初中数学命题的方法和技巧

概论

新课程改革，更新了教师们的教育理念，提升了实践能力，课堂教学发生了较为理性的变化，数学教学的评价也发生了一些可喜的变化。近几年来，宁波市教研室及各县市区教研室也组织了数学命题比赛，一定程度上促进了教师命题能力的提高。但数学问题的编制仍是极大部分教师的软肋，大家应该能切身的体会到，但凡各级各类优质课比赛和展示的优秀课例中，无不展示出这些教师具有优秀理念和超凡创意的数学问题设计。我们的极大部分教师仍以现成的资料以题海战术的形式训练学生，给学生带来过重的负担，从而导致缺乏编制问题最基本的能力，包括选题（根据什么目的？选择什么形式？等等）、改题（课本中的例习题改编，一改即错）、编题（想考查某一方面的知识和能力，但就是编不出好题来。

要实现“减负提质“，一线教师必须在提升自己教学基本功上下功夫，特别是命题能力。初中数学命题一般有以下几种类型：（1）课堂小测验（练习）；（2）单元测验；（3）期中期末试卷；（4）中考（模拟）试卷；（5）竞赛试卷。

今天我就试卷命题谈四个方面的问题。

一、考试命题的几个主要的原则

考试命题是一件科学性和技术性很强的工作，为了提高试卷试卷质量，必须遵循下列主要原则：

1．科学性原则

（1）试卷内容科学、无差错，无知识性、科学性错误

例1：已知012

=++x x ，求221x

x +的值。

例2：已知b a ,是实数，且1=ab ，设11+++=b b a a M ，1

111+++=b a N ，则M ，N 的大小关系为（）

A ．N M >

B ．N M =

C ．N M <

D ．不确定

例3：已知01442,0634=-+=--z y x z y x ，求2

222

2275632z

y x z y x ++++的值。例4：06年绍兴23．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等? (1)阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：△ABC、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB=A 1B 1，BC=B 1C l ，∠C=∠C l ．求证：△ABC≌△A 1B 1C 1．

(请你将下列证明过程补充完整．) 证明：分别过点B ，B 1作BD ⊥CA 于D ， B 1 D 1⊥C 1 A 1于D 1.

则∠BDC=∠B 1D 1C 1=900

， ∵BC=B 1C 1，∠C=∠C 1， ∴△BCD≌△B 1C 1D 1，

∴BD=B 1D 1． (2)归纳与叙述：

由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

（2）试题表述正确，用词规范、图文匹配，设问明确，没有歧义。

例5：已知等腰三角形的边长a 是方程)3(3)3(2-=-x x 的根，求它的周长。（九年级数学教与学）

例6：11．如图，用邻边长分别为a ，b （b a <）的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 满足的关系式是

（A ）a b 3= （B ）a b 215+=

（C ）a b 2

= （D ）a b 2= 点评：本题是根据考试说明中的试题改编而成的试题，是对一道PISA 原题的重新挖掘和再

创造，它完全具备PISA 题的三个明显特征：情景、运用、思维。强调真实的社会生活或生产活动的情景；强调运用已学到的知识进行解释或解决问题；强调进行有效分析、推论、交流等思维能力。问题的解决需要严谨的逻辑推理能力和较强的运算能力，是一道融几何与代数结合的综合题。例7：如图要从一块等腰直角三角形白铁皮零料上裁出一块长方形白铁皮。已知AB=AC=20cm ，要求裁出的长方形白铁皮的面积为75cm2,应怎样裁？

例8：（09年宁波中考卷）20．如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是-4，22

x x +-，

且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值

（3）关注不同学生的不同理解

例9．易拉罐装的某种饮料一箱24瓶（易拉罐可视作圆柱）．小明设计了两种形式的长方

体包装箱，如图是箱子底部的摆放形式．

方案1:如图1，底部横行放6瓶，直列放4瓶，共放一层；方案2:如图2，底部横行放4瓶，直列放3瓶，共放二层；若易拉罐总体积与纸箱容积的比叫做纸箱空间的利用率，设方案1和方案2的纸箱空间的利用率分别为a ,b ，则

