函数与极限习题

第一部分函数、极限、连续

[选择题]

容易题 1—47，中等题48—113，难题114—154。

1[0,4]( )

B. [-2,2]

C. [0,16]

D. [0,2]

2[0,2]

的定义域为( )

B. ?

C. 时，?；

3．）

4．下列不正确的是（）

为单调增（减）函数

为单调增（减）函数

C.

D.(-∞,+∞)上为奇函数，且在[0,+∞)上是严格单调增加的，

(-∞,+∞)上一定是严格单调增加的。

5(-∞,+∞)( )

A. 偶函数

C. 非奇非偶函数

D. 奇函数

6．反函数保持原来函数的( )性质。

A. 单调性

B. 奇偶性

C. 周期性

D. 有界性

7( )为奇函数。（）

8( )

9( )

10．A x n n =∞→lim 的定义“εε<->?∈?0>?A x N n N N n 恒有,,,”中,N 是（

） A. 唯一的 B. 任意的

C. 不唯一，但与ε有关

D. 是ε的函数

11．A x n n =∞→lim 的定义“εε<->?∈?0>?A x N n N N n 恒有,,,”中ε是（

） A. 一个很小很小的正数 B.无穷小量

C. 任意给定的正数

D.一个不确定的正数

12, )

A.都存在且相等

B.都存在，但不一定相等

C.至少有一个不存在

D.都不存在

13 恒等于零的函数，则（

）必是偶函数。

。

14．都是偶函数，且它们的定义域、则（）。

15

则（某一取定的正数。）

A.

B.

C.

D.一定不存在极限。

16）。

17）。

不存在； D.0 。

18( )。

B C. ; D.

19．设)(x f 在),0(∞+上定义，0>a ，0>b ，若

x x f )(单调减少，则 ( ) )()(a f b a f A

<+； )()()(b f a f b a f B +≤+； b a b a f C +≤+)(； 均不成立C B A D ,,。

20．设0≠x ，)(x f 满足关系式 x a x f x f =

+)1()(2 )(为常数a ，则 )(x f 为 ( ) A

单调函数； B 奇函数； C 偶函数； D 周期函数。

21．0>?ε，最多只有有限个),(εε+-?A A a n 是A a n n =∞→lim 的 ( )

)

(A 充分条件，但不是必要条件； )(B 必要条件，但不是充分条件； )(C 充分必要条件； )(D 既非充分也非必要条件。

22．0>?ε，有无穷多个),(εε+-∈A A a n 是A a n n =∞→lim 的 ( )

)

(A 充分条件，但不是必要条件； )(B 必要条件，但不是充分条件； )(C 充分必要条件； )

(D 既非充分也非必要条件。 23．设a a n n =∞→lim ,则 ( )

收敛数列}{)

(n a A ； a a B n n =∞→lim )(； a a C n n -=∞

→lim )(； 不一定收敛数列}{)(n a D 。 24．若a x n n =∞

→lim ，0)(lim =-∞→n n n x y ，则数列}{n y ( ) )

(A 收敛于a ； )

(B 不一定收敛； )

(C a y x y x y n n n n n n n n n =∴-=-=∞→∞→∞→∞→lim ,lim lim )(lim 0 ； )(D 不收敛

25．当0→x 时,Sinx x -是2x 的

(A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C)等价无穷小. (D)同阶但非等价的无穷小.

26．当满足，当时，x x x y x ∞→+=

→210 ( )才能使410?y 成立。

（A ） 0〈x 〈2101

4-； （B ）x ?+2101

40?； （C ）0〈x 〈2101

4+，

（D ）0〈x 〈,2101

4-

27．极限[]ππ

)sin(lim x x x ++∞→= ( )

