高考数学选择题做题技巧之数形结合与特殊值

高三数学 选择题做题技巧

一、数形结合

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

【例题】、（07江苏6）设函数()f x 定义在实数集上，它的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x

f x =-，则有（ ）。

A 、13

2()()()323f f f B 、2

3

1()()()323f f f C 、21

3()()

()33

2f f f D ．321()()()2

33

f f f 【解析】、当1x ≥时，()31x

f x =-，()f x 的图象关于直线1x =对称，则图象如图所示。 这个图象是个示意图，事实上，就算画出()|1|f x x =-的图象代替它也可以。由图知， 符合要求的选项是B ，

【练习1】、若P （2，-1）为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）

A 、30x y --=

B 、230x y +-=

C 、10x y +-=

D 、250x y --= （提示：画出圆和过点P 的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A ）

【练习2】、（07辽宁）已知变量x 、y 满足约束条件20

170

x y x x y -+≤??

≥??+-≤?

，则y x 的取值范围是（ ）

A 、9,65??????

B 、[)9,6,5

??-∞+∞ ?

?

?

C 、(][),36,-∞+∞

D 、[]3,6

（提示：把

y

x

看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A 。）

【练习3】、曲线[]2

14(2,2)y x x =+-∈-与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，

k 的取值范围是（ ）

A 、5(0,)12

B 、11(,)43

C 、5(,)12

+∞ D 、53(,)124

（提示：事实上不难看出，曲线方程

[]214(2,2)y x x =+-∈-的图象为22(1)4(22,13)x y x y +-=-≤≤≤≤，

表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线(2)4y k x =-+过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D ）]

【练习4】、函数)1(||x x y -=在区间A 上是增函数，则区间A 是（ ） A 、(]0,∞- B 、??????21,0 C 、[)+∞,0 D 、??

? ??+∞,21

（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B ）

【练习5】、曲线

13

|

|2||=-y x 与直线m x y +=2 有两个交点，则m 的取值范围是（ ）

A 、4 m 或4- m

B 、44 m -

C 、3 m 或3- m

D 、33 m - （提示：作出曲线的图象如右，因为直线m x y +=2与其有两个交点，则4 m 或4- m ，选A ） 【练习6】、（06湖南理8）设函数()1

x a

f x x -=-，集合{}|()0M x f x =，{}'|()0P x f x =，若M P ?，则实数a

的取值范围是（ ）

A 、(,1)-∞

B 、(0,1)

C 、(1,)+∞

D 、[1,)+∞ （提示：数形结合，先画出()f x 的图象。111()1111

x a x a a

f x x x x --+--===+

---。当1a 时，图象如左；当1a 时图象如右。

由图象知，当1a

时函数()f x 在(1,)+∞上递增，'()

0f x ，同时()0f x 的解集为(1,)+∞的真子集，选C ）

【练习7】、（06湖南理10）若圆22

44100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为22，

则直线l 的倾斜角θ的取值范围是（ ） A 、,124ππ???

??? B 、5,1212ππ?????? C 、,63ππ?????? D 、0,2π??

????

（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为222(2)(2)(32)x y -+-=，由题意知，圆心到直线 的距离d 应该满足02d ≤≤

，在已知圆中画一个半径为2的同心圆，则过原点的直线:0l ax by +=与小圆有公共点，

∴选B 。） 【练习9】、方程cosx=lgx 的实根的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx 与lgx 的图象，如图，

由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C ）

【练习10】、(06江苏7)若A 、B 、C 为三个集合，A B B C =，则一定有（ ）

A 、A C ?

B 、

C A ? C 、A C ≠

D 、A =Φ （提示：若A B C ==≠Φ，则,A

B A B

C B A ===成立，排除C 、

D 选项，作出Venn 图，可知A 成立）

【练习11】、(07天津理7)在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-。若()f x 在区间[1，2]上是减函数，则()f x （ ）

A 、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

B 、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C 、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D 、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

（提示：数形结合法，()f x 是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B ）

12.下面为河南省高三模拟测试及高考题中出现的数形结合试题 1.2014年郑州市高三第一次质量模拟测试

2.2013年郑州市高三第二次质量模拟测试试题

3.2013年郑州市高三第三次质量模拟测试试题

10函数)0)(cos(

2>+=ω?ωx y 且2

||π

?<，在区间]6

,3[π

π-

上单调递增，且函数值 从－2增大到2，那么此函数

图象与y 轴交点的纵坐标为 A. 1 B. 2 C. 3 D.