（A ）b a = （B ）b a > （C ）b a < （D ）a ,b 大小不确定

（4）试题简略，编排合理，梯度明显

试卷不仅要有好题，而且题目不能过繁、冗长。

例10：（09年嘉兴卷）如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以

A 为中心顺时针旋转点M ，以

B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点

C ，构

成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；

（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？

2．适标性原则

（1）试题内容及要求不超过课标、教材（或考试说明）的范围和要求；

如期末试卷就不能超过本册教材的要求，与以前知识的综合也要适度，又如课堂测验题的命制更应明确想考查学生什么知识点或技能，尽可能单一。而中考试卷应按照《考试说明》的内容范围、题型要求、分值分布等。当然有些会引发一些争议。

例11：（10年嘉兴卷）如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为斜边并且在AB 的同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连结AE 交CD 于M ，连结BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：

①AB MN //；②

BC AC MN 111+

=；③AB MN 4

≤．从初高中数学知识的衔接点考察学生后续学习能力的培养，当然要避免高中知识简单下放

例12：（12年宁波卷）26．（本题12分）如图，二次函数c bx ax y ++=2

的图象交x 轴于A （1-，0），B （2，0），交y 轴于C （0，2-），过A ，C 画直线．（1）求二次函数的解析式；

（2）点P 在x 轴正半轴上，且PA =PC ，求OP 的长；

（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ．

①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标；

图1 图2 （第11题图）

②若⊙M 的半径为

，求点M 的坐标．

（2012义乌市）如图1，已知直线y =kx 与抛物线y =交于点A （3，6）．

（1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度；

（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE =∠BED =∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？

设直线AF 为y =kx +b （k ≠0）把点A （3，6），点F （，0）代入得

k =，b =10，

∴

，

∴，

（第26题）

（备用图）

∴（舍去），，

∴B（6，2），

∴AB=5…（8分）

（2012嘉兴）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作P A丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．

（1）如图1，当m=时，

①求线段OP的长和tan∠POM的值；

②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；

（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．

①用含m的代数式表示点Q的坐标；

②求证：四边形ODME是矩形．

考点：二次函数综合题。

②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：

解得b=1，∴M（0，1）

∵，∠QBO=∠MOA=90°，

∴△QBO∽△MOA

∴∠MAO=∠QOB，

∴QO∥MA

同理可证：EM ∥OD 又∵∠EOD =90°， ∴四边形ODME 是矩形．

（2）要尽量体现新课程的理念、体现导向性。

如体现过程与方法，贴近时代，切忌背景陈旧。

例13：21. 如图1，有一张菱形纸片ABCD ，AC =8， BD =6.

(1)请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD 剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形.并直接写出这两个平行四边形的周长.

(2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，

请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.

(注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)

点评：本题是一道操作性的好题，通过剪、拼等活动，既考查了特殊四边形的性质，又让人深刻体会到数学课堂中活动性的意义。它以简约的造形体现了丰富的数学内涵，第二问的开放性既能考查学生的开拓思维能力又体现了数学的灵活性和和谐性

3、有效性原则

（1）试卷中的每一道题都必须有自己明确有效的考试目标

对试题所要考查的内容，包括知识技能、过程方法要达到哪一层次的水平，中考试题要求知识具有较好的代表性，覆盖面要广，重点突出（初三内容为主）、学科能力考查全面、恰当，能力的层面要充分考察数学思维水平的状况。

例14：23．（本题8分）如图，在△ABC 中，BE 是它的角平分线，∠C =

90，D 在AB 边上，以DB 为直径的

半圆O 经过点E ，交BC 于点F ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）已知2

sin

A ，⊙O 的半径为4，求图中阴影部分的面积．

点评：本题是立足课本，创新改编而成的一道融推理与计算于

一体的试题，涉及九年级数学中的直线与圆的位置关系、三角函数等核心知识，具有较强的综合性，重点考查学生的逻辑推理能力和计算能力.

