刚性微分方程组隐式龙格库塔方法
龙格库塔解微分方程
《数值分析》课程实验报告 一、实验目的 1．掌握用MA TLAB求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解龙格库塔方法的基本思想。 二、实验内容 用龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解 y’=x+y y(0)=1 0 end fprintf(‘结果矩阵，第一列为x(n),第二列~第五列为k1~k4，第六列为y（n+1）的结果') z %在命令框输入下列语句 %yy=inline('x+y'); %>> rk(yy,0,1,0.2,0,1) %将得到结果 四、实验小结 通过实验结果分析可知，龙格库塔方法求解常微分方程能获得比较好的数值解，龙格库塔方法的数值解的精度较高，方法比较简便易懂。 姓名：樊元君学号：02 日期： 一、实验目的 掌握MATLAB语言、C/C++语言编写计算程序的方法、掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程的初值问题。掌握使用MATLAB程序求解常微分方程问题的方法。 ： 二、实验内容 1、分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。 实验中以下列数据验证程序的正确性。 求，步长h=。 * 2、实验注意事项 的精确解为，通过调整步长，观察结果的精度的变化 ^ ) 三、程序流程图： ●改进欧拉格式流程图： ~ | ●四阶龙格库塔流程图： ] 四、源程序： ●改进后欧拉格式程序源代码： function [] = GJOL(h,x0,y0,X,Y) format long h=input('h='); … x0=input('x0='); y0=input('y0='); disp('输入的范围是：'); X=input('X=');Y=input('Y='); n=round((Y-X)/h); \ i=1;x1=0;yp=0;yc=0; for i=1:1:n x1=x0+h; yp=y0+h*(-x0*(y0)^2);%yp=y0+h*(y0-2*x0/y0);% · yc=y0+h*(-x1*(yp)^2);%yc=y0+h*(yp-2*x1/yp);% y1=(yp+yc)/2; x0=x1;y0=y1; y=2/(1+x0^2);%y=sqrt(1+2*x0);% fprintf('结果=%.3f,%.8f,%.8f\n',x1,y1,y); : end end ●四阶龙格库塔程序源代码： function [] = LGKT(h,x0,y0,X,Y) 。 format long h=input('h='); x0=input('x0='); y0=input('y0='); disp('输入的范围是：'); " X=input('X=');Y=input('Y='); n=round((Y-X)/h); i=1;x1=0;k1=0;k2=0;k3=0;k4=0; for i=1:1:n ~ x1=x0+h; k1=-x0*y0^2;%k1=y0-2*x0/y0;% k2=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k1)^2);%k2=(y0+h/2*k1)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k1);% k3=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k2)^2);%k3=(y0+h/2*k2)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k2);% k4=(-(x1)*(y0+h*k3)^2);%k4=(y0+h*k3)-2*(x1)/(y0+h*k3);% … y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);%y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);% x0=x1;y0=y1; y=2/(1+x0^2);%y=sqrt(1+2*x0);% fprintf('结果=%.3f,%.7f,%.7f\n',x1,y1,y); end · end 龙格库塔方法matlab实现~ function ff=rk(yy,x0,y0,h,a,b)%yy为y的导函数,x0,y0,为初值,h为步长,a,b为区间 c=(b-a)/h+1;i1=1; %c为迭代步数；i1为迭代步数累加值 y=y0;z=zeros(c,6); %z生成c行，5列的零矩阵存放结果； %每行存放c次迭代结果，每列分别存放k1~k4及y的结果 for x=a:h:b if i1<=c k1=feval(yy,x,y); k2=feval(yy,x+h/2,y+(h*k1)/2); k3=feval(yy,x+h/2,y+(h*k2)/2); k4=feval(yy,x+h,y+h*k3); y=y+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); z(i1,1)=x;z(i1,2)=k1;z(i1,3)=k2;z(i1,4)=k3;z(i1,5)=k4;z(i1,6)=y; i1=i1+1; end