初中数学-《勾股定理》测试题(有答案)

初中数学-《勾股定理》测试题

一、填空

1．命题：“如果a=0,那么ab=0”的逆命题是；命题内错角相等,两直线平行”的逆命题是．2．测得一块三角形花坛的三边长分別为1.5m,2m,2.5m,则这个花坛的面积为m2．

3．如图所示的一块地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,这块地的面积为．

4．△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm．则AC= cm．

二、选择题

5．下列命题：

①如果a、b、c为一组勾股数,那么4a、4b、4c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是3,4,那么斜边必是5；

③如果一个三角形的三边是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c,（a＞b=c）,那么a2：b2：c2=2：1：1．

其中正确的是（）

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

三、解答题

6．一种机器零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示,这个零件符合要求吗？请说明理由．

7．如图,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,D是BC的中点,求AD的长和△ABD的面积．

8．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图）,向北偏东40°方向航行,另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30）,问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？

9．如图所示,已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点,且CD=16cm,BD=12cm,求△ABC的周长．

《勾股定理》

参考答案与试题解析

一、填空

1．命题：“如果a=0,那么ab=0”的逆命题是如果ab=0,那么a=0 ；命题内错角相等,两直线平行”的逆命题是两直线平行,内错角相等．

【考点】命题与定理．

【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．

【解答】解：“如果a=0,那么ab=0”的逆命题是如果ab=0,那么a=0；

内错角相等,两直线平行”的逆命题是两直线平行,内错角相等,

故答案：如果ab=0,那么a=0；两直线平行,内错角相等．

【点评】考查学生对逆命题的定义的理解及运用,分清原命题的题设和结论是解答本题的关键．

2．测得一块三角形花坛的三边长分別为1.5m,2m,2.5m,则这个花坛的面积为 1.5 m2．

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形花坛的形状,再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵1.52+22=6.25=2.52,

∴三角形花坛的三边正好构成直角三角形,

∴这个花坛的面积=×1.5×2=1.5m2．

故答案为：1.5．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理,熟知如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．

3．如图所示的一块地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,这块地的面积为24m2．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】连接AC,利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形,△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．

【解答】解：如图,连接AC

由勾股定理可知

AC===5,

又AC2+BC2=52+122=132=AB2

故三角形ABC是直角三角形

故所求面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积==24（m2）．

【点评】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用．

4．△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm．则AC= 13 cm．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．

【分析】根据已知及勾股定理的逆定理可得△ABD,△ADC是直角三角形,从而不难求得AC的长．【解答】解：∵D是BC的中点,BC=10cm,

∴DC=BD=5cm,

∵BD2+AD2=144+25=169,AB2=169,

∴BD2+AD2=AB2,

∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°

∴△ADC也是直角三角形,且AC是斜边

∴AC2=AD2+DC2=AB2

∴AC=13cm．

故答案为：13．

【点评】本题考查了勾股定理的应用和直角三角形的判定．

二、选择题（共1小题,每小题3分,满分3分）

5．下列命题：

①如果a、b、c为一组勾股数,那么4a、4b、4c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是3,4,那么斜边必是5；

③如果一个三角形的三边是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c,（a＞b=c）,那么a2：b2：c2=2：1：1．

其中正确的是（）

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

【考点】勾股定理的逆定理；勾股数．

【分析】本题主要依据勾股定理的逆定理,判定三角形是否为直角三角形．

【解答】解：①正确,∵a2+b2=c2,∴（4a）2+（4b）2=（4c）2,

②错误,应为“如果直角三角形的两直角边是3,4,那么斜边必是5”

③错误,∵122+212≠252,∴不是直角三角形；

④正确,∵b=c,c2+b2=2b2=a2,∴a2：b2：c2=2：1：1,

故选C．

【点评】此题主要考查勾股定理的逆定理,直角三角形的判定等知识点的综合运用．

三、解答题

6．一种机器零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示,这个零件符合要求吗？请说明理由．

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据勾股定理的逆定理,判断出△ABD、△BDC的形状,从而判断这个零件是否符合要求．

【解答】解：∵AD=12,AB=9,DC=17,BC=8,BD=15,

∴AB2+AD2=BD2,

BD2+BC2=DC2．

∴△ABD、△BDC是直角三角形．

∴∠A=90°,∠DBC=90°．

故这个零件符合要求．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,关键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC的形状．判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

7．如图,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,D是BC的中点,求AD的长和△ABD的面积．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．

【专题】几何图形问题．

【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状,根据中点的定义得到CD的长,根据勾股定理可求出AD的长,再利用三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：∵在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,

132=52+122,

∴AB2=AC2+CB2,

∴△ABC是直角三角形,

∵D是BC的中点,

∴CD=BD=6,

∴在Rt△ACD中,AD=,

∴△ABD的面积=×BD×AC=15．

【点评】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理,能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状是解答此题的关键．

8．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图）,向北偏东40°方向航行,另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30）,问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？

【考点】勾股定理的应用；方向角．

【专题】探究型．

【分析】先根据题意得出OA及OB的长,再根据勾股定理的逆定理判断出△OAB的形状,进而可得出结论．【解答】解：由题意可知,OA=16+16×=24（海里）,OB=12+12×=18（海里）,AB=30海里,

∵242+182=302,即OA2+OB2=AB2,

∴△OAB是直角三角形,

∵∠AOD=40°,

∴∠B OD=90°﹣40°=50°,即另一艘轮船的航行的方向是北偏西50度．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用,根据题意判断出△AOB是直角三角形是解答此题的关键．

9．如图所示,已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点,且CD=16cm,BD=12cm,求△ABC的周长．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．

【分析】先判断CD⊥AB,在Rt△ACD中,利用勾股定理求出x,得出AC,继而可得出△ABC的周长．

【解答】解：在△BCD中,BC=20cm,CD=16cm,BD=12cm,

∵BD2+DC2=BC2,

∴△BCD中是直角三角形,∠BDC=90°,

设AD=x,则AC=x+12,

在Rt△ADC中,∵AC2=AD2+DC2,

∴x2+162=（x+12）2,

解得：．

∴△ABC的周长为：（ +12）×2+20=cm．

【点评】本题考查了勾股定理的知识,解答本题的关键是利用勾股定理求出AD的长度,得出腰的长度,难度一般．