数值分析第四版习题及答案
第四版
数值分析习题
第一章 绪 论
1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.
2. 设x 的相对误差为2％,求n
x 的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指
出它们是几位有效数字:
*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?
4. 利用公式求下列各近似值的误差限:
********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****
1234
,,,x x x x 均为第3题所给的数.
5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少
6. 设028,Y =按递推公式
1n n Y Y -=…)
计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差
7. 求方程2
5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字.
8. 当N 充分大时,怎样求
211N
dx x +∞
+?
9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2
10. 设
212S gt =
假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误
差增加,而相对误差却减小.
11. 序列
{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),
计算到
10y 时误差有多大这个计算过程稳定吗
12.
计算6
1)f =,
1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好
3
-- 13.
()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式
ln(ln(x x =-
计算,求对数时误差有多大
14. 试用消元法解方程组
{
101012121010;
2.
x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠
15. 已知三角形面积
1sin ,2s ab c =
其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为
,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足
.s a b c
s a b c ????≤++
第二章 插值法
1. 根据定义的范德蒙行列式,令
2000
01121112
1
()(,,
,,)1
1
n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x
x x ----==
证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且
101101()(,,,)()
()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.
2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.
3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 的近似值.
4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数
字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.
5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.
6. 设
j
x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:
i) 0()(0,1,,);
n
k
k
j j j x l x x
k n =≡=∑
ii) 0
()()1,2,
,).
n
k j
j j x
x l x k n =-≡0(=∑
7. 设
[]2
(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21
()()().
8max max a x b
a x
b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"
8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截
断误差不超过6
10-,问使用函数表的步长h 应取多少
9. 若2n
n y =,求4n y ?及4n y δ.
10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分
()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +?=为正整数).
11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.
12. 证明1
1
0010
.
n n k
k
n n k k k k f g
f g f g g f --+==?=--?∑∑
13. 证明
1
2
00
.
n j n j y y y -=?
=?-?∑
14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明
{
10,02;
, 1.
1
()
n k n
j
k n a k n j j
x f x -≤≤-=-==
'∑
15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则
[][]0101,,,,,
,n n F x x x cf x x x =;
ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]01
0101,,,,,
,,,
,n n n F x x x f x x x g x x x =+.
16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ???
?
及01
82,2,,2f ???
?
.
17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是
(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次
埃尔米特插值的误差限.
19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件
(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.
20. 设
[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()
n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[
],a b 上一致收敛到()f x .
21. 设
2
()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.
22. 求2
()f x x =在[
],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.
23. 求4
()f x x =在[
],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.
24. 给定数据表如下:
试求三次样条插值并满足条件
i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii) (0.25)(0.53)0.S S "="=
25. 若
[]2
(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)
[][][][]2
2
2
()()()()2()()()b
b
b
b
a
a
a
a
f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx
"-"="-"+""-"????
;
ii) 若()()(0,1,
,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则
[][][]
()()()()()()()()()b
a
S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?
.
26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用式的
表达式).
第三章 函数逼近与计算
1. (a)利用区间变换推出区间为[
],a b 的伯恩斯坦多项式.
(b)对()sin f x x =在[
]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的
马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:
(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.
3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[
]0,2π的最佳一致逼近多项式.
4. 假设()f x 在[
],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.
5. 选取常数a ,使301
max x x ax
≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一
6. 求()sin f x x =在[
]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
7. 求()x
f x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.
8. 如何选取r ,使
2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小r 是否唯一 9. 设
43
()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求
***0123(),(),(),()T x T x T x T x .
11. 试证
{}*()n
T x 是在[]0,1上带权ρ=
的正交多项式.
12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设()x
f x e =在[
]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞
-有界,
证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使
11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤
14. 设在[]1,1-上
2345
11315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差.
15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过.
16. ()f x 是[
],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项
式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.
17. 求a 、
b 使[]2
2
sin ax b x dx π
+-?为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较. 18. ()f x 、
[]1
(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();
b b
a
a
a f g f x g x dx
b f g f x g x dx f a g a =''=''+??
问它们是否构成内积
19. 用许瓦兹不等式估计6
1
01x dx x +?的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比
较其结果.