（A ）不存在； （B ）0； （C ）1； （D ）π。

28．(1)若)(x f y =与)(1y f x -=互为反函数，则关系式（ ）成立。

A ))((1x f f x -=

B ))((1x f f y -=

C ))((y f f x -=

D 以上都不对

(2)设n 是整数，则n n x x x f --=)(是（ ）。

A 偶函数

B 既是奇函数又是偶函数

C 奇函数

D 非奇非偶函数

29．x y 1

sin =在定义域内是（ ）

A 单调函数

B 周期函数

C 无界函数

D 有界函数

30．已知数列}))1(1{(}{n

n n x -+=，则（ ）

A n n x ∞→lim =0

B n n x ∞→lim = ∞

C n n x ∞→lim ≠∞，但无界

D 发散，但有界

31． )2222(lim 284n

n ??∞→= （ ） A 2 B 24 C 22 D 以上都不对

32．若极限a x f x x =→)(lim 0

（常数），则函数)(x f 在点0x ( )

A 有定义且a x f =)(0

B 不能有定义

C 有定义，但)(0x f 可以为任意数值

D 可以有定义也可以没有定义

33则

(B)

,

(D)

34

(A) 连续点 (B) 跳跃间断点 (C) 可去间断点

(D) 无穷间断点

35．

36．若bx ax x f +=2)(和b ax x g +=)(, 其中0≠?b a , 其图形只能是( )

37

(A) , 则}{n n y x +和}{n n y x 均发

散； (B) , 则}{n n y x +和}{n n y x 均发散；

(C)

(D) 以上各项结论均不成立

38．( )。

(A) 无穷大量; (B) 有界的, 但无极限;

(C) 无界的, 但有收敛于零的子列; (D) 除上述三种以外之情况。

39．设非空实数集合S 有界，则S ( )

(A) 没有最小值 （B ）不一定有最小值 （C ）没有下确界 （D ）不一定有下确界

40．设f 是定义在 ()+∞∞-,上的有界函数，且满足 )(2)2(x f x f = 则)(x f 等于( )

(A) 0 (B) x (C) x 2 (D) 1

41． 狄利克雷（Dirichlet ）函数

???=为无理数

当为有理数当x x x f 01)( ()+∞∞-∈,x ( ) （A ）是奇函数 (B) 是偶函数 (C) 是周期函数 (D) A, B, C 均不正确

答案C

42．若 21)(x x

x f +=, 则 ()[]{}

次

n n x f f f x f =)( 等于( ) (A) ()

221n n

x x + (B) ()22n n x n x + (C) ()221n n nx x + (D) ()2121nx x +

43． x

x a x sin lim -∞→ 等于 ( )

（A ） a (B) 0 (C) -a (D) 不存在

44．设有（命题I ）: L x f x x =→)(lim 0

. （命题II ）: 每个收敛于点0x 的点列{}n x 都有

L x f n n =+∞→)(lim . 则命题II 是命题I 的 ( )

（A ）充分但非必要条件

（B ）必要但非充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既非充分又非必要条件 45．若0>n a ，且1lim

<=∞→r a n n n ，则 ( ) 0lim )

(=∞→n n a A ； 1lim )(<∞→n n a B ； n n n r a C =∞→lim )(； 不存在n n a D ∞

→lim )(。 46．下列不正确的是（ ）

A.若存在反函数，则反函数一定唯一

B.

R

C.单调函数必有反函数，但不单调函数也可能存在反函数

D.

47．下列不正确的是（）

A.周期函数不一定存在最小周期

B.

C.

D.

48．函则满足上述条件的

）

A.只有一个

B.一个都没有

C.有有限个

D.有无穷多个

49

）

A.

B.

C.

50

）

51

）

)

52

A.都收敛但不一定收敛于

C.可能收敛，可能发散

D.都发散

53下列结论中正确的是( ) A.如A z A y x n n n n n n ===∞→∞→∞→lim ,lim lim 则

B.

C.如存在

D.如

54 ( )

55( )

A.

B.

C.

D.

56( )

A. 充分条件，但不是必要条件

B.必要条件，但不是充分条件

C. 充分必要条件

D.既不是充分条件，也不是必要条件

57( )

A.充分条件，但不是必要条件

B.必要条件，但不是充分条件

C.充分必要条件

D.既不是充分条件，也不是必要条件

58

）。

(C).)()(x g x f ?

59 ）。

(C). y

60

）。 (A).左右极限都不存在；

(B).左右极限有一个存在，一个不存在；

(C).左右极限都存在但不相等；

(D).极限存在。

61（）

62．）

。

1

63

（）。

64则它的连续区间是（）。