刚体的定轴转动

授课题目刚体转动定律授课类型新授首次授课时间年月日学时 2

教学目标1.掌握转动惯量的求解方法。

2.理解刚体的转动定律。

重点与难点理解刚体的转动定律

教学手段与方法目标教学法多媒体教学

教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）复习导入：在第一节课中我们学习了刚体的概念以及描述刚体转动的几

个物理量，下面我们来学习一下几个物理量之间的量值关系——刚体的转动定律：

新课部分：§2.2转动定律

2.2.1、对定轴的力矩

在力矩知识点中我们讨论了对定点的力矩，也简单介绍了对轴的力矩。在此处我们进一步详细讨论对定轴的力矩。如下图所示，一刚体绕定轴z转动（只画出了刚体一部分），力F作用在刚体上p点，且力的方向在p点的转动平面M内。如果力不在转动平面内，可以把F分解为沿轴z方向的分力和在转动平面内的分力。轴向分力是要改变轴的方向，在定轴转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作用，所以我们可以只考虑在转动平面内分力的作用，以后我们也只讨论力在转动平面内的情况。设p点的转心为O，径矢为r。通常把力F对定轴z的力矩定义为一个矢量

（1）

它的大小为

（2）

或复习提问重点强调

其中称为力F对轴的力臂，为力F的切向分量。由

（5-3）式可知，力矩矢量的方向是矢径r和力F矢积的方向。图中的力

矩矢量的方向向上。在刚体的定轴转动中，力矩矢量的方向只有沿着z

轴和逆着z轴两个方向。我们把沿z轴的力矩叫做正力矩，逆着z轴的力

矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。

举例说明

对定轴的力矩

可以证明，力对定轴z的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z

轴方向的分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。若作用在p点

的力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩

之和。简要证明如下：按（1）式，合力的力矩

(4)

其中为各分力的力矩，证毕。

由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出现。

由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有相同

的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向相反，

其和为零。

(5)

2.2.2、刚体定轴转动的转动定律

刚体作为一个质点系，必然遵从质点系角动量定理：

其物理意义是，作用于刚体的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化

率。这个结论无论是对定点或是对定轴均成立。把刚体对定轴的角动量带入上式，注意到刚体对定轴的转动惯量为一常量，有

注意到式中为刚体定轴转动的角加速度，可记作

（9）

此式即称为刚体定轴转动的转动定律，它表示在定轴转动中刚体角加速

度的大小与合外力矩成正比而与刚体的转动惯量成反比，角加速度的方

向与合外力矩的方向一致。如前所述，力矩和角加速度都可以用标量来

描述，采用标量描述的转动定律为

。

从以上的简单推证中可以看出，刚体定轴转动的转动定律实际上就是角

动量定理的一个变形表示。由于刚体对定轴的角动量的形式十分简

洁，而且转动惯量J又是一个常量，所以能很容易地得到这个很重要的

定律。转动定律说明定轴转动中刚体角加速度与合外力矩的关系。转动

定律的推导过程和物理意义都很像从动量定理得到的牛顿第二定律：

。注意到牛顿第二定律中的质量m和转动定律中

对比平动

学习

的转动惯量J 在定律中的地位是完全对应的，由此能够进一步理解转动惯量的物理意义。

在对定律的理解中应注意，定律中合外力矩M ，转动惯量J ，角加速度均是对同一定轴而言，请勿混淆。

2.2.3 转动定律的应用

刚体定轴转动定律的应用与牛顿运动定律的应用相似。牛顿运动定律应用的基础是受力分析，而对于转动定律的应用，则不仅要进行受力分析，还要进行力矩分析。按力矩分析可用转动定律列出刚体定轴转动的动力学方程并求解出结果。 在刚体定轴转动定律的应用中还常常涉及到与牛顿运动定律的综合。题目的复杂性相对较大，这也是大家注意的问题。下面我们以具体的例子来给大家介绍刚体定轴转动定律的应用方法。

例1：如图4-6，在不计质量的细杆组成的正三角形的

顶角上，各固定一个质量为m 的小球，三角形边长为l 。求：

⑴系统对过质心且与三角形平面垂直轴C 的转动惯量； ⑵系统对过A 点，且平行于轴C 的转动惯量；

⑶若A 处质点也固定在B 处，⑵的结果如何？

解：⑴2

223

33⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=l m l m l m J c )3(3

12

m M Ml ==

⑵22

23

2Ml ml ml J A =+=

⑶2

2

2

2Ml ml ml J A =+=

讨论：⑴J 与质量有关（见⑴、⑵、⑶结果）

⑵J 与轴的位置有关（比较⑴、⑵结果） ⑶J 与刚体质量分布有关（比较⑵、⑶结果）

⑷平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯

m m m A

B C

D

图 4-6

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