2

2

6+ 11.已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光 线经过椭圆的另一个焦点.今有一水平放置的楠圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴 长为2a ，焦距为2c ，当静止放在点A 的小球(半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹 后再回到点A,则小球经过的路径是

A. 4a

B.2(a-c)

C. 2(a+c)

D.以上答案都有可能

4.2013年河南高考试题（文）

（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 （ ）

（A ） 12（B ）13 （C ）14 （D ）1

6

（5）已知命题p ：,23;x x x R ?∈<命题q ：32,1x R x x ?∈=-，则下列命题中为真命题的是： （ ） （A ） p ∧q （B ）￢p ∧q （C ）p ∧￢q （D ）￢p ∧￢q

二、特值代验

包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊数列等，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。

1.特殊值

【例题1】、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）

A 、12

B 、10

C 、8

D 、32log 5+

【解析】、思路一（小题大做）：由条件有4529

561119,a a a q a q a q ===从而

10

129

29510123

1011()3a a a a a q a q ++

+===，所以原式=10312103log ()log 310a a a ==，选B 。

【练习2】、（07江西文8）若02

x

π

，则下列命题中正确的是（ ）

A 、2

sin x

x π

B 、2

sin x

x π

C 、3

sin x x π

D 、3

sin x

x π

（提示：取,63

x ππ

=

验证即可，选B ）

例3、若sin α>tan α>cot α(

24

π

απ

<

<-

)，则α∈（ ）A ．(

2π

-

，

4π

-

) B ．（

4π

-

，0）C ．（0，4π）D ．（4π，2π

）

解析：因

24

π

απ

<

<-

，取α=－6π

代入sin α>tan α>cot α，满足条件式，则排除A 、C 、D ，故选B.

【练习4】、双曲线方程为22

125x y k k

+=--，则k 的取值范围是（ ）

A 、5k

B 、25k

C 、22k -

D 、22k -或5k （提示：在选项中选一些特殊值例如6,0k =代

入验证即可，选D ）

【练习5】、若()(0,1)x

f x a a

a =≠，1(2)0,f -则1(1)f x -+的图象是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、 （提示：抓住特殊点2，1

(2)0f

-，所以对数

函数1

()f

x -是减函数，图象往左移动一个单位得1(1)f x -+，必过原点，选A ）

2.特殊函数

【练习6】、若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ）A 、0x = B 、1x = C 、1

2

x =

D 、2x = （提示：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2(1)y x =-，则(2)y f x =变为2

(21)y x =-，即知

(2)y f x =的对称轴是1

2

x =

，选C ） 例7、如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（ ） A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5

解析：构造特殊函数f(x)=35

x ，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选

C.

例8、定义在R 上的奇函数f(x)为减函数，设a+b ≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b).其中正确的不等式序号是（ ） A ．①②④ B ．①④ C ．②④ D ．①③ 解析：取f(x)= －x ，逐项检查可知①④正确.故选B. 3.特殊图形

【练习9】、△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则m 的取值是（ ） A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2

（提示：特殊化处理，不妨设△ABC 为直角三角形，则圆心O 在斜边中点处，此时有OH OA OB OC =++，1m =，选B 。） 4.特殊数列

例10、已知等差数列{}

n a 满足

121010

a a a ++???+=，则有（ ）

A 、1

1010

a a +> B 、

21020a a +< C 、3

990

a a += D 、51

51

a = 解析：取满足题意的特殊数列

n a =，则

39

90a a +=，

故选C.

（4）特殊位置

例11、过)0(2

>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则

=+q p 11（ ）A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、 a 4

解析：考虑特殊位置PQ ⊥OP 时，1||||2PF FQ a ==

，所以11224a a a p q +=+=，故选C.

（5）特殊点

例12、设函数()2(0)f x x x =+≥，则其反函数)(1

x f -的图像是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、 解析：由函数()2(0)f x x x =+

≥，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f －1(x)的

图像上，观察得A 、C.又因反函数f －1(x)的定义域为{|2}x x ≥，故选C. （6）特殊方程

例13、双曲线b2x2－a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos 2α

等于（ ）

A ．e

B ．e2

C ．e 1

D ．2

1e

解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察.取双曲线方程为42x －12

y =1，易得离心率e=25,cos 2α=52

，故选C.

（7）特殊模型

例14、如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y2=3，那么x y

的最大值是（ ）

A ．21

B ．33

C ．23

D ．3 解析：题中x y 可写成00

--x y .联想数学模型：过两点的

直线的斜率公式k=12

1

2x x y y --，可将问题看成圆(x －2)2+y2=3上的点与坐标原点O 连线的斜率的最大值，即得D.

（1）2014年郑州市高三第一次质量模拟测试

取p=2进行代验

（2）2013年高三第一次质量模拟测试

11.在三棱锥BCD A -中，侧棱AD AC AB ,,两两垂直，ADB ACD ABC ???,,的面积分别为2

6,23,22，则该三棱锥外接球的表面积为 A.π2 B.π6 C. π64 D.π24 特殊图形 长方体

（3）2013年高三郑州市第二次质量模拟考试(文）

取角为-53°2013河南高考试题（文）

（4）已知双曲线C：

22

22

1

x y

a b

-=（a>0,b>0）的离心率为

5

2

，则C的渐近线方程为（）

（A）y=±1

4

x（B）y=±

1

3

x（C）y=±

1

2

x（D）y=±x

（6）设首项为1，公比为2

3

的等比数列｛a

n

｝的前n项和为S

n

，则（）

（A）S

n =2a

n

-1 （B）S

n

=3a

n

-2 （C）S

n

=4-3a

n

（D）S

n

=3-2a

n