end fprintf(‘结果矩阵，第一列为x(n),第二列~第五列为k1~k4，第六列为y（n+1）的结果') z %在命令框输入下列语句 %yy=inline('x+y'); %>> rk(yy,0,1,0.2,0,1) %将得到结果 %结果矩阵，第一列为x(n),第二列~第五列为k1~k4第六列为y（n+1）的结果 %z = % 0 1.0000 1.2000 1.2200 1.4440 1.2428 % 0.2000 1.4428 1.6871 1.7115 1.9851 1.5836 % 0.4000 1.9836 2.2820 2.3118 2.6460 2.0442 % 0.6000 2.6442 3.0086 3.0451 3.4532 2.6510 % 0.8000 3.4510 3.8961 3.9407 4.4392 3.4365 % 1.0000 4.4365 4.9802 5.0345 5.6434 4.4401 matlab编的4阶龙格库塔法解微分方程的程序 2010-03-10 20:16 function varargout=saxplaxliu(varargin) clc,clear x0=0;xn=1.2;y0=1;h=0.1; [y,x]=lgkt4j(x0,xn,y0,h); n=length(x); fprintf(' i x(i) y(i)\n'); for i=1:n fprintf('%2d %4.4f %4.4f\n',i,x(i),y(i)); end function z=f(x,y) z=-2*x*y^2; function [y,x]=lgkt4j(x0,xn,y0,h) x=x0:h:xn; n=length(x); y1=x; y1(1)=y0; for i=1:n-1 K1=f(x(i),y1(i)); K2=f(x(i)+h/2,y1(i)+h/2*K1); K3=f(x(i)+h/2,y1(i)+h/2*K2); K4=f(x(i)+h,y1(i)+h*K3); y1(i+1)=y1(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); end y=y1; 结果： i x(i) y(i) 1 0.0000 1.0000 2 0.1000 0.9901 3 0.2000 0.9615 4 0.3000 0.9174 5 0.4000 0.8621 6 0.5000 0.8000 7 0.6000 0.7353 8 0.7000 0.6711 9 0.8000 0.6098 10 0.9000 0.5525 11 1.0000 0.5000 12 1.1000 0.4525 13 1.2000 0.4098 龙格库塔法 龙格库塔法是常用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家C. Runge和M.W. Kutta于1900年左右发明。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。 龙格库塔法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，可以应用在物理、工程、控制、动力学中，如模糊控制、弹道分析以及分析光纤特性等，在系统仿真中得到广泛应用。 龙格库塔法源自于相应的泰勒级数方法，在每一插值节点用泰勒级数展开,其截断误差阶数也是，根据可省略更高阶的导数计算, 这种方法可构造任意阶数的龙格库塔法。其中4 阶龙格库塔法是最常用的一种方法。因为它相当精确、稳定、容易编程。在计算中一般不必使用高阶方法, 因为附加的计算误差可由增加精度来弥补。如果需要较高的精度, 可采取减小步长的方法即可。4 阶龙格库塔法的精度类似4 阶泰勒级数法的精度。 1、初值问题 对于一阶常微分方程的初值问题 根据常微分方程的理论可知，此初值问题的解在区间[a，b]上存在，且唯一。 2、离散化 取步长h=(b-a)/n，将区间[a , b]分成n个子区间： a=<=b 在其中任意两点的曲线段上，根据积分中值定理，一段光滑曲 线上至少有一点，它的斜率与整段曲线的平均斜率相同， 得=y’() (0<<1) 其中，= 可以将上式改写成y()=y()+h*K (2.1) 其中K为平均斜率，K=f() 公式（2.1）表明，如果能够确定平均斜率K，就可以根据（2.1）式得到y()的值。 欧拉法和龙格库塔法就是用不同方法确定不同精度的平均斜率K，从而求得y()的近似值。 3、Euler法 欧拉法虽然精度低，但它是最简单的一种显式单步法，也是龙 格库塔法的基础。 首先，令、为y() 及y()的近似值，并且令平均斜 率K=f()，即以点的斜率作为平均斜率K，便得到欧拉公式=+h* f() （3.1） 4、改进的欧拉法 此种方法是取、两点的斜率的平均值作为平均斜率K， 即K= ,其中、均为y()以及y()的近似值，就得到 改进后的欧拉公式（4.1） 1.