第八章 弯曲内力、应力及强度计算

直径为d的实心圆截面, I d 4
其对中性轴z的惯性矩： Z 64
抗弯模量：
WZ
IZ ymax
/ 64d 4 d/2
d3
32
常见简单几何形状截面的惯性矩和抗弯 截面模量等，几何参数可查阅资料。
例8-8 一矩形截面梁，如图所示。计算1-1截面上A、B、C、D各点处的
正应力，并指明是拉应力还是压应力。
个截面上各点的内力对中性轴的力矩所
组成。
正应力计算公式
My
Iz
曲梁也适用
σ——横截面上任一点处的正应力
M —— 横截面上的弯矩
y —— 横截面上任一点到中性轴 的距离
Iz——横截面对中性轴z的惯性矩
➢ 梁弯曲时任一截面上弯曲正应力的最大值。
横截面对称于中性轴的梁，当y=ymax时弯曲正应力最大。
PPP
PPP
成一条曲线的变形形
式。
梁：凡是以弯曲变 形为主的杆件。
工程力学中的梁，包括结构物中的各种梁，也 包括机械中的转轴和轮齿轴等。
基本概念
轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁。
平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内， 梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
Mmax 375kN m
FQmax 75kN
查工字型钢规格表，得56a号工字钢的WZ=342.3lcm3。则梁 内
的最大正应力为
σmax= Mmax /WZ=375 X102/342.3l=160.1MPa
最大切应力 比较，可得
τmax ≈ FQmax/dh1=12.6 MPa
max 12.7 max
FQ
h2 (
y2)
2Iz 4
最大切应力
max
3 2
FS bh
3 2
FS A
II. 工字形截面梁
翼缘上的切应力主要是水平方向 的切应力分量,平行于y轴方向的 切应力分量则是次要的。研究表 明,翼缘上的最大切应力比腹板上 的最大切应力要小得多，如图b) 所示。因此在强度计算时一般不 予考虑,
最大切应力
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
➢ 梁的切应力强度条件
等直梁的最大切应力，发生在最大剪力所在横截面的中性轴上各 点处,梁梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力,即切应力 强度条件是
τmax≤[τ] 根据强度条件可以解决下述三类问题：
(1)强度校核 验算梁的强度是否满足强度条件，判断梁的工作是 否安全。
第八章 梁的平面弯曲
主要内容： 弯曲和平面弯曲的概念与实例
梁的计算简图及分类 梁的内力—剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 弯曲时的正应力 弯曲时的切应力 梁的强度计算 提高梁承载能力的措施
§8－1 弯曲和平面弯曲的概念与实例
P
横向力：作用于杆件
上且都垂直于杆的轴
线的外力。
弯曲：在横向力作用
下，杆的轴线将弯曲
M1 26 5 2 5 5 2 105kN m
3）求截面2-2的剪力及弯矩，如图
FQ2 2 2 34 30kN
M2 34 2 2 21 64kN m
求解FＱ 和M值的一般步骤如下:
(1)用假想截面从被指定的截面处将梁截为两部分； (2)以其中任意部分为研究对象，在截开的截面上按 FＱ 和M的正方向画出未知的FＱ 和M； (3)应用平衡方程∑Fy==0和∑mo=0,计算FＱ和M的值， 其中O点一般取截面的形心； (4)根据计算结果，结合题意判断FＱ 和M的方向。
max
My max IZ
max
IZ
M / ymax
M WZ
抗弯截面系数 单位：长度的三次方
横截面不对称于中性轴的梁:
My
1
i max
I
Z
y max
My 2 IZ
y1和y2分别代表中性轴到最大拉应 力点和最大压应力点的距离。
T形截面梁
➢ 截面的轴惯性矩和抗弯截面横量
