抽象函数常见模型习题归纳(学生版)
抽象函数常见模型习题归纳(学生版)
一,正比例函数型
正比例函数型函数特征式为:()()()y f x f y x f +=+
例1、已知()x f 是定义在R 上的函数,对任意的x 、∈y R 都有()()()y f x f y x f +=+,且当x >0时, ()x f <0,()21-=f 。问:当33≤≤-x 时,函数()x f 是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由。
例2、已知函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>0, f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。
二,一次函数型
一次函数型函数特征式为: ()()()f x y f x f y b +=+-
例1、定义在R 上的函数()x f 满足()()(),0)21(,1=+=++f y f x f y x f 且21>
x 时,()0 例 2、 已知函数)(x f 满足:对任意的R n m ∈,,都有1)()()(-+=+n f m f n m f ,并且当0>x 时,1)(>x f ,若4)3(=f ,解不等式,02)5(2<--+a a f 。 例3、已知函数f (x )对任意,满足条件f (x )+f (y )=2 + f (x +y ),且当x >0时,f (x )>2, f (3)=5,求不等式 的解。 例4、已知函数f x ()对任意x y R ,∈有f x f y f x y ()()()+=++2,当x >0时,f x ()>2,f ()35=,求不等式f a a ()2223--<的解集。 三,指数函数型 指数函数型函数特征式为:()()()f x y f x f y += 例1、定义在R 上的函数()()00,≠=f x f y ,当0>x 时,()1>x f 且对任意R b a ∈,都有()()().b f a f b a f =+ (Ⅰ)求()0f 的值; (Ⅱ)判定函数值的正负; (Ⅲ)判断()x f 在R 上的单调性; (Ⅳ)若()()122>-x x f x f ,求x 的取值范围。 例2、设函数f (x )的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得,对任何x 和y , 成立。求: (1)f (0); (2)对任意值x ,判断f (x )值的正负。 例3、是否存在函数f (x ),使下列三个条件:①f (x )>0,x ∈N ;② ; ③f (2)=4。同时成立?若存在,求出f (x )的解析式,如不存在,说明理由。 例4、设函数y f x =()定义在R 上,当x >0时,f x ()>1,且对任意m n ,,有f m n f m f n ()()()+=?,当m n ≠时f m f n ()()≠。 (1)证明f ()01=; (2)证明:f x ()在R 上是增函数; (3)设{} A x y f x f y f =?<()|()()(),221, B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()},,,,,10,若A B =?,求a b c ,,满足的条件。 四,对数函数型 对数函数型函数特征式为:()()()y f x f xy f += 例1、已知函数()x f 的定义域是(0,+∞),当1>x 时,(),0>x f 且()()()y f x f xy f +=。 (Ⅰ)求()1f ; (Ⅱ)判()x f 在定义域上的单调性; (Ⅲ)如果,1)31(-=f 求满足不等式()2)2 1(≥--x f x f 的x 的范围。 例2、 已知函数)(x f 是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足:对任意的()+∞∈,0,y x ,都有)()()(y f x f y x f -=, 如1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x f x f . 例3、设f (x )是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 ,求: (1)f (1); (2)若f (x )+f (x -8)≤2,求x 的取值范围。 四,幂函数型 幂函数型函数特征式为:()()()y f x f xy f = 例1、 已知函数)(x f 的定义域为R ,都有)()()(y f x f xy f =且1)1(=-f ,9)27(=f ,当[)1,0∈x 时,[)1,0)(∈x f 。(1)判断)(x f 的奇偶性;(2)判断并证明)(x f 在[0,+∞)上的单调性;(3)如0≥a 且39)1(≤+a f ,求a 的取值范围。 例2、已知函数()x f 对于任意正数x 、y 都有()()()y f x f xy f =且()≠x f 0。当x >1时,()x f <1 (1)判断()x f 的奇偶性 (2)判断()x f 在(0,+∞)上的单调性并说明理由 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f += 因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(, 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下: 指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 一.定义型 例1. 已知函数是一次函数,求其解析式。 解:由一次函数定义知 , ,故一次函数的解析式为y=-6x+3。 注意:利用定义求一次函数y=kx+b解析式时,要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。 二. 点斜型 例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1),求这个函数的解析式。 解:一次函数的图像过点(2, -1), ,即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。 变式问法:已知一次函数y=kx-3 ,当x=2时,y=-1,求这个函数的解析式。 三. 两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4),则这个函数的解析式为_____。 解:设一次函数解析式为y=kx+b,由题意得 ,故这个一次函数的解析式为y=2x+4 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。 解:设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2) 有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2 五. 斜截型 例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行,且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为___________。 解析:两条直线;。当k1=k2,b1≠b2时, 直线y=kx+b与直线y=-2x平行,。 又直线y=kx+b在y轴上的截距为2,故直线的解析式为y=-2x+2 六. 平移型 例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析:设函数解析式为 y=kx+b, 直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行 直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1,故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系式为___________。 