河南省顶级2019届高三考前信息卷数学(文)试卷含解析

河南省顶级名校2019年高三考前信息卷

文科数学试题

一.选择题：（每小题5分，共60分） 1. 复数z=i 9(-1-2i)的共轭复数为 A.2+i

B.2-i

C.-2+i

D.-2-i

2. 设集合A={a,a+1},B={1,2,3},若A ∪B 的元素个数为4,则a 的取值集合为 A.{0}

B.{0,3}

C.{0,1,3}

D.{1,2,3}

3. 已知向量)1,3(=a ,)3,3(-=b ,则向量b 在向量a 方向上的投影为 A ．- 3 B ． 3 C ．-1 D ．1

4. 如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形．在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是

A ．

323π－ B ．323π－2 C ．33π－ D ．3

43

π－2

5. 已知定义域R 的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且当0≤x≤1时,f(x)=x 3,则f(5

2

)=

A ．-278

B ．-18

C ．18

D ．27

8

6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为

A ．6π

B ．24π

C ．48π

D ．96π

7. 已知函数f (x )＝2sin x (3cos x －sin x )＋1，若f (x －φ)为偶函数，则φ可以为

A.π2

B.π3

C.π4

D.π6

8. 已知a,b 是两条异面直线，直线c 与a,b 都垂直,则下列说法正确的是 A. 若?c 平面α，则α⊥a

B ．若c

⊥平面α，则//,//a b αα

C ．存在平面α，使得α⊥c ,a α?,//b α

D ．存在平面α，使得//c α，α⊥a ,b α⊥

9. 已知R a ∈且为常数,圆：

C 0222

2=-++ay y x x ,过圆C 内一点(1,2)的直线l 与圆C 相交于B A ,两点,当弦AB 最短时,直线l 的方程为02=-y x ,则a 的值为

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

10. 在平面直角坐标系xOy 中,M,N 分别是x 轴正半轴和y=x(x ＞0)图像上的两个动点,且|MN|=2,则|OM|2+|ON|2的最大值是

A ．4-2 2

B ．4

3

C ．4

D ．4+2 2

11．已知以圆()41:22

=+-y x C 的圆心为焦点,坐标原点为顶点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交

于

A 点，

B 点是抛物线:2

C y x 82

=上任意一点，BM 与直线2-=y 垂直，垂足为M ，则

AB BM -的最大值为

A. 1

B. 2

C. 1-

D. 8

12. 已知函数

则函数的零点个数为

A.

B.

C.

D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。共20分。

13. 某单位普通职工和行政人员共280人，为了了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本，已知从普通职工抽取人数为49人，则该单位行政人员的人数为 .

14.一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件中的整数

的值是 ．

15. 在钝角△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，且b a >，已知

,4sin sin sin ,8A C B a =

-=,8

7

2cos -=A 则△ABC 的面积为 16.在平面直角坐标系xOy 中,定义两点),(11y x A ,),(22y x B 间的折线距离为

=),(B A d 2121y y x x -+-，已知点)0,0(O ,),(y x C ,(O,)1d C =,则22y x +的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解得应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17.(12分) 已知数列{a n }满足：a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n ，（n=1，2，3，…）

（1）求证：数列{a n -1}是等比数列；

（2）令b n=（2-n）（a n-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，

求实数t的取值范围．

18．(12分)某市A,B两校组织了一次英语笔试(总分120分)联赛,两校各自挑选了英语笔试成绩最好的100名学生参赛,成绩不低于115分定义为优秀.赛后统计了所有参赛学生的成绩(都在区间[100,120]内),将这些数据分成4组:[100,105),[105,110),[110,115),[115,120].得到如下两个频率分布直方图:

(1)分别计算A,B两校联赛中的优秀率;

(2)联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金,已知奖学金y(单位:百元)与其成绩t的关系式

为y=.

①当a=0时,试问A,B两校哪所学校的获奖人数更多?

②当a=0.5时,若以奖学金的总额为判断依据,试问本次联赛A,B两校哪所学校实力更强?

19.(12分)如图,在四棱锥B-ACDE中,正方形ACDE所在平面与正△ABC所在平面垂直,M,N分别为BC,AE的中点,F在棱CD上.

(1)证明:MN∥平面BDE.

(2)已知AB=2,点M到AF的距离为,求三棱锥C-AFM的体积。

20．(12分)椭圆+=1(m>1)的左、右顶点分别为A,B,过点B作直线l交

直线x=-2于点M,交椭圆于另一点P.

(1)求该椭圆的离心率的取值范围;

(2)若该椭圆的长轴长为4,证明:·为定值(O为坐标原点).

21.(12分)已知函数f(x)=ax3-x2.

(1)若f(x)的一个极值点在(1,3)内,求a的取值范围;

(2)若a为非负数,求f(x)在[-1,2]上的最小值.

请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题

卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22．(满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为?

??==αα

sin cos t y t x (t 为参数,α倾斜角),曲线C 的参数方程

为??

?=+=β

β

sin 2cos 24y x (β为参数,β∈[0,π]),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

(I)写出曲线C 的普通方程和直线的极坐标方程;

(Ⅱ)若直线与曲线C 恰有一个公共点P,求点P 的极坐标。

23．(满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数m x m x x f 2)(+--=的最大值为3,其中m>0。 (I)求m 的值；

(Ⅱ)若a,b ∈R,ab>0,a 2+b 2=m 2,求证：

133≥+a

b

b a 。

文科数学试题答案

选择题：1~5 ABABB 6~10 BBCBD 11~12 AB 填空题：13. 35 14. 6 15. 15316.