20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1
1
22
21
1
(),x ax dx x ax dx
----??.
21. 设空间
{}{}
10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出一个元素,使得其
为
[]2
0,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果. 22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平方逼近.
23.
sin (1)arccos ()n n x u x +=
是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
()()()112n n n u x xu x u x +-=-.
24. 将
1
()sin 2f x x
=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.
25. 把()arccos f x x =在[
]1,1-上展成切比雪夫级数.
26. 用最小二乘法求一个形如2
y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.
27. 观测物体的直线运动,得出以下数据:
28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:
用最小二乘拟合求.
29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{
}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱
{}k C (0,1,
,7).k =
第四章 数值积分与数值微分
1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所
具有的代数精度:
(1)
101()()(0)()
h
h f x dx A f h A f A f h --≈-++?
;
(2)21012()()(0)()
h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
;
(3)
[]1
121()(1)2()3()/3
f x dx f f x f x -≈-++?
;
(4)
[][]
20
()(0)()/1(0)()h
f x dx h f f h ah f f h ≈++'-'?
.
2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
(1)1
20,84x
dx n x =+?; (2)12
10(1),10x e dx n x --=?;
(3)1
,4
n =?
; (4),6
n =.
3. 直接验证柯特斯公式具有5次代数精度.
4. 用辛普森公式求积分1
x
e
dx
-?
并计算误差.
5. 推导下列三种矩形求积公式:
(1)
2()
()()()()2b
a
f f x dx b a f a b a 'η=-+
-?; (2)
2()
()()()()2b
a
f f x dx b a f b b a 'η=--
-?;
(3)
3()()()(
)()224b
a
a b f f x dx b a f b a +"η=-+-?
.
6. 证明梯形公式和辛普森公式当n →∞时收敛到积分
()b
a
f x dx
?
.
7. 用复化梯形公式求积分
()b
a
f x dx
?
,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差
不超过ε(设不计舍入误差)
8.
1
x e dx
-,要求误差不超过5
10-.
9. 卫星轨道是一个椭圆,
椭圆周长的计算公式是S a =θ
,这里a 是椭
圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.
10. 证明等式
3
5
2
4
sin
3!5!n n
n n π
πππ=-
+
-
试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推
算法求π的近似值.
11. 用下列方法计算积分
3
1
dy
y ?并比较结果.
(1) 龙贝格方法;
(2) 三点及五点高斯公式;
(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.
12. 用三点公式和五点公式分别求
21
()(1)f x x =
+在x =,和处的导数值,并估计误
差.()f x 的值由下表给出:
第五章 常微分方程数值解法
1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达
式，并与准确解
bx ax y +=
2
21相比较。
2. 用改进的尤拉方法解初值问题
??
?=<<+=',1)0(;
10,y x y x y
取步长h=计算，并与准确解x
e x y 21+--=相比较。
3. 用改进的尤拉方法解
??
?=-+=',0)0(;2y y x x y
取步长h=计算)5.0(y ，并与准确解12
+-+-=-x x e y x 相比较。
4. 用梯形方法解初值问题
??
?==+',1)0(;0y y y
证明其近似解为
,
22n
n h h y ??? ??+-=
并证明当0→h 时，它原初值问题的准确解x
e y -=。
5. 利用尤拉方法计算积分
dt
e x
t ?
2
在点2,5.1,1,5.0=x 的近似值。
6. 取h=，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：
1）??
?=<<+=',1)0(;10,y x y x y 2）??
?=<<+='.1)0(;
10),1/(3y x x y y
7. 证明对任意参数t ，下列龙格－库塔公式是二阶的：
?????????
-+-+=++==++=+).
)1(,)1(();,();
,();(2
13121
321
hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y n n n n n n n n
8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：
1） ???
?????
???++=++==++=+);
32,32();3
,3();,();3(4
2312
1311
hK y h x f K K h y h x f K y x f K K K h y y n n n n n n n n 2） ???
?????
???
++=++==+++=+).
