【习题】初中数学不等式试题及答案

2x 3 3 5x b 2

2

初中数学不等式试题及答案

A 卷

2 x 7 x 1．不等式 2(x + 1) - 1 的解集为 。

3

2

x x 2．同时满足不等式

7x + 4 ≥ 5x –8 和

3

2

的整解为

。 5

3．如果不等式 mx 1 x 1

3 3

3 的解集为 x >5 ，则 m 值为 。

4．不等式

2

(2x 1)

3x( x 1)

7 ( x 2

k ) 的解集为

。

5．关于 x 的不等式 (5 –2m)x > -3 的解是正数，那么

m 所能取的最小整数是

。

6．关于 x 的不等式组

的解集为 -1

。

7．能够使不等式 (|x| - x )(1 + x ) <0 成立的 x 的取值范围是 。

8．不等式 2<|x - 4| <3 的解集为 。

9．已知 a,b 和 c 满足 a ≤ 2,b ≤ 2,c ≤ 2,且 a + b + c = 6 ，则 abc= 。

4 10．已知 a,b 是实数，若不等式 (2a - b)x + 3a –4b <0 的解是 x

，则不等式 (a –4b)x + 2a –3b >0 的解是 。

9

B 卷 一、填空题

1．不等式 | x

3x 4 | x 2 的解集是

。

2．不等式 |x| + |y| < 100 有

组整数解。

x

1

z

y

3．若 x,y,z 为正整数，且满足不等式

3 2

y z 1997

则 x 的最小值为 。

4．已知 M= 1998 2

1 1999

, N 2

1

1999 2 2000

2

1

，那么 M ， N 的大小关系是

。（填“ > ”或“ < ”）

1

5．设 a, a + 1, a + 2 为钝角三角形的三边，那么

a 的取值范围是

。

二、选择题

3 | x | 1

4 1．满足不等式 4 的 x 的取值范围是（

）

x 3 2 A ． x>3

B ． x< 7

2 C ． x>

3 或 x<

7

D ．无法确定

2．不等式 x –1 < (x - 1)

2

< 3x + 7 的整数解的个数（ ）

4 6 1

, n = 38

1 10

8

A ．等于 4

B ．小于 4

C ．大于 5

D ．等于

5

x 1

x 2

3． x 3

x 4 x 5

x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 1 x 1 x 2

a 1 (1) a 2 (2) a 3 (3)

a 4 (4) a 5 (5)

其中 a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 是常数，且 a 1

a 2 a 3 a 4

a 5 ，则 x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 的大小顺序是（

）

A ． x 1

x 2 x 3 x 4 x 5

B ． x 4 x 2 x 1 x 3 x 5

C ． x 3 x 1 x 4 x 2 x 5

D ． x 5

x 3

x 1

x 4

x 2

4．已知关于 x 的不等式

1

3 x

mx 的解是 4

）

2 1

A ． m = , n = 32

B ． m =

, n = 34 C ． m =

D ． m =

, n = 36

三、解答题

8 1．求满足下列条件的最小的正确整数，

n ：对于 n ，存在正整数 k ，使

15

n 7 n k

13

成立。

2．已知 a,b,c 是三角形的三边，求证：

a b c 2.

b c

c a

a b

3．若不等式组

x

2 x 2

2

2 x

(5

2k )

x 5k

的整数解只有 x = -2 ，求实数 k 的取值范围。

答案

A 卷 1． x ≥ 2

2．不等式组

7x 4 5x

x

2 x

3 58

3

的解集是-

6≤x < 3 ，其中整数解为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，

4

3．由不等式mx 1 x

1

3 3

3

可得(1 –m )·x < -5 ，因已知原不等式的解集为x >5 ，则有(1-m) ·5 = -5, ∴m = 2.

4．由原不等式得：(7 –2k)x < 2

k +6，当k <7

时，解集为

2

k 2 6

x ；

7 2k

当k > 7时，解集为x

2 k 2 6

;

7 2k

2a b

9

a 8 3a 4

b 4

b

7

2

2

当 k = 7 时，解集为一切实数。

2

5

5．要使关于 x 的不等式的解是正数，必须

5 –2m<0 ，即 m>

，故所取的最小整数是 3。

2

6． 2x + a >3 的解集为 x >

3 a

2 b

； 5x –b < 2 的解集为 x < 2 5

所以原不等式组的解集为

3 a

2 b

3 a <

。且

<

2 5

2

2 b 。又题设原不等式的解集为 –1 < x <1，所以

5

3 a =-1 ，

2

2 b

3 a =1，再结合

<

5

2

2 b ，解得： a = 5, b =

3 ，所以 ab = 15

5

7．当 x ≥ 0 时， |x| - x = x –x = 0 ，于是 (|x| - x )(1 + x ) = 0 ，不满足原式，故舍去 x ≥ 0

当 x < 0 时， |x| - x = - 2x >0 ， x 应当要使 (|x| - x )(1 + x )<0 ，满足 1 + x < 0 ，即 x < -1 ，所以 x 的取值范围是 x < - 1 。

８．原不等式化为

| x 4 |

| x 4 | 2(1)

3(3)

由（ 1）解得或 x <2 或 x > 6 ，由（ 2）解得 1 < x < 7 ，原不等式的解集为 1 < x < 2 或 6 < x <

7.