(第21题)

(图2) (图3) (图4)

周长为 ▲ 周长为 ▲

(图1)

（3）基础与提高并重，关注学科本质，有适度的综合、探索、应用与开放；鼓励学生个性发展和创造性发挥

例15：是否存在三边为连续自然数的三角形，使得： (1) 最大角是最小角的两倍； (2) 最大角是最小角的三倍；

若存在，求出该三角形三边长；若不存在，请说明理由．（下列各图供探索用）

（4）试题设计新颖，情景合理公平，素材真实

例16：24．（本题10分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：

已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a ，b 的值；

（图1）

（图2）

（2）随着夏天的到来，用水将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨?

素材真实，并不能照搬照抄

4、创新性原则

（1）近年试卷中出现较多的PISA 命题的思想，注重考查学生的思维过程，强调把知识放在具体的生活情景中加以考查重视学生创造运用知识的能力。PISA 的显著特点：情景、运用、思维。

例17：10．如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞

在一起而成的．每个骰子的六个面的点数分别是1到6．其中可看见7个面，其余11个面是看不见的，则看不见的面上的点数总和是（Ａ）41 （Ｂ）40

（Ｃ）39

（Ｄ）38

点评：本题将概率学习中常用的骰子为素材，它具有PISA 题的三个明显特征：情景、运用、思维。通过对实际问题的解决，考查学生的数学分析能力与数学基本素养，其中蕴含了初中数学中两种重要的数学思想—整体思想和方程思想，是融PISA 理念和初中数学思想于一体的经典范例。

（2）彰显学科特色，注重学科基本素养和能力侧重考查理解基础上的运用，注重学科思想方法的考查；注重对数学应用意识和用数学观点分析问题、解决问题能力的考查（发现问题、提出问题的能力）；注重实践能力、探究能力、阅读能力以及即时学习能力的考查。例18：25．（本题10分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，

称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……

依次类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形．如图1，□ABCD 中，若AB =1，BC =2，则□ABCD 为1阶准菱形．

（1）判断与推理：

①邻边长分别为2和3的平行四边形是 ▲ 阶准菱形；

②小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把□ABCD 沿BE 折叠（点E 在AD

上），

使点A 落在BC 边上的点F ，得到四边形ABFE ．请证明四边形ABFE 是菱形．（2）操作、探究与计算：

①若□ABCD 的邻边长分别为1，a （1>a ），且是3阶准菱形，请画出□ABCD 及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a 的值．

②已知□ABCD 的邻边长分别为a ，b （b a >），满足r b a +=6，r b 5=，请写出□ABCD 是几阶准菱形．

（第25题） B A C D （图1）

(图2)

（第10题）

点评：此题是一道新定义形式的试题，又是课题学习型的一个创新型试题。

试题以平行四边形、菱形、一元一次方程等核心知识为载体，要求学生通过阅读理解、判断推理、操作计算、抽象概括等方式进行即时的学习和研究，倡导了以学生自主学习为主体的新课程理念，很好地引导师生转变教与学的方式。问题的设置简洁而内涵丰实，试题呈现方式新颖独特，很清晰地展示了开展一类课题学习的研究模式：定义—问题—推理判断—操作探究—抽象概括。试题以能力立意，要求学生灵活运用分类讨论等数学思想，以及从具体到抽象、从特殊到一般、正逆向并存的思维方式。

此题属于一道原创题，很好地体现命题的公平性原则，问题的设置起点低、梯度明显，有利于不同层次学生的正常发挥，是考查学生数学素养和潜能的好题。试题设计灵活开放，有助于学生拓宽思维空间，引导培养学生的创新意识和能力。本题特别重视学生对新知识的理解和应用能力，彰显了新课标中“由知识立意向能力立意”过渡的要求，是坚持学生“可持续发展”理念的体现。学习型试题能有效承载数学中考考查学生阅读理解能力、应用数学知识解决实际问题的能力及学习习惯与能力培养的任务，已逐渐成为中考命题探索的焦点问题。