43,43();2,2();,();432(9
2312
13211
hK y h x f K K h y h x f K y x f K K K K h y y n n n n n n n n
9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：
,0)0(,1=-='y y y
取,181.0,0,2.010===y y h 计算)0.1(y 并与准确解x
e y --=1相比较。
10. 证明解),(y x f y ='的下列差分公式
)34(4)(211111-+-+'+'-'++=
n n n
n n n y y y h
y y y
是二阶的，并求出截断误差的首项。 11. 导出具有下列形式的三阶方法：
).(22110221101----+'+'+'+++=n n n
n n n n y b y b y b h y a y a y a y
12. 将下列方程化为一阶方程组：
1）;1)0(,1)0(,023='==+'-''y y y y y
2）;0)0(,1)0(,0)1(1.02='==+'--''y y y y y y
3）
,,)(,)(2
23
3y x r r y t y r x t x +=-=''-
=''
.2)0(,0)0(,0)0(,4.0)0(='=='=y y x x
13. 取h=，用差分方法解边值问题
??
?===+''.68.1)1(,0)0(;0y y y y
14. 对方程),(y x f y =''可建立差分公式
),,(2211n n n n n y x f h y y y +-=-+
试用这一公式求解初值问题
??
?==='',0)1()0(;1y y y
验证计算解恒等于准确解
.
2)(2x x x y -=
15. 取h=用差分方法解边值问题
??
?=='--=-'-''+.2)1(,1)0()0(;
363)1(2y y y x y y x y x
第六章 方程求根
1. 用二分法求方程012
=--x x 的正根，要求误差<。
2. 用比例求根法求0sin 1)(=-=x x x f 在区间[0,1]内的一个根，直到近似根k x 满足精度005.0|)(| 3. 为求方程0123=--x x 在5.10 =x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并 建立相应的迭代公式。 1）2/11x x +=，迭代公式21/11k k x x +=+； 2）231x x +=，迭代公式32 11k k x x +=+； 3） 11 2-= x x ，迭代公式1/11-=+k k x x 。 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 4. 比较求0210=-+x e x 的根到三位小数所需的计算量； 1）在区间[0,1]内用二分法； 2) 用迭代法 10/)2(1xk k e x -=+，取初值00=x 。 5. 给定函数)(x f ，设对一切)(,x f x '存在且M x f m ≤'≤<)(0，证明对于范围内 M /20<<λ的任意定数λ，迭代过程)(1k k k x f x x λ-=+均收敛于)(x f 的根*x 。 6. 已知)(x x ?=在区间[a,b]内只有一根，而当a 1|)(|>≥'k x ?， 试问如何将)(x x ?=化为适于迭代的形式 将tgx x =化为适于迭代的形式，并求x=（弧度）附近的根。 7. 用下列方法求013)(3=--=x x x f 在20=x 附近的根。根的准确值* x ＝1.…，要求 计算结果准确到四位有效数字。 1) 用牛顿法； 2）用弦截法，取9.1,110==x x ； 3）用抛物线法，取2,3,1210===x x x 。 8. 用二分法和牛顿法求0=-tgx x 的最小正根。 9. 研究求a 的牛顿公式 ,0),(2101>+= +x x a x x k k k 证明对一切a x k k ≥ =,,2,1 且序列 ,,21x x 是递减的。 10. 对于0)(=x f 的牛顿公式)(/)(1k k k k x f x f x x ' -=+，证明 2211)/()(-----=k k k k k x x x x R 收敛到))(2/()(* *'''-x f x f ，这里* x 为0)(=x f 的根。 11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度： 1) ???? ?<--≥=;0,;0,)(x x x x x f 2) ???? ?<-≥=.0,;0,)(3 232x x x x x f 12. 应用牛顿法于方程02 =-a x ，导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。 13. 应用牛顿法于方程01)(2=- =x a x f ，导出求a 的迭代公式，并用此公式求115的 值。 14. 应用牛顿法于方程0)(=-=a x x f n 和01)(=- =n x a x f ，分别导出求n a 的迭代公 式，并求 . )/()(lim 21k n k n k x a x a --+∞ → 15. 证明迭代公式 a x a x x x k k k k ++=+2 2 1 3) 3( 是计算a 的三阶方法。假定初值0x 充分靠近根* x ，求 . )/()(lim 31k k k x a x a --+∞ → 第七章 解线性方程组的直接方法 1. 考虑方程组： ?????? ?-=+++=+++=+++=+++;2557.03927.02786.04002.01784.0;4240.00643.03781.01920.03645.0;1550.01129.04015.03872.02246.0;4043.02943.03678.01234.04096.0432 1432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算）， (b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。 