2

2 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解得应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17.（Ⅰ）证明：由题可知：a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n ，① a 1+a 2+a 3+…+a n+1=n+1-a n+1，②

②-①可得2a n+1-a n =1 即：a n+1-1=（a n -1），又a 1-1=- 所以数列{a n -1是以-为首项，以为公比的等比数列 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a n =1-，

∴b n =（2-n ）（a n -1）=…（8分） 由b n+1-b n =

-=

＞0可得n ＜3

由b n+1-b n ＜0可得n ＞3

所以b 1＜b 2＜b 3=b 4，b 4＞b 5＞…＞b n ＞…故b n 有最大值b 3=b 4=

所以，对任意n ∈N *，都有b n +t≤t 2，等价于对任意n ∈N *，都有≤t 2-t 成立 所以t 2-t-≥0 解得t≥或t≤- 所以，实数t 的取值范围是（-∞，

]∪[，+∞）

18.解:(1)由频率分布直方图知,A 校的优秀率为0.06×5=0.3, 1分 B 校的优秀率为0.04×5=0.2. 2分 (2)①A 校的获奖人数为100×(1-0.04×5)=80,…………………………3分 B 校的获奖人数为100×(1-0.02×5)=90, …………………………4分 所以B 校的获奖人数更多. …………………………5分 ②A 校学生获得的奖学金的总额为 0.2×100×0.5+0.5×100×1.5+0.3×100×2.8=169(百元)=16900(元),…………………………8分 B 校学生获得的奖学金的总额为 0.1×100×0.5+0.7×100×1.5+0.2×100×2.8=166(百元)=16600(元), ………………………11分 因为16900>16600,所以A 校实力更强. …………………………12分 19.(1)证明:取BD 的中点G,连接EG,MG, ∵M 为棱BC 的中点,

∴MG ∥CD,且MG=CD. …………………………1分 又N 为棱AE 的中点,四边形ACDE 为正方形, ∴EN ∥CD,且EN=CD. …………………………2分

从而EN ∥MG,且EN=MG,于是四边形EGMN 为平行四边形, …………………………3分 则MN ∥EG. …………………………4分

∵MN ?平面BDE,EG ?平面BDE,∴MN ∥平面BDE. …………………………5分

(2)解:(法一)过M作MI⊥AC于I,

∵平面ACDE⊥平面ABC,∴MI⊥平面ACDE, ………………………6分

过I作IK⊥AF于K,连接MK,则MK⊥AF. …………………………7分

∵AB=2,∴MI=2××=,∴MK===,

∴IK=,过C作CH⊥AF于H,易知==,则CH=×=.……9分

∵CH==,∴CF=1. …………………………10分

(法二)在正△ABC中,∵M为BC的中点,∴AM⊥BC. (6)

分

∵平面ABC⊥平面ACDE,AC⊥CD,

∴CD⊥平面ABC,∴CD⊥AM. …………………………7分

∵BC∩CD=C,∴AM⊥平面BCD,∴AM⊥MF. …………………………8分

设CF=a,在△AFM中,AM=,FM=,AF=,

则××=××,解得a=1. …………………………10分

从而V C-AFM=V F-ACM=×1×××22=.…………………………12分

20.(1)解:∵e====,…………………………2分

又m>1,∴0

∴e∈(0,). …………………………4分

(2)证明:∵椭圆的长轴长为2=4,∴m=2, …………………………5分

易知A(-2,0),B(2,0),设M(-2,y0),P(x1,y1),

则=(x1,y1),=(-2,y0), …………………………6分

直线BM的方程为y=-(x-2),即y=-x+y0, …………………………7分

代入椭圆方程x2+2y2=4, 得(1+)x2-x+-4=0, …………………8分

由韦达定理得2x1=,…………………………9分

∴x1=,∴y1=, …………………………10分

∴·=-2x1+y0y1=-+==2m=4. …………………………12分21.解:(1)当a=0时,显然不合题意,故a≠0.…………………………1分

f'(x)=3ax2-2x,令f'(x)=0,得x=0或x=, …………………………2分

由题意可得,1<<3,解得

当0

∵x∈[-1,2],∴3x-≤0,

故f(x)在[-1,0)上单调递增,在(0,2]上单调递减,∴f(x)min=min{f(-1),f(2)}. ………………6分∵f(2)-f(-1)=(8a-4)-(-a-1)=9a-3≤0,∴f(x)min=f(2)=8a-4. …………………………7分

当a>时,f'(x)=ax(3x-),0<<2,当x∈[-1,0)∪(,2]时,f'(x)>0;

当x∈(0,)时,f'(x)<0. …………………………8分

∴f(x)min=min{f(-1),f()}.

∵f()-f(-1)=(-)-(-a-1)=, …………………………9分

∵a>, ∴27a3+27a2-4>0, >0, …………………………10分

∴f(x)min=f(-1)=-a-1. …………………………11分

综上,当0≤a≤时,f(x)min=8a-4;当a>时,f(x)min=-a-1. …………………………12分