一些求曲率半径的特殊方法
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一些求曲率半径的特殊方法
1.先看椭圆曲线,要求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两种方
法:
Φ x y p Q
如图2-4-5 (1)将椭圆看成是半径R=A(设A>B)的圆在平面上的投影,圆平
面和平面的夹角满足关系式(如图2-4-5)
设一个质点以速率v在圆上做匀速圆周运动,则向心加速度,从上图
中可以看出,当顶点的投影在椭圆的长轴(x轴)上的P点时,其速率和
加速度分别为:
,
当质点的投影在椭圆的短轴(y轴)上的Q点时,其速率和加速度分
别为:
。
因此椭圆曲线在PBiblioteka BaiduQ的曲率半径分别为:
Q P A B x y
图2-4-6
(2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成,可以把椭圆的参数方程(设 A>B)(如图2-4-6)
可改写为 即可进一步写出x,y二个方程的速度v和加速度a: 那么在长轴端点P处()的曲率半径: 在短轴端点Q处()的曲率半径
x y
图2-4-7 2.再看抛物线y=Ax,要求其任意一点的曲率半径(如图2-4-7)因
为抛物线可以写作参数方程 其中,这样就可以导出
对任意一个t值: v= a=acos=a
所以这一点的曲率半径 将t=代入,可得 因为,所以抛物线y=Ax上任意一点的曲率半径
1.先看椭圆曲线,要求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两种方
法:
Φ x y p Q
如图2-4-5 (1)将椭圆看成是半径R=A(设A>B)的圆在平面上的投影,圆平
面和平面的夹角满足关系式(如图2-4-5)
设一个质点以速率v在圆上做匀速圆周运动,则向心加速度,从上图
中可以看出,当顶点的投影在椭圆的长轴(x轴)上的P点时,其速率和
加速度分别为:
,
当质点的投影在椭圆的短轴(y轴)上的Q点时,其速率和加速度分
别为:
。
因此椭圆曲线在PBiblioteka BaiduQ的曲率半径分别为:
Q P A B x y
图2-4-6
(2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成,可以把椭圆的参数方程(设 A>B)(如图2-4-6)
可改写为 即可进一步写出x,y二个方程的速度v和加速度a: 那么在长轴端点P处()的曲率半径: 在短轴端点Q处()的曲率半径
x y
图2-4-7 2.再看抛物线y=Ax,要求其任意一点的曲率半径(如图2-4-7)因
为抛物线可以写作参数方程 其中,这样就可以导出
对任意一个t值: v= a=acos=a
所以这一点的曲率半径 将t=代入,可得 因为,所以抛物线y=Ax上任意一点的曲率半径