2. (a) 设A 是对称阵且011≠a ，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ??????2111 A a a T 证明A 2是对称矩阵。 (b)用高斯消去法解对称方程组： ??? ??-=++-=++=-+. 8621.02147.14759.08468.0;7321.14759.08423.13475.0; 4127.08468.03475.06428.0321321321x x x x x x x x x 4. 设A 为n 阶非奇异矩阵且有分解式A=LU ，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，求证A 的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当)1,,2,1(0-=≠?n i i 时，则A=LU ，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵。 6. 设A 为n 阶矩阵，如果 ), ,,2,1(||||1n i a a n i j j ij ii =>∑≠=称A 为对角优势阵。证明：若A 是 对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A 具有形式 ??????21110A a a T 。 7. 设A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ??????21110A a a T ， 其中 ;)(,)(1) 2(2-==n ij n ij a A a A 证明 （1）A 的对角元素);,,2,1(0n i a ii => （2）A 2是对称正定矩阵； （3） );,,2,1(,)(n i a a ii n n =≤ （4）A 的绝对值最大的元素必在对角线上； （5）|; |max ||max ,2)2(,2ij n j i ij n j i a a ≤≤≤≤≤ （6）从（2），（3），（5）推出，如果 1 || .1||) ( 8. 设k L 为指标为k 的初等下三角阵，即 ??? ?? ????? ?? ??? ???? ?=+1111,1nk k k k m m L （除第k 列对角元下元素外，和单位阵I 相同） 求证当k j i >,时，ij k ij k I L I L =~ 也是一个指标为k 的初等下三角阵，其中ij I 为初等排 列阵。 9. 试推导矩阵A 的Crout 分解A=LU 的计算公式，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。 10. 设d Ux =，其中U 为三角矩阵。 (a) 就U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组d Ux =的乘除法次数。 (c) 设U 为非奇异阵，试推导求1 -U 的计算公式。 11. 证明（a ）如果A 是对称正定阵，则1 -A 也是正定阵； （b ）如果A 是对称正定阵，则A 可唯一写成L L A T =,其中L 是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A 的逆阵： ?????? ??? ???-----=5101242170131312A 13. 用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中 ???? ????????????=????????????????--------=00001,2100012100012100012100012b A 14. 用改进的平方根法解方程组 .654131*********??????????=????????????????????---x x x 15. 下述矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）若能分解，那么分解是否唯一 .461561552621,133122111,764142321?? ??? ?????=??????????=??????????=C B A 16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组 ????? ?????=????????????????????-321212111430321x x x . 17. 如果方阵A 有 ) |(|0t j i a ij >-=，则称A 为带宽2t+1的带状矩阵，设A 满足三角分解 条件，试推导LU A =的计算公式，对.,,2,1n r = 1） ∑--=- =1 ) ,1max(r t i k ki rk ri ri u l a u )),min(,,1,(t r n r r i ++= ； 2）rr r t i k kr ik ir ir u u l a l /)(1 ) ,1max(∑--=- = )),min(,,1(t r n r i ++= . 18. 设 ??? ???=3.01.05.06.0A ， 计算A 的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证 (a) ∞∞≤≤||||||||||||1x n x x ， (b) F F A c A A n ||||||||||||1 22≤≤。 20. 设 n n R P ?∈且非奇异，又设||||x 为n R 上一向量范数，定义 || ||||||Px x p =。 试证明 p x ||||是n R 上的一种向量范数。 21. 设n n R A ?∈为对称正定阵，定义 2/1),(||||x Ax x A =， 试证明A x ||||为n R 上向量的一种范数。 22. 设T n n x x x x R x ),,(,21 =∈，求证 ∞ ≤≤=∞ →==∑||||max )||||(lim 11 /1x x x n i i n i p p i y 。 23. 