研究生数学考试数一真题

2019年考研数学—真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3.

（D ）4.

（2）设函数(),0,

ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的

A.可导点，极值点.

B.不可导点，极值点.

C.可导点，非极值点.

D.不可导点，非极值点.

（3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是

A.1m

n n u

n

=∑

B.()

1

11m

n

n n

u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ??

?∑

D.()22

11

m

n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x

Q x y y

=

.如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0C

P x y dx Q x y dy +=??，那么函数(),P x y 可取为

A.2

3x y y

-.

B.2

31x y y

-. C.11

x y

-. D.1x y

-

. （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为

A.222123y y y ++.

B.222

123y y y +- C.222123y y y --

D.222123y y y ---

（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A.()()

2,3r A r A == B.()()

2,2r A r A == C.()()

1,2r A r A == D.()()

1,1r A r A ==

（7）设A ，B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 A. ()()()P A B P A P B =+U B.()()()P AB P A P B =

C.()()

P AB P BA = D.()()

P AB P AB =

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布()2,N μσ，则{}1P X Y -< A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,μσ都有关. D.与2,μσ都无关.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. ()9 设函数()f u 可导，()sin sin z f y x xy =-+，则

11cos cos z z

x x y y

???+?=??

（10）微分方程22220yy y --=满足条件()01y =的特解y =

（11）幂级数()(

)012!n

n

n x n ∞

=-∑在()0,+∞内的和函数()S x = ()12设∑为曲面()222440x y z z ++=≥

的上侧，则z

=

()13设()123,,A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且312=2ααα-+。则线性方程组0

Ax =的通解为

()14设随机变量X 的概率密度为(),02,

2

0,x

x f x ?<-=

三、解答题：15——23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤。

()15（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22

x y xy e

-

'+=满足条件()00y =的特解.

()1 求()y x

()2 求曲线()y y x =的凹凸区间及拐点

()16本题满分10分)设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点()3,4处的方向导数中，沿方向

34l i j =--的方向导数最大，最大值为10. ()1求,a b ；

()2求曲面()2220z ax by z =++≥的面积；

()17(本题满分10分)，求曲线()sin 0y e x x x =-≥与x 轴之间图形的面积

（18）（本题满分10

分）设()1

01,2,3...n a x n ==?

（1）证明：{}n a 单调递减，且()21

2,3 (2)

n n n a a n n --=?=+ （2）1

lim n

n n a a →∞-

（19）（本题满分10分）设Ω是由锥面()()22

21(01)x y z z z +---≤≤与平面0z <围成的锥体，求Ω的行心坐标。

（20）（本题满分11分）已知向量组

（Ⅰ）12321111,0,2443a ααα????????????===????????????+??????，（Ⅱ）12321011,2,3313a a a βββ??????

??????===?

???????????+-+??????

，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求α的取值，并将3β用123,ααα线性表示

（21）（本题满分11分）已知矩阵22122002A x --????=-????-??与21001000B y ??

??=-??

????

相似， （1）求,x y ；

（2）求可逆矩阵P 使得1P AP B -=;

（22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}1,11P Y p P Y p =-===-.令Z XY = （1）求Z 的概率密度；

（2）p 为何值时，X 与Z 不相关； （3）X 与Z 是否相互独立；

（23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为

()()

2

222,,0,x A e x f x x μσμσσμ--??≥=??

其中μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X K 是来自总体X 的简单随机样本，

（1）求A ；

（2）求2σ的最大似然估计量；