成了-1个非空子集族.其次，这些子集

族中，不合某一元素i 的非空子集组成的非空子集族有个；不含两个元素的子集组成

的族有个；依次类推，则由容斥原理，X 的覆盖共有

=个.

注：有些组合计数问题直接计数较难，但从反面考虑简洁明了.

3．解：设n 元中有j 个对x 、y 满足f(x)=y 且f(y)=x ，其余的满足f(x)=x ，则 当j=0时，仅一种映射，即恒等映射.

当j>0时，每次取两个作为一对，共取j 对有种取法.

则不考虑j 对的顺序，有

.

因此，映射f 的个数为 . 注：这些计数问题，以多次在国际竞赛中出现，但对于一般地情况(f (n)(x)=x)下的映射计数，尚无较好的结论.

4．解：考虑n 个元素1,2,…,n 的全排列，显然为n!种，另一方面，全排列中前k 个元素恰好组成S 中的某个集S i 的，有k!(n -k)!个，由于S 中任意子集互不包含，所以，这种“头”在S 中的全排列互不同.

设S 中有f k 个A i ，满足|A i |=k (k=1,2,…,n)，则

⨯20)2(25=δn

2

1

2

-(

)

n 1

2

1

2

1---(

)

n 2

2

1

2

1---()() --+

--

------)12

()12

()12

(1

22

1

21

1

221n n n n n ())12

()

1(1

20

1---=-∑n n j

n

j j n n 2n 2j 2222--+⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⎪⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

n n 2n 2j 2n 1!(2j 1)!!2222j j --+⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

n 2j 1n 1(2j 1)!!2j ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

=⎛⎫+

⋅- ⎪⎝⎭

∑