证明：当且尽当x 和y 线性相关且0≤y x T 时，才有 222||||||||||||y x y x +=+。 24. 分别描述2 R 中（画图） ),2,1(},,1|||||{2∞=∈==v R x x x S v v 。 25. 令 ?是n R （或n C ）上的任意一种范数，而P 是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范 数||||||||Px x ='，证明 ||||||||1 -='PAP A 。 26. 设t s A A ||||,||||为n n R ?上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数0,21>c c ，使对一切 n n R A ?∈满足 s t s A c A A c ||||||||||||21≤≤ 27. 设n n R A ?∈，求证A A T 与T AA 特征值相等，即求证)()(T T AA A A λλ=。 28. 设A 为非奇异矩阵，求证 ∞∞ ≠∞ -=||||||||min ||||10 1y A A y 。 29. 设A 为非奇异矩阵，且1||||||||1<-A A δ，求证1)(-+A A δ存在且有估计 .||||||||) (1|| ||||||) (|| ||||)(||1 11A A A cond A A A cond A A A A δδδ-≤+---- 30. 矩阵第一行乘以一数，成为 ? ?????=112λλA 。 证明当 32 ± =λ时，∞)(A cond 有最小值。 31. 设A 为对称正定矩阵，且其分解为W W LDL A T T ==，其中T L D W 2/1=，求证 (a) ;])([)(2 22ωcond A cond = (b) .)()()(222ωωcond cond A cond T = 32. 设 ? ?????=989999100A 计算A 的条件数。),2()(∞=v A cond v 33. 证明：如果A 是正交阵，则1)(2=A cond 。 34. 设n n R B A ?∈,且 ?为上矩阵的算子范数，证明 )()()(B cond A cond AB cond ≤。 第八章 解方程组的迭代法 1. 设方程组 ??? ??=+-=++--=++3 103220241225321321321x x x x x x x x x (a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性; (b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当4)() 1(10||||-∞+<-k k x x 时迭代 终止． 2. 设 ??? ???=0200A , 证明:即使1||||||||1>=∞A A 级数 +++++k A A A I 2也收敛． 3. 证明对于任意选择的A, 序列 ,!41 ,!31,21,,432A A A A I 收敛于零． ４. 设方程组 ?? ?=+=+;; 22221211212111b x a x a b x a x a );0,(1211≠a a 迭代公式为 ?????? ?-=-=--);(1);(1)1(121222)(2) 1(212111)(1k k k k x a b a x x a b a x ).,2,1( =k 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列 }{)(k x 收敛的充要条件是 .122 1121 12<= a a a a r 5. 设方程组 (a) ?????=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x (b) ?????=++=++=-+1 221122321321321x x x x x x x x x 试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 6. 求证A A k k =∞ →lim 的充要条件是对任何向量x ，都有 . lim Ax x A k k =∞ → 7. 设b Ax =，其中A 对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛试考察习题 5(a)方程组。 8. 设方程组 ???????? ?? ?=+--=+--=--=--. 21414 1; 214141;214141;2141414213 21432431x x x x x x x x x x x x (a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵0B 的谱半径； (b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径； (c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR 方法解方程组（分别取松弛因子1.1,1,03.1===ωωω） ??? ??-=+-=-+-=-. 34;44; 143232121x x x x x x x 精确解 ,)21,1,21(T x -=*要求当6 )(105||||-∞*?<-k x x 时迭代终止，并且对每一个ω值确定迭代次数。 10. 用SOR 方法解方程组（取ω＝） ??? ??=+-=++--=++. 31032;2024;1225321321321x x x x x x x x x 要求当4)() 1(10||||-∞+<-k k x x 时迭代终止。 11. 设有方程组b Ax =，其中A 为对称正定阵，迭代公式 ),()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω ),2,1,0( =k 试证明当 βω2 0< <时上述迭代法收敛（其中βλα≤≤<)(0A ）。 12. 用高斯－塞德尔方法解b Ax =，用) 1(+k i x 记) 1(+k x 的第i 个分量，且 ∑∑=-=++--=n i j k i ij i j k j ij i k i x a x a b r ) (1 1 ) 1() 1(。 (a) 证明 i k i k i k i a r x x )1()()1(+++ =； (b) 如果*-=x x k k )() (ε ，其中*x 是方程组的精确解，求证： ii k i k i k i a r )1()()1(++- =ε ε 其中 ∑∑=-=++-=n i j k i ij i j k j ij k i a a r ) (1 1 )1() 1(εε 。 (c) 设A 是对称的，二次型 ),()()()()(k k k A Q εεε= 证明 ∑ =++-=-n j jj k j k k a r Q Q 1 2 )1()()1()()()(εε。 (d) 由此推出，如果A 是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向 量) 0(x 是收敛的，则A 是正定阵。 13. 设A 与B 为n 阶矩阵，A 为非奇异，考虑解方程组 ,,221121b Az Bz b Bz Az =+=+ 其中n R d d z z ∈2121,,,。 (a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 );0(,)(12) 1(2)(21)1(1≥-=-=++m Bz b Az Bz b Az m m m m (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() ()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??== 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。 解：,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解：,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11，特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、 2 A J ：；［则 || A 「一— 仙二 ------------- 'a+1 2 3 设「_1 J ，当a 满足条件 时，A 可作LU 分解。 (试卷一) 一 (10 分)已知％ =1.3409, x 2 =1.0125都是由四舍五入产生的近似值， 判断x-i x 2及x 1 - x 2 有几位有效数字。 二 ( 1 多项式 三(15分)设f(x)? C 4［a,b ］，H (x )是满足下列条件的三次多项式 H (a)二 f (a) , H (b)二 f (b) , H (c) = f (c) , H (c)二 f (c) ( a ：：： c ：： b ) 求f (x) -H(x)，并证明之。 1 四(15分)计算， : =10』。 o 1 +X 五(15分)在［0，2］上取X 。= 0, X 1 = 1, X 2 = 2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代 数精度。 六(10分)证明改进的尢拉法的精度是 2阶的。 七(10分)对模型y ■ = ■?y , ■：■ 0，讨论改进的尢拉法的稳定性。 八(15分)求方程x 3 4x 2 - 7x - 1 = 0在-1.2附近的近似值，；=10 "。 (试卷二) 一 填空(4*2分) 1 { k (x) }k￡是区间［0，1］上的权函数为'(x)=x 2的最高项系数为1的正交多项式族，其中 1 （x ） =1，贝y . X 0（ x ）dx = ------------ ， 1（X ）工 ------- 数值分析试题集 3 2 * * * 4设非线性方程f (x)二(x -3x - 3x -1)(x ? 3) = 0，其根& = -3 ,他 =-1，则求为的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 -------------------------------------- 。 广1 —0.5 a ' 二(8 分)方程组AX=b，其中A= — 0.5 2 -0.5，X, R3 l -a -0.5 1 』 1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代 收敛最快？ 2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。 "V " = f(X y) 三(9分)常微分方程初值问题丿'的单步法公式为y n* = y n」+2hf (x n, y n)，求该 、、y°= y(x°) 公式的精度。 四(14分)设A X =b为对称正定方程组 1求使迭代过程X k 1二X k ?〉(b-A?X k)收敛的数〉的变化范围； 『2 -1 -1、、 1、『0 、 2用此法解方程组-12 0-X2=1 L1 0 1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 数值分析第四版习题及答案 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能 使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数字),计 算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公数值分析试题及答案汇总
数值分析习题集及答案
数值分析试卷及答案
数值分析课后题答案
最新应用数值分析第四版第一章课后作业答案
数值分析整理版试题及答案
数值分析试卷及答案
数值分析试题及答案
应用数值分析(第四版)课后习题答案第9章
数值分析习题集及答案Word版
数值分析试卷及其答案
数值分析第四版习题及答案
数值分析试题集
数值分析试卷及其答案2
数值分析第四版习题及答案
数值分析第四版习题及答案
数值分析习题集及答案
数值分析试题及答案
数值计算方法试题集及答案要点