几何图形综合题

几何图形综合题

1. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，AE ⊥BE 于E ，CD ⊥BE 于D .若CD ＝8，DE ＝5，则AE 的长为________．

第1题图

3 【解析】∵∠ABC ＝90°，AE ⊥BE ，CD ⊥BE ，∴∠E ＝∠CDB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＋∠CBD ＝90°，

∠CBD ＋∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠ABE ，在△CDB 和△BEA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CDB ＝∠E ∠BCD ＝∠ABE CB ＝BA

，∴△CDB ≌△BEA (AAS)，

∴BE ＝CD ＝8，AE ＝BD ，∵DE ＝5，∴AE ＝BD ＝BE －DE ＝8－5＝3.

2. 如图，在▱ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝BC ＝8，点M 、N 分别在BC 、CD 上，且∠MAN ＝60°，则四边形AMCN 的面积是__________．

第2题图 163 【解析】如解图，连接AC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵∠B ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∴AE ＝AB ·sin60°＝43，∵∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，又∵AC 平分∠BAD ，

∴∠B ＝∠ACN ＝60°，∴△ABM ≌△ACN (ASA)，∴S 四边形AMCN ＝S △ABC ＝12

×43×8＝16 3.

第2题解图

3. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M 、N 分别为BC 、CD 上一点，连接AM 、AN 、MN ，则△AMN 周长的最小值为________．

第3题图

27 【解析】如解图，作点A 关于BC 、CD 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交BC 、CD 于点M 、N ，则AM ＝ME ，AN ＝NF ，此时EF 的长为△AMN 的周长的最小值．过点F 作FP ⊥EA 交EA 延长线于点P ，∵∠BAD ＝120°，∴∠P AF ＝60°.∵AF ＝2AD ＝4，∴P A ＝2，PF ＝2 3.在Rt △EPF 中，PE ＝P A ＋2AB ＝4，∴EF ＝PE 2＋PF 2＝27，∴△AMN 周长的最小值为27.

第3题解图

4. 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E 为AB 的中点，M 、N 是CD 上的两动点，且满足MN ＝1，则EM ＋EN 的最小值为________．

第4题图

5 【解析】∵E 为AB 的中点，∴EB ＝12

AB ＝1，如解图，连接BN ，∵EB ∥MN ，∴四边形EMNB 为平行四边形，∴EM ＝BN ，∴EM ＋EN ＝BN ＋NE ，作点E 关于DC 的对称点E ′，连接BE ′，交DC 于点N ′，此时点B 、N ′、E ′三点在一条直线上，∴点M 、N ′即为使EM ＋EN 最小值点，此时EM ＋EN ′＝BE ′，EE ′＝2BC ＝2，EB ＝1，∴在Rt △E ′BE 中，BE ′＝EE ′2＋BE 2＝22＋12＝5，∴EM ＋EN 的最小值为 5.

第4题解图

5. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AD ＝3，点E 为边AB 上一点，且AE ＝2，点F 为BC 边上一动点，将△BEF 沿EF 折叠．点B 落在点P 处，连接AP 、CP ，则四边形ADCP 面积的最小值为________．

第5题图

1534－32

【解析】如解图，连接AC ，S 四边形ADCP ＝S △ACD ＋S △ACP ，∵S △ACD 为定值，∴当S △ACP 最小时，四边形ADCP 的面积最小，∵AC 为定线段，∴当点P 到AC 距离最小时，S △ACP 最小，由折叠可知，EP ＝EB ＝AB －AE ＝1，∴点P 在以E 为圆心，EB 长为半径的圆弧上运动．过E 作EH ⊥AC ，交圆弧于点P ′，点P ′即为使S △ACP 最小时点P 的位置，∵四边形ABCD 为菱形，∠B ＝60°，∴∠D ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴∠BAC ＝∠CAD ＝60°，AC ＝AD ＝3，S △ACD ＝

934，∵AE ＝2，∠BAC ＝60°，∴EH ＝3，∴S △ACP ′＝12AC ·P ′H ＝32(3－1)，∴S 四边形ADCP ′＝S △ADC ＋S △ACP ′＝934＋32(3－1)＝1534－32

.

第5题解图

6. 如图，矩形ABCD 中，BC ＝2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、B 、C 分别落在点A ′、B ′、C ′处，并且点A ′、C ′、B 在同一条直线上，则tan ∠ABA ′的值为________．

第6题图

5－12

【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠A ＝90°，C ′D ∥BC ，∵将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，∴AB ＝C ′D ，BC ＝B ′C ′＝A ′D ＝2，设AB ＝x ，则AB ＝C ′D ＝x ，A ′C ＝A ′D ＋CD ＝x

＋2，∵C ′D ∥BC ，∴△A ′C ′D ∽△A ′BC ，∴C ′D BC ＝A ′D A ′C

，即x 2＝2x ＋2，解得x ＝－1＋5或x ＝－1－5(小于0，不合题意，舍去)，则tan ∠ABA ′＝tan ∠DA ′C ′＝C ′D A ′D ＝5－12. 7. 如图，正方形ABCD 的面积为4，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 最小，则最小值为________．

第7题图

2 【解析】如解图，当点P 为BE 与AC 交点时，连接BD ，与AC 交于点F .∵点B 与点D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE .当PB ＋PE ＝BE 时，其值最小．∵正方形ABCD 的面积为4，∴AB ＝2.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝2，∴PD ＋PE 的最小值为2.