9．若 a,b,c ，中某个值小于 2，比如 a < 2，但 b ≤ 2, c ≤ 2，所以 a + b + c <6 ，与题设条件 a + b + c = 6 矛盾，所以只能 a = 2， 同理 b = 2, c = 2 ，所以 abc=8。

4 10．因为解为 x >

的一元一次不等式为 –9 x + 4 < 0 与 (2a –b )x + 3a –4b <0 比较系数，得

9

1 所以第二个不等式为 20x + 5 > 0 ，所以 x >

4

B 卷

1．原不等式化为 |(x + 1) (x - 4) | > x + 2, 若 (x + 1) (x - 4) ≥ 0，即 x ≤ -1 或 x ≥ 4 时，有

x

3x

4 x 2, x

4x 6 0

∴ x

2

10或x 2

10或1

3 x 1

3

2．∵ |x| + |y| < 100 ，∴ 0≤ |x|≤ 99, 0 ≤ |y|≤ 99，于是 x,y 分别可取 -99 到 99 之间的 199 个整数，且 x 不等于 y ，所以可能的情 况如下表： X 的取值 Y 可能取整数的个数

0 198(|y| < < 100) ± 1

196 (|y| < 99)

,, ,,

± 49 100 (|y| < 51) ± 50

99 (|y| < 50)

,, ,,

± 98 3 (|y| < 2) ± 99

1 ( |y| < 1)

所以满足不等式的整数解的组数为：

198 + 2 (1 + 3 + ,

+ 99) + 2(100 + 102 + ,

+ 196)

198

2 (1

99) 50

2

2 (100 196) 49

2

19702

x

3． 3 y z 1 y(1)

2

z 1997( 2)

由（ 1）得 y ≤ 2z

(3)

由（ 3）（ 2）得 3z ≥ 1997 （ 4）

1998

2000

M n 1 2n 1

1 1

n N

1

2n 1 4n 1

2

2

2

2

2

1997

因为 z 是正整数，所以 z ≥ [ ] 1 3

666

由（ 1）知 x ≥ 3z ，∴ z ≥ 1998，取 x = 1998, z = 666, y = 1332 满足条件 所以 x 的最小值是 1998。

4．令 1998

2

n ，则 1999

2

2 2

2 n ,2

4n,

(n 1)(4n 1)

2

4n

2

5n 2

2

( 2n 1)

4n

4n 1

4n

4n 1

∴ M >N

5．钝角三角形的三边

a, a + 1, a + 2 满足：

a ( a

a

(a 1) a 2

1)

( a a 1

即

2)

2a 2a 3 0

a 1

∴

故1 a 3

1 a 3

二、选择题

1．当 x ≥ 0 且 x ≠ 3 时， 若 x>3 ，则（ 1）式成立

3 | x | 1

4 x 3

3x 14 x 3

5 5 3

4, ∴

x 3

x 3

1(1)

若 0≤ x < 3 ，则 5 < 3-x ，解得 x < -2 与 0≤ x < 3 矛盾。

当 x < 0 时，

3 | x | 14

x 3

3 x 1

4 4, x 3

解得 x <

2

2 (2)

7

由（ 1），（ 2）知 x 的取值范围是 x >3 或 x <

,故选 C

7

2．由 ( x

1)

x

2 x 1, 原不等式等价于 ( x 2) ( x 1) 0, ( x 1) ( x 6) 0, 分别解得 x < 1 或 x >2 ，-1< x < 6 ，原不等

式的整数解为 0,3,4,5,故应选 A 3．方程组中的方程按顺序两两分别相减得

x 1 x 4

x 3 x 1

a 1 a 2 , x 2

x 5

a 3 a 4 , x 4 x 2 a 2 a 3

a 4 a 5

因为 a 1 a 2

a 3

a 4 a 5

所以 x 1 x 4 , x 2 x 5 , x 3

x 1 , x 4

x 2 ，于是有 x 3

x 1

x 4 x 2 x 5 故应选 C

4．令

x =a (a ≥ 0) 则原不等式等价于 ma 2 a 3 2

0 由已知条件知（ 1）的解为 2< a <

n

因为２和

n 是方程

ma 2 a 3 2

0 的两个根，所以

1

2 n

m 解得 m = 3 2 n

1 ,

n 36

8 2m

故应选 D

三、解答题

15 1．由已知得

8

n k

13 n 7

54

, 即 15

1 k 8 n 63

13 6 , 7 7

k 7 n , k 为正整数 n 8

60 70 显然 n>8 ，取 n = 9 则 7 k ，没有整数 K 的值，依次取 n = 10, n = 11, n = 12, n = 14 时，分别得

k

，

8 7

8

66 77 72

k ，

7 8 7

84 78

k ，

8 7

91 84

k ，

8 7

98 90

k ，k 都取不到整数，当n = 15 时，

8 7

105

k ，k 取13 即可满

8

足，所以n 的最小值是15。

2．由“三角形两边之和大于第三边”可知，

a

,

b c a

b c

,

c a b

a

，是正分数，再利用分数不等式：

b c

a a

b c a

2a

，

a b c

b

同理

a c a

a b ∴2b c 2c

,

b c a b a b c

c 2a 2b 2c 2(a b c )

2

b c a c a b a b c a b c a b c a b c 3．因为x = -2 是不等式组的解，把x = - 2 代入第 2 个不等式得

(2x + 5) (x + k) = [2 ·(-2) + 5] ·(-2 + k ) < 0 ，解得k < 2 ，所以–k > -2 > 5

,即第2 个不等式的解为

2

5

< x < k ，而第 1 个

2

不等式的解为x < -1 或x > 2 ，这两个不等式仅有整数解x = -2 ，应满足

x 1

5

(1) x

2

x 2

5

k或(2) x k

2

x为整数x为整数.

对于（1）因为x < 2 ，所以仅有整数解为x = -2 此时为满足题目要求不等式组（2）应无整数解，这时应有-2 < -k ≤3, -3≤k < 2

综合（1）（2）有-3≤k < 2