常见的一次函数解析式求法
求一次函数解析式的常见类型
类型一：依据一次函数定义求一次函数解析式
1.已知y-3与x+5成正比例，且当x=2时，y=17，求y与x的函数解析式.
类型二：依据一次函数图象求一次函数解析式
2.如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一次函数的表达式.
3.小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多长时间？
（2）小敏几点几分返回到家？
类型三：依据几何图形面积求一次函数解析式
4.一次函数的图象y=kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积是8，且过点（0,2）求此一次函数的解析式.
5. 因为一次函数y=kx+b与y=-kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y=kx+b与y=-kx+b（k≠0）互为“镜子”函数．
（1）请直接写出函数y=3x-2的“镜子”函数：
（2）如果一对“镜子”函数y=kx+b与y=-kx+b（k≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B、C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=900，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式．（根据时间选做）
类型四：依据一次函数图象变换求一次函数解析式
6.如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，求直线CD的函数解析式.
7.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），
连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，求直线BC的解析式.（根据时间选做）
高中数学函数解析式求法
函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
八年级数学一次函数 解析式求法专题练习及答案详解
一次函数 解析式求法专题练习 1.已知52)2(--+=m m x m y 是正比例函数,若A(a,10)在此直线上,求a 的值. 2.已知直线经过原点及另一点A(-2，4)，求此直线解析式。 3.已知y 与2x-1成正比例,当x=-1时,y=9,求y 与x 的函数关系式. 4.已知2y-1与3-4x 成正比例,当x=2时,y=-7,求y 与x 的函数关系式.
5.已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-3成正比例,当x=1时,y=-4;当x=-3时,y= 6.求y与x的函数关系式. 6.如图,已知菱形ABCD在平面直角坐标系中,B(6,2),C(12,6). (1)求D点坐标及菱形ABCD的面积; (2)若直线y=kx始终与线段CD有交点,求k的取值范围. 7.已知直线与坐标轴交于A、B两点,A(-4，0),已知△OAB的面积为12,求直线AB的解析式.
8.已知直线AB,当-2≤x≤4时,函数值y的取值范围为-1≤x≤8,求直线AB的解析式. 9.如图,已知矩形OABC在坐标系中,A(10，0)，C(0，6)，E在AB上,连接CE,将△BCE沿CE折叠,使B点落在OA的F点处. (1)求F点及E点坐标; (2)求直线CE解析式.
10.已知直线经过点)2 321(， A 和点B(1，6). (1)求直线AB 的解析式; (2)求直线AB 与x 轴、y 轴的交点坐标C 和D,并求CD 的长; (3)若点E 在y 轴上,当C 、D 、E 三点围成的三角形是等腰三角形,求满足条件的E 点坐标. 11.如图,直线y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点E,F.点E 的坐标为(-8,0)，点A 的坐标为(-6,0). （1）求k 的值； （2）若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点.当点P 运动过程中,试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； （3）探究:当P 运动到什么位置时,△OPA 的面积为8 27,并说明理由．
函数解析式的七种求法(讲解)之令狐文艳创作
函数解析式的七种求法 令狐文艳 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求 )(x f 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 二、配凑法：已知复合函数 [()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时， 常用配凑法。但要注意所求函数 ()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2已知221)1(x x x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式。 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数 [()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3已知 x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一 般用代入法。 例4已知：函数 )(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点 )3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'322 2y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64， 点),(y x M '''在)(x g y =上 把???-='--='y y x x 64代入得： 整理得 672---=x x y 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求 )(x f 解 x x f x f =-)1(2)(① 显然,0≠x 将x 换成x 1 ，得：
求函数解析式常用的方法
求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 （一）待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k x (k≠0)；f(x)为
二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) （二）换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 ：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析： 1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中，用t 表示x ,将右边化为t 的表达式，问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。 注意：换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用
八年级数学 一次函数解析式求法 专题指导
例谈求一次函数解析式的常见题型 一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。 一. 定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证 二. 点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点（2，－1） ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为 五. 斜截型
例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线：；：。当，时， 直线与直线平行，。 又直线在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为 六. 平移型 例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线与直线平行 直线在y轴上的截距为，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得，即 故所求函数的解析式为（） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 __________。
