曲率 曲率半径

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曲率 曲率半径

高中时期,做万有引力题时偶尔会出现非常规题,也就是行星的运动不是标准圆,而是椭圆。对于椭圆,万有引力公式是不能随便用,原因R 不是我们所理解的r ,而是曲率半径。当时以我们的知识更本无法求出R 。问老师吧,得到的结果不是,这不在高考考查的范围内,不用深究;就是,这些题的关键就是求曲率半径,而曲率半径我们根本没有学,讲了你也听不懂,不要在这上面浪费时间了。 人就是这样,越是得不到的东西越是想得到。那时我是多么想做出来证明自己的实力啊,可是就是没有人教,只剩下苦恼,郁闷。

现在已经知道了什么是曲率,怎么求曲率半径。下面仅作简述,希望拍砖! 曲率

设曲线C;y=f(x)具有连续导数。曲线C 是光滑的,点M,N 在曲线C 上,当动点M 从移动到N 时,切线转过的角度为|α∆|,弧段的长度为|s ∆|。用比值s

∆∆α

|

|,即单位弧度上的切线转过的角度大小来表示弧段平均弯曲程度,称为弧段的平均曲率,并记为,即

||

s

k ∆∆=α

当S ∆趋近于0时,平均曲率的极限就是曲线C 在M 点的曲率,记作,即||0s

s Lim k ∆∆−→−∆=

α

关于曲率的求解过程就不再详细解出,只给出结果)

1(2.^|

|2

3

,,y y K +=

(注意:分子上是Y

的二阶导数,分母是Y 的一阶导数)

曲率半径

设曲线在点处的曲率为K (K,><0).过点M 处的曲线的法线MN ,在曲线凹的一侧取点C ,使|MC|=

K

1

=R.以为圆心,为半径作圆,这个圆叫做曲线在点处的曲率圆,C 就是圆心,R 就是曲率半径。

椭圆1|

2

^2^2

^2

^=+b

Y a X 或者是双曲线1|

2^2

^2

^2

^=-b

Y a

X 曲率半径表达式一致,

b

a x

b y a R 4

^4

^2

3)(2^4^2^4^+=

;抛物线py x 22

=,P

Y R 2

2

3)1(2^+=

(如果对称轴在Y 轴

上,只须将x 换成y 即可)。R 的等式中的x ,y 均是要求点的坐标

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