中考试题典型题赏析：角平分线的功能(含解析)

C

A B F D E 角平分线的功能

角平分线的功能如下:1.平行截等腰;2.延长构全等;3.翻折构全等;4.垂直构全等.下面举例说明角平分线的功能的应用,以起抛砖引玉,画龙点睛.

例1.如图1,点F 是△ABC 的∠CAB 和∠CBA 的平分线的交点,过点F 作

F D ∥CA,FE ∥CB,它们分别交AB 于点D 、E,若AB=6cm,求△FDE 的周长. 分析:容易证明DF=DA,EF=EB.于是可以求出△FDE 的周长等于AB.

解:∵AF 是∠CAB 的平分线,BF 是∠CBA 的平分线,

∴∠CAF=∠FAB,∠CBF=∠ABF. 图1 ∵F D ∥CA,FE ∥CB,

∴∠CAF=∠AFD,∠CBF=∠BFE.

∴∠AFD=∠FAB,∠BFE=∠ABF.

∴AD=FD,BE=FE.

∴△FDE 的周长=FD+DE+FE=AD+DE+BE=AB=6(cm).

点评:如果过一个角平分线上一点作这个角的任意一边的平行线,那么可以截得一个等腰三角形.简称“平行截等腰”.

例2.如图2,在△ABC 中,AE 是∠CAB 的平分线,B E ⊥AE 于点E.

求证:∠ABE=∠CBE+∠C.

分析:延长BE 交AC 于点D,则∠AEB=∠AED=90.容易证明ABE ADE ???.于是问题解决.

证明:延长BE 交AC 于点D,则∠AEB=∠AED=90.

∵AE=AE,∠BAE=∠DAE,

∴ABE ADE ???.

∴∠ABE=∠ADE. 图2 ∵∠ADE=∠CBE+∠C,

∴∠ABE=∠CBE+∠C.

点评:如果一条线段垂直一个角的平分线,那么延长这条垂线段可以构造全等三角形.简称“延长构全等”.

例3.如图3,在△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,∠B=2∠C.

求证:AC=AB+BD.

分析:在AC 上截取AE=AB,连结DE.容易证明ABD AED ???.于是

问题可以解决.

证明:在AC 上截取AE=AB,连结DE. 图3 ∵AD=AD,∠DAB=∠DAE,

∴ABD AED ???.

∴∠B=∠AED=2∠C,BD=ED.

∵∠AED=∠CDE+∠C,

∴2∠C=∠CDE+∠C.

∴∠CDE=∠C.

∴ED=EC.

∴BD=EC.

∴AC=AE+EC=AB+BD.

点评:如果沿一个角的平分线翻折,那么可以构造全等三角形.简称“翻折构全等”,也称“截

长补短”.本题为“截长”，有兴趣的同学也可以试试“补短”.

例4.如图4,在△ABC 中,BE 是∠ABC 的平分线,∠A=90,AB=AC.

求证:BC=AB+AE.

分析:作E D ⊥BC 于点D, 则∠A=∠BDE=90.容易证明ABE DBE ???.于是问题可以解决.

证明:作E D ⊥BC 于点D,则∠A=∠BDE=90.

∵∠ABE=∠DBE,BE=BE,

∴ABE DBE ???

∴AB=DB,AE=DE.

∵AB=AC,∠A=90,

∴∠C=45. 图4 ∴∠CED=45.

∴∠CED=∠C.

∴DE=DC.

∴DC=AE.

∴BC=DB+DC=AB+AE.

点评:如果过一个角的平分线上一点作这个角的边的垂线,那么可以构造全等三角形.简称“垂直构全等”.

小试牛刀:

1.如图5,在ABC ?中,点F 是ABC ACB ∠∠与的角平分线的交点,过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D,交AC 于点E,若BD+EC=10,求DE 的长.

A

B C F D

E

图5 图6 图7

2.如图6,在△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线, AC=AB+BD.

求证:∠B=2∠C. 3.如图7,在ABC ?中,AB=AC,90BAC ∠=,BD 是ABC ∠的平分线,B D ⊥CE 于点E. 求证:BD=2CE.

小试牛刀参考答案

1.解:因为FD ∥BC,FE ∥BC,

所以BFD=CBF ∠∠,CFE=BCF ∠∠.

因为F 是ABC ACB ∠∠与的角平分线的交点,

所以CBF=DBF ∠∠,ECF=BCF ∠∠.

所以FBD=BFD ∠∠,CFE=FCE ∠∠.

所以BD=FD,EF=EC.

所以DE 的长=FD+EF=BD+EC=10.

2.证明:如图8,在AC 上截取AE=AB,连结DE.

∵AD=AD,∠DAB=∠DAE,∴ABD AED ???.

∴∠B=∠AED,BD=ED.∵AC=AB+BD,AC=AE+CE,

∴AB+BD= AE+CE.∴BD=CE.

∴DE=CE.∴∠CDE=∠C.

图8

3.证明:如图9,延长CE 交BA 的延长线于点F,则90BEC BEF ∠=∠=. ∵BE=BE,EBC EBF ∠=∠,∴△BC E ≌△B FE.

∴CE=FE.∴CF=2CE.

∵90BAC ∠=,∴90FAC ∠=.∴90ACF F ∠+∠=.

∵90BEF ∠=,∴90ABD F ∠+∠=.

∴ACF ABD ∠=∠.∵90BAD CAF ∠=∠=, AB=AC,

∴△AC F ≌△AB D.∴BD=CF.∴BD=2CE.

图9

初中数学试卷

金戈铁骑 制作