经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组 1.1运用四阶龙格库塔法解一阶微分方程组算法分析 ),,(1k k k y x t f f =， )2,2,2(112g h y f h x h t f f k k k +++= )2 ,2,2(223g h y f h x h t f f k k k +++= ),,(334hg y hf x h t f f k k k +++= ),,(1k k k y x t g g = )2,2,2(112g h y f h x h t g g k k k +++= )2,2,2(223g h y f h x h t g g k k k +++= ),,(334hg y hf x h t g g k k k +++= ) 22(6 )22(6 43211 43211g g g g h y y f f f f h x x k k k k ++++=++++=++ 1k k t t h +=+ 经过循环计算由 推得 …… 每个龙格-库塔方法都是由一个合适的泰勒方法推导而来，使得其最终全局误差为() N O h ,一种折中方法是每次进行若干次函数求值，从而省去高阶导数计算。4阶龙格-库塔方法(RK4)是最常用的，它适用于一般的应用，因为它非常精 准，稳定，且易于编程。 000,,t x y ()()111222,,,,t x y t x y （1-1） （1-2） （1-3） （1-4） （1-5） （1-6） （1-7） （1-8） （1-9） （1-10） 1.2经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图 图1-1 经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程流程图 1.3经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程程序代码： #include 函数功能编辑本段回目录 ode是专门用于解微分方程的功能函数，他有ode23,ode45,ode23s等等，采用的是Runge-Kutta算法。ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta单步算法,截断误差为(Δx)3。解决的是Nonstiff(非刚性)的常微分方程.是解决数值解问题的首选方法,若长时间没结果,应该就是刚性的,换用ode23来解. 使用方法编辑本段回目录 [T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0) odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名 tspan 是区间[t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf] y0 是初始值向量 T 返回列向量的时间点 Y 返回对应T的求解列向量 [T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options) options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等 [T,Y,TE,YE,IE] =ode45(odefun,tspan,y0,options) 在设置了事件参数后的对应输出 TE 事件发生时间 YE 事件解决时间 IE 事件消失时间 sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...) sol 结构体输出结果 应用举例编辑本段回目录 1 求解一阶常微分方程 程序: 一阶常微分方程 odefun=@(t,y) (y+3*t)/t^2; %定义函数 tspan=[1 4]; %求解区间 y0=-2; %初值 [t,y]=ode45(odefun,tspan,y0); plot(t,y) %作图 title('t^2y''=y+3t,y(1)=-2,1 龙格-库塔方法是一种经典方法，具有很高的精度，它间接的利用了泰勒级数展开，避免了高阶偏导数的计算。此处以最为经典的四级四阶龙格-库塔方法为例，计算格式如下 ()()()11234121324 3226,,22,+22,n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +?=++++???=????=++? ???????=+? ?????=++? 1龙格-库塔法解一阶ODE 对于形如()()0, dy f x y a x b dx y a y ?=<≤???=? 的一阶ODE 初值问题，可以直接套用公式，如今可以借助计算机方便的进行计算，下面给出一个实例 ()2 0101dy x y x dx y y ?=-<≤???=? 取步长h=0.1 ，此处由数学知识可得该方程的精确解为y =。在这里利用MATLAB 编程，计算数值解并与精确解相比，代码如下： (1)写出微分方程，便于调用和修改 function val = odefun( x,y ) val = y-2*x/y; end (2)编写runge-kutta 方法的函数代码 function y = runge_kutta( h,x0,y0 ) k1 = odefun(x0,y0); k2 = odefun(x0+h/2,y0+h/2*k1); k3 = odefun(x0+h/2,y0+h/2*k2); k4 = odefun(x0+h,y0+h*k3); y = y0+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end (3)编写主函数解微分方程,并观察数值解与精确解的差异clear all h = 0.1; x0 = 0; y0 = 1; x = 