数值分析论文

数值分析论文

授课教师：王永丽

题目：基于VC的B样条曲线插补算法在数控中的应用

姓名：

班级：硕研09级4班

学号：

摘要：在数控加工中用一小段直线或圆弧去拟合实际曲线，即是“插补”。它实质上是根据有限的信息完成“数据密化”的工作。插补的计算方法和计算精度影响到整个数控系统的精度和效率，因此插补算法对整个数控系统的性能指标至关重要，插补是整个数控系统控制软件的核心。

关键词：样条曲线插补，数控技术，vc设计

1 三次B样条曲线定义

B样条曲线是对Bezier曲线的改进，它不仅保留了Bezier曲线的优点，而且具有局部控制的能力。在B样条曲线中，给定n+1个控制点P（ii=0，1，……，n），也称为特征多边形的顶点，k次（k＋1阶）B样条曲线的表达式是：

其中Ni，k(u)是调和函数，也称为基函数，可由下面的递推关系得到：

式中ti是节点值，且为非减序列，T=[t0，t1，..，tn+k+1]构成了k次（k＋1阶）B样条基函数的节点矢量，每一基函数由对应的k＋2个节点决定。上式也表明，高次B样条函数可用低次的B样条函数来表示，由此式可得其递推计算方法。由基函数可知B样条基函数具有局部支撑特性，即

节点矢量所含节点数目由控制顶点Pi（i＝0，1，……，n）和曲线次数k所确定（节点数＝n＋k＋2），显然，基函数个数与控制点数相等。在上文B样条曲线的方程式（1）中当k=3，i=0，1，2，3时，所对应的基函数分别为：

因此三次B样条曲线方程是：

用矩阵形式可表示为：

2 三次B样条曲线插补算法设计

根据数据采样插补的原理，插补的目的就是要求在一个插补周期T内，刀具沿曲线所截取的轮廓步长运动。由于三次B样条曲线的各坐标分量均为参数的函数可以直接计算，在每个插补周期T内，有相等的微小增量△u，即参数u的增量步长恒定，然后由公式计算得下一个插补点。这种插补算法虽然计算简单，速度快，但其存在插补速度不恒速等缺点。

要使得样条插补在轨迹空间内匀速，就必须要根据编程进给速度来确定一个插补周期内的轮廓步长，然后将此参数映射到参数空间中，得到与其相对应的参数空间内的增量△u。

设V是样条曲线的切线速度矢量：

设V是样条曲线的编程进给速度，则：

设控制系统的插补周期为T，ti+1-ti=T，u是关于t的函数，令u(ti)=ui，u(ti+1)=ui+1，用泰勒级数将u(ti+1)在ti展开可得：

所以，插补递推公式的一阶近似为：

二阶近似为：

由于现在的数控系统插补周期T一般都很小，在曲线半径不太小的情况下，一阶近似迭代求解已经可以满足精度要求。如果曲线曲率半径很小，便要采用二阶近似。由于每个插补周期内的参数增量:

是由编程进给速度和插补周期决定，在每一个插补周期中生成的轨迹空间的弦长是不变的，所以进给速度是不变的。

3插补算法的VC程序实现

该程序主要用于演示在平面坐标系中三次B样条曲线的插补过程，以及速度控制

的实现。要求用户输入控制点点数、插补速度和插补周期，并在绘图区选择控制顶点。绘图区采用Windows的默认坐标系，即左上角为原点（0，0），向右方向为X轴正方向，向下为Y轴正方向。程序运行后，首先根据输入的控制定点数，申请内存空间，并进行初始化，用于保存各控制顶点信息，然后将鼠标选取的坐标点信息以此存放到申请的内存空间中，当最后一个点选择完毕后，程序将按照前面输入的插补速度和插补周期，结合公式（5）、（8），计算出每个插补周期的的增量和小直线段的终点，以插补速度V匀速的绘制出所要求出的三次B样条曲线。参数输入。在本程序中需要用户输入三个数据：控制点的数目、曲线的插补周期和插补速度，且控制点数不能小于4，插补速度和插补周期大于0。程序运行。完成上述信息输入后，通过鼠标点击在绘图区选取给定个数的控制点的坐标，程序将在最后一个点选取完成后自动按照给定速度，匀速的绘制出相应的三次B 样条曲线。以10个控制定点为例，绘制出的三次B样条曲线如图2所示：

通过对三次B样条曲线的数学性质、三次B样条曲线插补过程的分析和研究，用VC实现了三次B样条曲线插补算法，实现过程中采用动态改变参数的增量实现了插补的匀速进行，该程序略加改动即可应用于简易数控系统。因此，对于更好地理解插补原理及工程实践都有借鉴意义。