高考求函数解析式方法及例题
高考求函数解析式方法 及例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
函数专题之解析式问题 求函数解析式的方法 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 ，求f(x)的解， 待定系数法 ()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。 x y ()f x 例题：
解法一、 1222x x a ? -= =2248b ac a ∴-=21 ()21 2f x x x ∴=++1 c =又1 ,2,12a b c = ==解得2 ()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40 a b -=得 解法二、 (0)1f =41 a k ∴+=12 22x x -=222k a -∴=1 ,12 a k ∴= =-22 1 ()(2)121212 f x x x x ∴= +-=++()y f x =2 x =-得的对称轴为 (2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k =++设 二 【换元法】（注意新元的取值范围） 已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入 ))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。 三【配凑法（整体代换法）】 若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。
浅议函数解析式的几种求法
浅议函数解析式的几种求法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴? ?????=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
(完整版)一次函数解析式的求法及面积求法讲义
一次函数解析式的求法及面积求法讲义 一、【知识点拨】 （一）、用待定系数法求一次函数解析式 设y=kx+b 中的k ，b ，最终求得他们的值，叫做待定系数；用此方法求一次函数的解析式叫用待定系数法求一次函数的解析式。 （二）、一次函数图像与坐标轴围成的三角形的面积： 直线y=kx+b 与x 轴交点为（－b k ，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为k b S 22 = 二、【典型例题剖析】 例1如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：求这个函数的解析式 ． y x -16 4 B M A O 例2已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P （-1，2），求这个一次函数的解析式． 例3.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. （1） 求两直线交点C 的坐标; （2） 求△ABC 的面积. 教师寄语： 成功并不是很复杂,热爱你所做的事,相信你的天分,每天你都应振奋精神,抛开过去,勇往直前,虽然人生并不总是公平的,但却总是 可以掌控的，关键在于态度和信心,遇到任何困难就应立刻想到:"这个
三【分类型精讲】 （一）解析式的求法： 1.定义型 已知函数是一次函数，求其解析式。 （注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证） 2. 点斜型 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 3. 两点型 一次函数经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴相交于C点。 求这个一次函数的解析式；
4. 图像型 . 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 5. 斜截型 已知直线与直线平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为 ___________。 （知识解读：①与已知直线平行的直线斜率相同，即如果已知直线y=kx+b,则平行直线为y=kx+c; ②与已知直线垂直的直线斜率成负倒数，即如果已知直线y=kx+b,则垂直直线为y=-k 1x+c.） 6. 平移型 把直线 向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 （知识解读： 上下左右平移m 个单位 y=kx+b+m,y=kx+b-m,y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b.） 7、实际应用型 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为___________。
经典函数解析式求法
求函数定义域的方法 一．已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k ππ+， k ∈z ｝ 例1 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 二． 复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例2 （1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f （x ）的定义域为〔a ，b 〕，求f 〔g （x ）〕的定义域是解a ≤g （x ）≤b ，即得所求的定义域。 （2）是已知f 〔g （x ）〕的定义域，求f （x ）的定义域。其解法是：已知f 〔g （x ）〕的定义域为〔a ，b 〕，求f （x ）的定义域的方法为：由a ≤x ≤b ，求g （x ）的值域，即得f （x ）的定义域。 解：（1）令-2≤X 2—1≤2 得-1≤X 2≤3，即 0≤X 2≤3，从而 x ∴函数y=f （x 2-1）的定义域为〔。 （2）∵y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，指在y=f （2x+4）中x ∈〔0，1〕，令t=2x+4， x ∈〔0，1〕，则t ∈〔4，6〕，即在f （t ）中，t ∈〔4，6〕∴f （x ）的定义域为〔4，6〕。 （3）由 -1≤x +1≤2 -1≤X 2—1≤2 得 x ≤1
一元二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8 种求法 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0；2、x 的最 高次数为 2 次． 例1、若y =（ m2+ m ）x m2 –2m 1是二次函数，则m = ． 2 解：由m + m≠0得:m ≠0，且m ≠－1 2 由m2–2m –1 = 2 得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不 唯一． 例2、（1）经过点A（0，3）的抛物线的解析式是． 分析：根据给出的条件，点 A 在y 轴上，所以这道题只需满足y a 2b c中的C=3，且a≠0即可∴ y 2 3 （注：答案不唯一） 三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a（ x –h）2 + k，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x –h 上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以 a 得值不变． 1 2 5 1 2 例3、二次函数y 23 的图像是由y 2的图像先向平移 2 2 2 个单位，再向平移个单位得到的． 1 5 1 2
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法 河北 高顺利 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型 此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2 中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．