5、适度性原则

指试卷的题量、长度合适；难度恰当。

全大市平均5.83分，我市95.84分，报省难度系数为70.0，期末考试理想的考试难度是70.0以上。

考后的难度分析是一件很容易的事（在当今信息时代），但在命题时且是一件难事，因为只能凭经验估计。试卷难度有意义的是相对难度，即相对于不同学生的水平。这就需要一个常模，如我们依据上一年度宁波中考每一题的难度来对照估计新编拟的试卷的难度。三、试题编制的流程 1、制定命题计划

明确考试性质、试卷编制依据、内容范围、试卷结构（题型及分值分配）、难易比例 2、制定双向细目表（命题计划具体化）

命题规划表

注：A——了解 B——理解 C——掌握 D——灵活运用

3、编制试题（构思——成题（毛坯）——磨题——定稿）

4、解答、分析试卷难度、调整

命题评价表

5、编排答题卷、制订评分标准

6、拟制试卷设计说明四、命题的方法和技巧

命题的主要方法有三种：选题、改题、编题

1、选题——选用某些现成的题目作为试题，但并不等于“抄题”

选题原则：有代表性（目标明确）、题目形式完美、内容丰富且具有思考性、成题不宜过多选用

选题方法：题型调整、数字参数改变、条件结论互换

2、改题——主要是由一个题出发，经过修改而得到另一个适用的试题。

与选题不同：不要求保持原型题的风格，不要求保持原有难度，也不要求保持原有的解题

方法。这时原型题的作用仅给出一个编制试题的思路、框架。改题的方法：

（1）增加参数；（2）逆向改编；（3）改变解题方法

3、编题——命题的根本手段是编题

确定编题目标：编多少道题目，分哪几个类型（选择、填空、解答），考查哪些知识点，解题方法，难度布局如何等。

编题的方法

★选择题的命题规律

（1）题干中，要把题设陈述清楚，力求精练，通常是一个不完全的陈述语句

（2）选项表述必须明确清楚，与题干连起来应当通顺，成为一个完整的语句或判断

（3）题设与结论之间的关联词、提问的指导语，既要合乎逻辑，无歧义，又要十分考究

选择题命制防止下列现象：

（1）条件过剩

（2）选项具有包含关系

（3）选项明显虚设

（4）题干与选项不连贯

★填空题的命题规律

填空题命题的关键是材料的取舍及空位的设置（1）取材合理，内容不宜过多，考查中心应突出

（2）合理安排填空位置，发问明确

（3）陈述简洁，条件不能过剩或矛盾

★解答题的命题规律

解答题编制重点在立意（中心）

（1）知识点

（2）能力

点评：本题是以信息迁移的方法构制的课题型试题，创作的灵感源自于“勾股定理”。通过“新定义”及“新问题与新定义之间的转化距离”两个维度调控试题挑战性的程度。试题呈现方式新颖独特，内涵丰富深远。试题巧妙地将等边三角形、直角三角形、圆等初中数学的核心内容融合起来，同时设计的探究内容遵循“由特殊到一般”的规律。第（1）小题的

门槛低，有利于学生上手，同时又为第（2）、（3）小题的解答做了思维上的铺垫，后面两小题的解答，要求学生经过探究能提炼出图形运动过程中所蕴藏的不变的数量关系。本题特别重视学生对新知识的理解和应用能力，彰显了新课标中“由知识立意向能力立意”过渡的要求，是坚持学生“可持续发展”理念的体现.

正确理解原创

启示——灵感——构思（脱胎换骨）——编制 20．长为1，宽为a 的矩形纸片（

北京2011的一个好题——模拟它的成题过程

在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。

（1）在图1中证明CE CF =；

（2）若90ABC ∠=?，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；

（3）若120ABC ∠=?，FG ∥CE ，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数。

原素材（三个基本图形）+先进的理念——原有知识、测量、猜想、验证途径——条件、结论恰当的组合改变或隐没

第一次操作

第二次操作

第20题