中考试题典型题赏析:角平分线的功能(含解析)
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C A B F
D
E 角平分线的功能
角平分线的功能如下:1.平行截等腰;2.延长构全等;3.翻折构全等;4.垂直构全等.下面举例说明角平分线的功能的应用,以起抛砖引玉,画龙点睛.
例1.如图1,点F 是△ABC 的∠CAB 和∠CBA 的平分线的交点,过点F 作
F D ∥CA,FE ∥CB,它们分别交AB 于点D 、E,若AB=6cm,求△FDE 的周长. 分析:容易证明DF=DA,EF=EB.于是可以求出△FDE 的周长等于AB.
解:∵AF 是∠CAB 的平分线,BF 是∠CBA 的平分线,
∴∠CAF=∠FAB,∠CBF=∠ABF. 图1 ∵F D ∥CA,FE ∥CB,
∴∠CAF=∠AFD,∠CBF=∠BFE.
∴∠AFD=∠FAB,∠BFE=∠ABF.
∴AD=FD,BE=FE.
∴△FDE 的周长=FD+DE+FE=AD+DE+BE=AB=6(cm).
点评:如果过一个角平分线上一点作这个角的任意一边的平行线,那么可以截得一个等腰三角形.简称“平行截等腰”.
例2.如图2,在△ABC 中,AE 是∠CAB 的平分线,B E ⊥AE 于点E.
求证:∠ABE=∠CBE+∠C.
分析:延长BE 交AC 于点D,则∠AEB=∠AED=90.容易证明ABE ADE ∆≅∆.于是问题解决.
证明:延长BE 交AC 于点D,则∠AEB=∠AED=90.
∵AE=AE,∠BAE=∠DAE,
∴ABE ADE ∆≅∆.
∴∠ABE=∠ADE. 图2 ∵∠ADE=∠CBE+∠C,
∴∠ABE=∠CBE+∠C.
点评:如果一条线段垂直一个角的平分线,那么延长这条垂线段可以构造全等三角形.简称“延长构全等”.
例3.如图3,在△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,∠B=2∠C.
求证:AC=AB+BD.
分析:在AC 上截取AE=AB,连结DE.容易证明ABD AED ∆≅∆.于是
问题可以解决.
证明:在AC 上截取AE=AB,连结DE. 图3 ∵AD=AD,∠DAB=∠DAE,
∴ABD AED ∆≅∆.
∴∠B=∠AED=2∠C,BD=ED.
∵∠AED=∠CDE+∠C,
∴2∠C=∠CDE+∠C.
∴∠CDE=∠C.
∴ED=EC.
∴BD=EC.
∴AC=AE+EC=AB+BD.
点评:如果沿一个角的平分线翻折,那么可以构造全等三角形.简称“翻折构全等”,也称“截
长补短”.本题为“截长”,有兴趣的同学也可以试试“补短”.
例4.如图4,在△ABC 中,BE 是∠ABC 的平分线,∠A=90,AB=AC.
求证:BC=AB+AE.
分析:作E D ⊥BC 于点D, 则∠A=∠BDE=90.容易证明ABE DBE ∆≅∆.于是问题可以解决.
证明:作E D ⊥BC 于点D,则∠A=∠BDE=90.
∵∠ABE=∠DBE,BE=BE,
∴ABE DBE ∆≅∆
∴AB=DB,AE=DE.
∵AB=AC,∠A=90,
∴∠C=45. 图4 ∴∠CED=45.
∴∠CED=∠C.
∴DE=DC.
∴DC=AE.
∴BC=DB+DC=AB+AE.
点评:如果过一个角的平分线上一点作这个角的边的垂线,那么可以构造全等三角形.简称“垂直构全等”.
小试牛刀:
1.如图5,在ABC ∆中,点F 是ABC ACB ∠∠与的角平分线的交点,过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D,交AC 于点E,若BD+EC=10,求DE 的长. A B C
F D
E
图5 图6 图7
2.如图6,在△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线, AC=AB+BD. 求证:∠B=2∠C.
3.如图7,在ABC ∆中,AB=AC,90BAC ∠=,BD 是ABC ∠的平分线,B D ⊥CE 于点E. 求证:BD=2CE.
小试牛刀参考答案
1.解:因为FD ∥BC,FE ∥BC,
所以BFD=CBF ∠∠,CFE=BCF ∠∠.
因为F 是ABC ACB ∠∠与的角平分线的交点,
所以CBF=DBF ∠∠,ECF=BCF ∠∠.
所以FBD=BFD ∠∠,CFE=FCE ∠∠.
所以BD=FD,EF=EC.
所以DE 的长=FD+EF=BD+EC=10.
2.证明:如图8,在AC 上截取AE=AB,连结DE.
∵AD=AD,∠DAB=∠DAE,∴ABD AED ∆≅∆.
∴∠B=∠AED,BD=ED.∵AC=AB+BD,AC=AE+CE,
∴AB+BD= AE+CE.∴BD=CE.
∴DE=CE.∴∠CDE=∠C.
图8
3.证明:如图9,延长CE 交BA 的延长线于点F,则90BEC BEF ∠=∠=. ∵BE=BE,EBC EBF ∠=∠,∴△BC E ≌△B FE.
∴CE=FE.∴CF=2CE.
∵90BAC ∠=,∴90FAC ∠=.∴90ACF F ∠+∠=.
∵90BEF ∠=,∴90ABD F ∠+∠=.
∴ACF ABD ∠=∠.∵90BAD CAF ∠=∠=, AB=AC,
∴△AC F ≌△AB D.∴BD=CF.∴BD=2CE.
图9
初中数学试卷
金戈铁骑 制作