湖北省武汉市2020届高三高中毕业生五月质量检测数学(理科)试卷含答案

武汉市2020届高中毕业生五月质量检测

理科数学

2020.5.25

★祝考试顺利★

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的． 1．已知复数z 满足，

i i

i

z +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i 2．已知集合?

??

???≤+-=031x x x

A ，{}

2<=x x B ，则A∩B=

A ．{}12<<-x x

B ．{}23<<-x x

C ．{}12≤<-x x

D ．{}

12≤≤-x x 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =

A ．2

B ．0

C ． -2

D ． -4 4．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 A ．2 B ．4 C ．24 D ．D ．

3

4 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2

>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为

A ．0.9

B ．0.1

C ．0.5

D ．0.4 6．已知函数)2

2

)(3cos()(π

?π

?<

<-+=x x f 图象关于直线18

5π

=

x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足1=?，1=?c a += A ．2 B ．5 C ．3 D ．7

8．已知等差数列{}n a 满足：82

521=+a a ，则21a a +的最大值为

A ．2 C ．4

B ．3 D ．5

9．已知直线2

1-

=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2

≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为 A ．

161 B ．41 C ．1 D ．4

5 10．已知函数)(1

)(1

R a e

ax e

x f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为

A ．{}

0≤a a B ．?

?????=≤e a a a 10，或

C ．{}e a a a =≤，或0

D ．{}

10=≤a a a ，或

11．已知A ，B 分别为双曲线13

2

2

=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ） ，则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k := A ．31-

B ．3-

C ．32-

D ．2

3- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则四

棱锥ABCD P -的体积为

A ．32

B ．3

C ．5

D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数ln 1

x

y x =

+在点P （1，0）处的切线方程为 ． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。现给某病人静脉

注射了这种药2500 mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg2 =0.3010，1g3 =0.4771，精确到0.1 h ）

15．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为 ． 16．已知M ，N 为直线34100x y +-=上两点，O 为坐标原点，若3

MON π

∠=

，则△MON 的周长最小

值为 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．

17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a=4，C=2B ．

（1）若b=2，求c ；（2）若△ABC 的面积为tanB ．

18．（12分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1是边长为4的菱形，且∠A 1AC=3

π

，面ACC 1A 1⊥面ABC ，A 1A ⊥BC ，BC=4．

（1）求证：BC ⊥面ACC 1A 1； （2）求二面角A —A 1B —C 的余弦值．

19．（12分）已知F 1（-1，0），F 2（1，0）为椭圆Γ：22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左右焦点，过F 2的直线交

椭圆于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为8．

（1）求椭圆Γ的标准方程；

（2）已知00(,)P x y （0y ≠0）是直线l ：x=4上一动点，若PA ，PB 与x 轴分别交于点(,0)M M x ，

(,0)N N x ，则11

11

M N x x +--是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．

20．（12分）一种新的验血技术可以提高血液检测效率．现某专业检测机构提取了n （n ≥6）份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中（n －3）份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阻性，测对这（n －3）份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止． （1）若n=6，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若n ≥8，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求Eξ．

21．（12分） 已知函数x x x f cos ln )(+=． （1）讨论f （x ）在（0，π）极值点个数； （2）证明：不等式0)(>x f 在),2

(ππ

恒成立．附：9624.0)65ln(

≈π，7393.0)3

2ln(≈π

．

（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题做答． 并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．

22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为??

?=+=α

α

sin cos 2t y t x （t 参数，α为常数），以坐标原点O 为极

点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12

sin 2

=θ

ρ．

（1）求曲线C 的直角坐标方程；

（2）设直线l 与曲线C 的交点为P ，Q 两点，曲线C 和x 轴交点为A ，若△APQ 面积为66，求αtan 的值．

23． [选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知正数a ，b ，c 满足a+b+c=1． 求证：（1）4

1

3111≥-+-+-c c b b a a