解:由题意得Q=20-0.2t ,即Q=-0.2t+20 故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20()注意:求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为__________。 解:易求得直线与x轴交点为,所以,所以|k|=2 ,即 故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4 九. 对称型 若直线与直线y=kx+b关于 (1)x轴对称,则直线的解析式为y=-kx-b (2)y轴对称,则直线的解析式为y=-kx+b (3)直线y=x对称,则直线的解析式为 (4)直线y=-x对称,则直线的解析式为 (5)原点对称,则直线的解析式为y=kx-b 例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称,则直线l的解析式为____________。 解:由(2)得直线l的解析式为y=-2x-1 十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A(1, 4),B(2, 2)两点,请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式,并简要说明解答过程。 解:(1)若经过A、B两点的函数图像是直线,由两点式易得y=-2x+6 (2)由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4,所以经过A、B两点的函数图像还可以 是双曲线,解析式为 (3)其它(略) 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c. 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 函数概念及其表示---典例分析 例1.下列各组函数中,表示同一函数的是( C ). 选题理由:函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评:有利于理解函数概念,强化函数的三要素。 变式: 1.函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ,则(2)f -=( ). A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2.集合{}22M x x =-≤≤,{}02N y y =≤≤,给出下列四个图形,其中能表示以M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( B ). 选题理由:更好的帮助学生理解函数概念,同时也体现函数的重要表示法图像法,图形法是数形结合思想应用的前提。 变式: 1.下列四个图象中,不是函数图象的是(B ). 2.设集合A ={x |0≤x ≤6},B ={y |0≤y ≤2},从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ). A. f :x →y = 1 2x B. f :x →y = 1 3x C. f :x →y =1 4x D. f :x →y =1 6 x A. B. C. D. 函数的表达式及定义域—典例分析 【例1】 求下列函数的定义域: (1)1 21 y x = +-;(2 )y = . 选题理由:考查函数三要素,定义域是函数的灵魂。 解:(1)由210x +-≠,解得1x ≠-且3x ≠-, 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. (2 )由30 20 x -≥??≠,解得3x ≥且9x ≠, 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由:函数的重要表示法,解析式法。 变式: 1 .函数y =的定义域为( ). A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2.已知函数()f x 的定义域为[1,2)-,则(1)f x -的定义域为( ). A .[1,2)- B .[0,2)- C .[0,3)- D .[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求: (1)(2)f 的值; (2)()f x 的表达式 解:(1)由121x x -=+,解得13x =-,所以1 (2)3f =-. (2)设11x t x -=+,解得11t x t -= +,所以1()1t f t t -=+,即1()1x f x x -=+. 点评:此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的研究,常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式: 1.已知()f x =2x +x +1,则f =______;f [(2)f ]=______. 2.已知2(21)2f x x x +=-,则(3)f = . 【例 2】 已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞,求f [f (0)]的值. 选题理由:分段函数生活重要函数,是考察重点。 解:∵ 0(,1)∈-∞ , ∴ f 又 ∵ >1, ∴ f )3)-3=2+ 12=52,即f [f (0)]=5 2 . 点评:体现了分类讨论思想。 2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下的路,设在途中花的时间为 t ,离开家里的路程为d ,下面图形中,能反映该同学的行程的是( ). 高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->, 由条件当x >0时,f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+ =-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数, 令y x =-,则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00= ∴-=-f x f x ()(), 故f x ()为奇函数, ∴=-=f f ()()112,f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在,21上的值域为[]-42, 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性,去掉“f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。 例3 已知f x ()是定义在(-11,)上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足 f a f a ()()---<2402,试确定a 的取值范围。 解: f x ()是偶函数,且在(0,1)上是增函数, ∴f x ()在()-10,上是减函数, 由-<-<-<-??121141 2 a a 得35<2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
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