0.1:h:1; y(1) = runge_kutta(h,x0,y0); for k=1:length(x) x(k) = x0+k*h; y(k+1) = runge_kutta(h,x(k),y(k)); end z = sqrt(1+2*x); plot(x,y,’*’); This program is to solve the initial value problem of following system of differential equations: dx/dt=x+2*y,x(0)=0, dy/dt=2*x+y,y(0)=2, x and y are to be calculated ****************************************************************************/ #include<> #include<> #define steplength //步长?è可¨|根¨′据Y需¨¨要°a调ì??整; #define FuncNumber 2 //FuncNumber为a微?é分¤方¤程¨?的ì数oy目; void main() { float x[200],Yn[20][200],reachpoint;int i; x[0]=0;Yn[0][0]=0;Yn[1][0]=2; //初值|ì条?件t; reachpoint=; //所¨′求¨?点ì可¨|根¨′据Y需¨¨要°a调ì??整; void rightfunctions(float x ,float *Auxiliary,float *Func); void Runge_Kutta(float *x,float reachpoint, float(*Yn)[200]); Runge_Kutta(x ,reachpoint, Yn); printf("x "); for(i=0;i<=(reachpoint-x[0])/steplength;i++) printf("%f ",x[i]); printf("\nY1 "); for(i=0;i<=(reachpoint-x[0])/steplength;i++) printf("%f ",Yn[0][i]); printf("\nY2 "); for(i=0;i<=(reachpoint-x[0])/steplength;i++) printf("%f ",Yn[1][i]); getchar(); } void rightfunctions(float x ,float *Auxiliary,float *Func)//当ì?à右?¨°方¤程¨?改变à时o?à，ê需¨¨要°a改变à; { Func[0]=Auxiliary[0]+2*Auxiliary[1]; Func[1]=2*Auxiliary[0]+Auxiliary[1]; } void Runge_Kutta(float *x,float reachpoint, float(*Yn)[200]) { int i,j; float Func[FuncNumber],K[FuncNumber][4],Auxiliary[FuncNumber]; for(i=0;i<=(reachpoint-x[0])/steplength;i++) { for(j=0;j /*************************************************************************** This program is to solve the initial value problem of following system of differential equati ons: dx/dt=x+2*y,x(0)=0, dy/dt=2*x+y,y(0)=2, x(0.2) and y(0.2) are to be calculated ****************************************************************************/ #include 四阶龙格库塔法解微分方程 一、四阶龙格库塔法解一阶微分方程 ①一阶微分方程：cos ，初始值y(0)=0，求 y t 解区间[0 10]。 MATLAB程序： %%%%%%%%%%% 四阶龙哥库塔法解一阶微分方程%%%%%%%%%%% y'=cost %%%%%%%%%%% y(0)=0, 0≤t≤10，h=0.01 %%%%%%%%%%% y=sint h=0.01; hf=10; t=0:h:hf; y=zeros(1,length(t)); y(1)=0; F=@(t,y)(cos(t)); for i=1:(length(t)-1) k1=F(t(i),y(i)); k2=F(t(i)+h/2,y(i)+k1*h/2); k3=F(t(i)+h/2,y(i)+k2*h/2); k4=F(t(i)+h,y(i)+k3*h); y(i+1)=y(i)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)*h; end subplot(211) plot(t,y,'-') xlabel('t'); ylabel('y'); title('Approximation'); span=[0,10]; p=y(1); [t1,y1]=ode45(F,span,p); subplot(212) plot(t1,y1) xlabel('t'); ylabel('y'); title('Exact'); 图1 ②一阶微分方程：()22*/x t x x t =- ，初始值x(1)=2，求解区间[1 3]。 