截面的轴惯性矩和抗弯模量是衡量截面抗弯能力的 几何参数,可以用积分法和有关定理推导出公式计算。
简支梁或外伸梁的两个铰支座之间的距离称为跨度
悬臂梁的跨度是固定端到自由端的距离
§8－3 梁的内力—剪力和弯矩
截面法过程：切取、替代、平衡
剪力
弯矩
剪力的符号： 若被保留的梁段的截面上的剪力对该 截面作“顺时针转”的为正，反之为负。
弯矩的符号规定：在图示的变形情况下，即在横截面 m-m处弯曲变形凸向下时，这一横截面上 的弯矩规定为正，反之为负。
非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但 外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§8－2 梁的计算简图及分类
➢ 静定梁的基本形式
简支梁 梁的一端为固定铰 支座，另一端为活动铰支座。
外伸梁 梁有一个固定铰支座和 一个活动铰支座，而梁的一端或两 端伸出支座之外。
悬臂梁 梁的一端固定，另一 端自由。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
x1 FA
距A端为x1和x2两截面处截开
最大弯矩值 ∣MQmax∣=ql2/8 发生在根部截面上。
§8－6 弯曲时的正应力
➢ 纯弯曲时梁横截面上的正应力
各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。
各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。
I. 梁在纯弯曲时的实验观察
当梁发生纯弯曲变形时,可
观察到下列一些现象：
(1)两条纵线都弯成曲线 a’a’ 和 b’b’ ,且靠近底面的纵线bb伸长了, 而靠近顶面的纵线aa 缩短了。 (2)两条横线仍保持为直线,只 是相互倾斜了一个角度,但仍垂 直于弯成曲线的纵线。
在纯弯曲的条件下，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴作 相对转动，横截面之间并无互相错动的变形，而每根纵向纤维 则处于简单的拉伸或压缩的受力状态。
III. 纯弯曲时梁的正应力
进一步分析得到：
(1) 由于直梁弯曲时,横截面上只有正应
力σ ，而无剪应力。
(2) 正应力的分布规律
(3) 弯曲时截面上的弯矩可以看成是整
(3)在纵线伸长区,梁的宽度减小;在纵线缩短区,梁的宽度增大。情况 与轴向拉伸、压缩时的变形相似。
II. 推断和假设
假设：(1) 梁在纯弯曲时，各横截 面始终保持为平面，并垂直于梁轴。 此即弯曲变形的平面假设。 (2) 纵向纤维之间没有相互挤压,每 根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。
中性层：从伸长到缩短区，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短。这 一长度不变的过渡层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线
• (2)梁上有均布载荷作用的一段，剪力图为斜直线，均布载荷 向下时，直线由左上向右下倾斜(↘)；弯矩图为抛物线，均布载荷 向下时抛物线开口向下(⌒)。
• (3)在集中力作用处，剪力图上有突变，突变之值即为该处集 中力的大小，突变的方向与集中力的方向一致；弯矩图上在此出现 折角(即两侧斜率不同)。
• (4)梁上集中外力偶作用处剪力图不变，弯矩图有突变，突变 的值即为该处集中外力偶的力偶矩。若外力偶为顺时针转向，弯矩 图向上突变，反之，若外力偶为逆时针转向，弯矩图向下突变(左 至右)。
§8－4 剪力图和弯矩图
➢ 剪力图和弯矩图绘制的基本方法
梁的剪力和弯矩方程
FQ FQ (x)
M M (x)
x表示横截面在梁 轴线上的位置
剪力和弯矩图：根据剪力方程和弯矩方程用图线把剪力和弯矩 沿梁轴线的变化情况表示出来的图线。