MATLAB 程序： %%%%%%%%%%% 四阶龙哥库塔法解微分方程 %%%%%%%%%%% x'(t)=(t*x-x^2)/t^2 %%%%%%%%%%% x(1)=2, 1≤t ≤3, h=1/128 %%%%%%%%%%% 精确解：x(t)=t/(0.5+lnt) h=1/128; %%%%% 步长 tf=3; t=1:h:tf; x=zeros(1,length(t)); x(1)=2; %%%%% 初始值 《MATLAB 程序设计实践》课程考核 一、编程实现“四阶龙格－库塔（R-K ）方法求常微分方程”，并举一 例应用之。 【实例】采用龙格-库塔法求微分方程： ?? ?==+-=0 , 0)(1 '00 x x y y y 1、算法说明： 在龙格-库塔法中，四阶龙格-库塔法的局部截断误差约为o(h5)，被广泛应用于解微分方程的初值问题。其算法公式为： )22(6 3211k k k h y y n n +++=+ 其中： ?????????++=++=++ ==) ,() 21 ,21()21 ,21() ,(34 23121hk y h x f k hk y h x f k hk y h x f k y x f k n n n n n n n n 2、流程图： 2.1、四阶龙格－库塔（R-K ）方法流程图： 2.2、实例求解流程图： 3、源程序代码 3.1、四阶龙格－库塔（R-K）方法源程序： function [x,y] = MyRunge_Kutta(fun,x0,xt,y0,PointNum,varargin) %Runge-Kutta 方法解微分方程形为 y'(t)=f(x,y(x)) %此程序可解高阶的微分方程。只要将其形式写为上述微分方程的向量形式 %函数 f(x,y): fun %自变量的初值和终值：x0, xt %y0表示函数在x0处的值，输入初值为列向量形式 %自变量在[x0,xt]上取的点数：PointNum %varargin为可输入项，可传适当参数给函数f(x,y) %x：所取的点的x值 %y：对应点上的函数值 if nargin<4 | PointNum<=0 PointNum=100; end if nargin<3 y0=0; end y(1,:)=y0(:)'; %初值存为行向量形式h=(xt-x0)/(PointNum-1); %计算步长 x=x0+[0:(PointNum-1)]'*h; %得x向量值 for k=1:(PointNum)%迭代计算 f1=h*feval(fun,x(k),y(k,:),varargin{:}); f1=f1(:)'; %得公式k1 f2=h*feval(fun,x(k)+h/2,y(k,:)+f1/2,varargin{:}); f2=f2(:)'; %得公式k2 f3=h*feval(fun,x(k)+h/2,y(k,:)+f2/2,varargin{:}); f3=f3(:)'; %得公式k3 f4=h*feval(fun,x(k)+h,y(k,:)+f3,varargin{:}); f4=f4(:)'; %得公式k4 y(k+1,:)=y(k,:)+(f1+2*(f2+f3)+f4)/6; %得y(n+1) end 3.2、实例求解源程序： %运行四阶R-K法 蒙特卡洛法求定积分： 整体思路，蒙特卡洛求定积分的主要思想就是通过在取值范围内大量随机数的随机选取对函数进行求值，进而除以所取次数并乘以其区间，即为所积值。 Step 1： 在执行程序前，打开matlab，执行以下操作打开File—>New—>Function,并点击Function，弹出Editor窗口，将其中内容修改为 function [ y ] = f( x ) y=cos(x)+2.0; end （如图所示）。 Step 2： 在Editor窗口中点击File—>Save As，保存至所建立的文件夹内，保存名称必须为f.m。 Step 3： 回到Matlab程序中，将Current Folder改为与刚刚Function函数定义的保存路径一致的路径。Step 4： 在Command Window里输入以下源程序。 源程序： >> n=10^6; %用来表示精度，表示需要执行次数。 >> y=0; %初始化y=0，因为f(x)=cos(x)+2.0，下面出现y=y+f(x),故尔y用来统计计算出的所有f(x)值的和。 >> count=1; %从1开始计数，显然要执行n次。 >> while count<=n %当执行次数少于n次时，继续执行 x=unifrnd(0,4); %在matlab中，unifrnd是在某个区间内均匀选取实数（可为小数或整 数），表示x取0到4的任意数。 y=y+f(x); %求出到目前为止执行出的所有f(x)值的和，并用y表示 count=count+1; %count+1表示已执行次数再加一，将来通过与n的比对，判断是否执行下一次 end %如果执行次数已达n次，那么结束循环 z=y/n*4 %用y除以执行次数n,那么取得平均值,并用它乘以区间长度4,即可得到z 的近似值 z=7.2430 由于matlab中不能使用θ字符，故用z代替，即可得到θ=7.2395。 在执行过程中，发现每一次执行结果都会不一样，这是因为是随机选取，所以不同次数的计算结果会有偏差，但由于执行次数很多，从概率的角度来讲都是与真实值相近似的值。 Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法。一阶常微分方程可以写作：y'=f(x,y),使用差分概念。 (Yn+1-Yn)/h= f(Xn,Yn)推出（近似等于，极限为Yn'） Yn+1=Yn+h*f(Xn,Yn) 另外根据微分中值定理，存在0 所以，为了更好更准确地把握时间关系，应自己在理解龙格库塔原理的基础上，编写定步长的龙格库塔函数，经过学习其原理，已经完成了一维的龙格库塔函数。 仔细思考之后，发现其实如果是需要解多个微分方程组，可以想象成多个微分方程并行进行求解，时间，步长都是共同的，首先把预定的初始值给每个微分方程的第一步，然后每走一步，对多个微分方程共同求解。想通之后发现，整个过程其实很直观，只是不停的逼近计算罢了。编写的定步长的龙格库塔计算函数： function [x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b)%参数表顺序依次是微分方程组的函数名称，初始值向量，步长，时间起点，时间终点（参数形式参考了ode45函数） n=floor((b-a)/h);%求步数 x(1)=a;%时间起点 y(:,1)=y0;%赋初值，可以是向量，但是要注意维数 for ii=1:n x(ii+1)=x(ii)+h; k1=ufunc(x(ii),y(:,ii)); k2=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k1/2); k3=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k2/2); k4=ufunc(x(ii)+h,y(:,ii)+h*k3); y(:,ii+1)=y(:,ii)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; %按照龙格库塔方法进行数值求解 《MATLAB 程序设计实践》课程考核 一、编程实现“四阶龙格－库塔（R-K ）方法求常微分方程”，并举一 例应用之。 【实例】采用龙格-库塔法求微分方程： ? ? ?==+-=0 , 0)(1 '00x x y y y 1、算法说明： 在龙格-库塔法中，四阶龙格-库塔法的局部截断误差约为o(h5)，被广泛应用于解微分 方程的初值问题。其算法公式为： )22(6 3211k k k h y y n n +++ =+ 其中： ?????????++=+ + =++==) ,() 21 ,21()21 ,21(),(34 23121hk y h x f k hk y h x f k hk y h x f k y x f k n n n n n n n n 2、流程图： 2.1、四阶龙格－库塔（R-K ）方法流程图： 2.2、实例求解流程图： 3、源程序代码 3.1、四阶龙格－库塔（R-K）方法源程序： function [x,y] = MyRunge_Kutta(fun,x0,xt,y0,PointNum,varargin) %Runge-Kutta 方法解微分方程形为 y'(t)=f(x,y(x)) %此程序可解高阶的微分方程。只要将其形式写为上述微分方程的向量形式 %函数 f(x,y): fun %自变量的初值和终值：x0, xt %y0表示函数在x0处的值，输入初值为列向量形式 %自变量在[x0,xt]上取的点数：PointNum %varargin为可输入项，可传适当参数给函数f(x,y) %x：所取的点的x值 %y：对应点上的函数值 if nargin<4 | PointNum<=0 PointNum=100; end if nargin<3 y0=0; end y(1,:)=y0(:)'; %初值存为行向量形式h=(xt-x0)/(PointNum-1); %计算步长 x=x0+[0:(PointNum-1)]'*h; %得x向量值 for k=1:(PointNum) %迭代计算 f1=h*feval(fun,x(k),y(k,:),varargin{:}); f1=f1(:)'; %得公式k1 f2=h*feval(fun,x(k)+h/2,y(k,:)+f1/2,varargin{:}); f2=f2(:)'; %得公式k2 f3=h*feval(fun,x(k)+h/2,y(k,:)+f2/2,varargin{:}); f3=f3(:)'; %得公式k3 f4=h*feval(fun,x(k)+h,y(k,:)+f3,varargin{:}); f4=f4(:)'; %得公式k4 y(k+1,:)=y(k,:)+(f1+2*(f2+f3)+f4)/6; %得y(n+1) end 3.2、实例求解源程序： %运行四阶R-K法 一.作业： 用四阶龙格—库塔法求下列方程： ()()()1010100y x y x y '=-≤≤???=??步长0.1h =。并与解析解2 51x y e -=-比较。 二.程序 #include 左侧为数值解,右侧为解析解. 求解常微分方程组初值问题的 龙格库塔法分析及其C 代码 1、概 述 由高等数学的知识可知，一些特殊类型的常微分方程（组）能够求出给定初始值的解析解，而在科学与工程问题中遇到的常微分方程（组）往往是极其复杂的，要想求得其给定初始值的解析解就变得极其困难，甚至是得不到解析解。尽管如此，在研究实际问题时，往往只需要获得若干点上的近似值就行了，这就说明研究常微分方程（组）的数值解法是很有必要的。求解常微分方程（组）的数值解法有多种，比如欧拉法、龙格库塔法、线性多步法等等，其中龙格库塔法是这几种方法中比较常用的，因为其计算精度较高且具有自启动的特点。 对于用龙格库塔法求解单个常微分方程和求解常微分方程组的思路基本相似（注意一点一个微分方程组是常微分方程组即表明微分方程中的各阶导数都是对同一个变量求导，例如可以把各个量对时间求导得到一个常微分方程组，如果一个微分方程组中的有对不同变量的导数那么这个方程组就成了偏微分方程组），都是根据泰勒展开得到其迭代计算形式，其基本思想都是按照一定原则求取当前点附近一些点的斜率，通过这些斜率的线性组合作为当前点处的斜率，进行递推求解。 2、数学模型 2.1 常微分方程初值问题的数学模型 000 (,) ()()dy f x y x x dx y x y ?=>???=? （1） 式中(,) f x y 为,x y 的已知函数，0y 为给定的初始值。 常微分方程的数值解法的任务就是要求出函数值y 在微分自变量x 取如下序列： 012n x x x x <<< 时的值() (1,2,3,)i y x i n = 的近似值(1,2,3,)i y i n = ，一般情况下都采取等距结点的方式，即：0 (1,2,)i x x ih i n =+= ，其中h 为相邻两结点的距离，称为步长。 2.2 常微分方程组初值问题的数学模型 龙格-库塔方法及其matlab实现 摘要：本文的目的数值求解微分方程精确解，通过龙格-库塔法，加以利用matlab为工具 达到求解目的。龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，用于数值求解微分方程。MatLab软件是由美国Mathworks公司推出的用于数值计算和图形 处理的科学计算系统环境。MatLab是英文MATrix LABoratory（矩阵实验室）的缩写。在MratLab环境下，用户可以集成地进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输出、文件 管理等各项操作。 关键词：龙格-库塔 matlab 微分方程 1.前言 1.1：知识背景 龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。通常所说的龙格库塔方法是相对四阶龙格库塔而言的，成为经典四阶龙格库塔法。该方法具有精度高，收敛，稳定，计算过程中可以改变步长不需要计算高阶导数等优点，但是仍需计算在 一些点上的值，比如四阶龙格-库塔法没计算一步需要计算四步，在实际运用中是有一定复杂性的。 Matlab是在20世纪七十年代后期的事：时任美国新墨西哥大学计算机科学系主任的Cleve Moler教授出于减轻学生编程负担的动机，为学生设计了一组调用LINPACK和EISPACK库 程序的“通俗易用”的接口，此即用FORTRAN编写的萌芽状态的MATLAB。 经几年的校际流传，在Little的推动下，由Little、Moler、Steve Bangert合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把MATLAB正式推向市场。从这时起，MATLAB的内核 采用C语言编写，而且除原有的数值计算能力外，还新增了数据图视功能。 MATLAB以商品形式出现后，仅短短几年，就以其良好的开放性和运行的可靠性， 使原先控制领域里的封闭式软件包（如英国的UMIST，瑞典的LUND和SIMNON，德国的KEDDC）纷纷淘汰，而改以MATLAB为平台加以重建。在时间进入20世纪九十年代的时候，MATLAB已经成为国际控制界公认的标准计算软件。 到九十年代初期，在国际上30几个数学类科技应用软件中，MATLAB在数值计算方面独占 鳌头，而Mathematica和Maple则分居符号计算软件的前两名。Mathcad因其提供计算、 图形、文字处理的统一环境而深受中学生欢迎。 1.2研究的意义 精确求解数值微分方程，对龙格库塔的深入了解与正确运用，主要是在已知方程导数和初 值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。利用matlab强大的数值计算功能，省去认为计算的过程，达到快速精确求解数值微分方程。在实际生活中可以利 用龙格库塔方法和matlab的完美配合解决问题。 1.3研究的方法 对实例的研究对比，实现精度的要求，龙格库塔是并不是一个固定的公式，所以只是对典 型进行分析MATLAB改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程
龙格库塔方法matlab实现
matlab编的4阶龙格库塔法解微分方程的程序
龙格库塔积分算法
经典四阶龙格库塔法解一阶微分方程组
Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现
MATLAB龙格-库塔方法解微分方程
龙格库塔算法解微分方程组-c语言
龙格库塔算法解微分方程组 c语言
四阶龙格库塔法解微分方程
龙格库塔法求微分方程2
蒙特卡洛求定积及龙哥库塔解微分方程
Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现
龙格-库塔法求微分方程2
四阶龙格-库塔法解微分方程(C++)
求解常微分方程组初值问题的龙格库塔法分析及其C代码
龙格库塔方法及其matlab实现