作图时，要选择一个适当的比例尺，以横截面位置 x 为横坐标， 剪力和弯矩 M 值为纵坐标，并将正剪力和正弯矩画在x轴的上 边，负的画在下面。
校核梁的强度时,一般只 考虑正应力强度条件。
§8－8 梁的强度计算
➢ 梁弯曲正应力强度条件 等截面直梁的最大正应力
max
M maxymax IZ
或
m a x
M max WZ
弯曲正应力强度条件
m a x=
M max WZ
≤ [ ]
梁正应力强度条件,可用来解决强度校核，设 计截面尺寸和确定许可载荷这三类问题。
FQ FQ
dh1 A1
A1为腹板的面积
III. 圆形截面梁和薄壁环形截面梁
▪圆形截面 切应力分布规律如图所示, 截 面上的最大切应力为截面上平均切应力的 4/3倍。即
τmax=4τ均/3≈1.33FQ/A
▪薄壁环形截面 环形截面上的切应力分布 规律如图所示。截面上的最大切应力为截 面上平均切应力的2倍,即
FQ
AC 段
Pb M (x1) FAx l x1
(0 ≤ x1 ≤ a)
CB 段
M (x2 ) FAx2 P(x2 a)
Pa l
(l
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 )
(a ≤x2 l)
(3) 画剪力图及弯矩图
M max
Pab l
x2
FB
Gb/l x
Gb/l
Pab/l
弯矩图的特点
• (1)梁上没有均布载荷作用的部分，剪力图为水平线，弯矩图 为倾斜直线。
解：首先计算横截面C处的 弯矩，有
MC
q(2l)2 8
4000N m
梁在竖放时，其弯曲截面 系数为 故横截面C处的最大正应力为
Wz1
bh2 6
6.67 104 m3
max1
MC Wz1
6 106 Pa
梁在平放时，其弯曲截面系数为
Wz 2
bh2 6
3.33104 m3
故横截面C处的最大正应力为
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
τmax=2τ均 =2 FQ/A
以上各式中上A为截面的面积,τ均为截面
上平均切应力。
例8-10 图示简支梁由56a号工字钢制成，在中点处承受集中力F的作用, 己知F=150kN。试比较该梁中最大正应力和最大切应力的大小。
解：简支梁的弯矩图和剪力图可 由查表法查得，从图上可以看出， 该梁所承受的最大弯矩和最大剪 力分别为
剪力符号规定
弯矩符号规定
例8-1 求图示简支梁截面1-1及2-2剪力和弯矩。
解：1）计算梁的支座反力
MA 0: FB 10 F 6 q105
FB 34kN
FY 0 : FA FB 40 210
FA 26kN
2）求截面1-1的剪力及弯矩，如图 FQ1 26 2 5 16kN
• (5)绝对值最大的弯矩总是出现在下述截面上：FQ=0的截面 上；集中力作用处；集中力偶作用处。
➢ 剪力图和弯矩图的查表法与叠加法
几种受单一载荷作用梁的剪力图和弯矩图
几种受单一载荷作用梁的剪力图和弯矩图
例8-6 试用叠加法作图a)所示悬臂梁的弯矩图．如P=3q/8。
解：查表,先分别作出梁只有集 中载荷和只有分布载荷作用下的 弯矩图(图b)、c)。两图的弯矩具 有不同的符号．为了便于叠 加．在叠加时可把它们画在x轴 的同一侧， (图d))。得通常形式 的弯矩图(图e))。
max 2
MC Wz 2
12 106 Pa
在建筑结构中，梁一般采用竖放形式
§8－7 弯曲时的切应力
➢ 梁弯曲横截面上的切应力
I. 矩形截面梁
假 设 如 下 ： (1) 横 截 面 上 各 点 处的切应力均平行于侧边；
(2) 距 中 性 轴 z 轴 等 距 离 的 各 点
处的切应力大小相等。
切应力
FQ max ql
MQ
max
1 ql 2 2
例8-4 一简支梁 AB ,受均布载荷 q 的作用，试作此梁的剪力、弯矩图。
解： 1、求支反力
由对称性知：
FA
FB
ql 2
FA
FB
2、建立剪力方程和弯矩方程
FQ
FA
qx
ql 2
qx
(0 x 1)
M
FA
x
qx2 2
qlx qx2 22
(0 x 1)