例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由22 1χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的． 解： 253212++= χχy = ()232 12-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的． 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2 ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数； 六、两根式 已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，， ，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式： 1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5） 2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5） 3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－ 29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得： 40542a b c a b c a b c -=++??=-+??=-+? 解得：?? ???-=-==321c b a
函数解析式求法总结及练习题
2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴?? ? =+=3 42b ab a ， ∴????? ?=-===3 2 1 2b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221 )1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解 析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表 示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2． 把???-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ． 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置
求函数解析式的方法
求函数的解析式的方法 求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析. 一．换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。 例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 令t=3x+1， x= 31-t 3 54)(3314)(-=?+-?=?t t f t t f 练习1．若x x x f -=1)1(,求)(x f . 二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。 一般的利用完全平方公式。 例题2．已知221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 练习2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f . 三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数 例题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ?=,且212)()1(x x g x g x ?=-++, 求)(x f 与)(x g . 解;设c bx ax x f =+=2)(,则g(x)=2x (ax 2+bx+c) 练习3．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式. 四．解方程组法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式 例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 解;令x x 1=，x x f x f 14)(2)1(3?=+ 联立方程，得： ??? ????=+=+x x f x f x x f x f 4)(2)1(34)1(2)(3 ， 解得x x x f 58512)(-= 练习4．若x x x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . 五．利用给定的特性求解析式：一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f （x ）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x) 例题5设)(x f 是偶函数,当x ＞0时, x e x e x f +?=2)(,求当x ＜0时，)(x f 的表 达式. 由x>0时，x e x e x f +?=2)(，则x x e ex e x e x f --+=+-?=-22)()(
一次函数解析式的求法及面积求法讲义
一次函数解析式的求法及面积求法讲义 （一）、用待定系数法求一次函数解析式 设y=kx+b 中的k ，b ，最终求得他们的值，叫做待定系数；用此方法求一次函数的解析式叫用待定系数法求一次函数的解析式。 （二）、一次函数图像与坐标轴围成的三角形的面积： 直线y=kx+b 与x 轴交点为（－b k ，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为k b S 22 = 二、【典型例题剖析】 例1如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：求这个函数的解析式 ． y x -16 4 B M A O 例2已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P （-1，2），求这个一次函数的解析式． 教师寄语： 成功并不是很复杂,热爱你所做的事,相信你的天分,每天你都应振奋精神,抛开过去,勇往直前,虽然人生并不总是公平的,但却总是 可以掌控的，关键在于态度和信心,遇到任何困难就应立刻想到:"这个
例3.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. （1）求两直线交点C的坐标; （2）求△ABC的面积. 三【分类型精讲】 （一）解析式的求法： 1.定义型 已知函数是一次函数，求其解析式。 （注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证） 2. 点斜型 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 3. 两点型 一次函数经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴相交于C点。
求这个一次函数的解析式； 4. 图像型 . 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 5. 斜截型 已知直线与直线平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为 ___________。 （知识解读：①与已知直线平行的直线斜率相同，即如果已知直线y=kx+b,则平行直线为y=kx+c; ②与已知直线垂直的直线斜率成负倒数，即如果已知直线y=kx+b,则垂直直线为y=-k 1x+c.） 6. 平移型 把直线 向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 （知识解读： 上下左右平移m 个单位 y=kx+b+m,y=kx+b-m,y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b.）
八年级数学 一次函数解析式求法及答案详解
一次函数解析式求法 1.已知52)2(--+=m m x m y 是正比例函数,若A(a,10)在此直线上,求a 的值. 2.已知直线经过原点及另一点A(-2，4)，求此直线解析式。 3.已知y 与2x-1成正比例,当x=-1时,y=9,求y 与x 的函数关系式. 4.已知2y-1与3-4x 成正比例,当x=2时,y=-7,求y 与x 的函数关系式.
5.已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-3成正比例,当x=1时,y=-4;当x=-3时,y= 6.求y与x的函数关系式. 6.如图,已知菱形ABCD在平面直角坐标系中,B(6,2),C(12,6). (1)求D点坐标及菱形ABCD的面积; (2)若直线y=kx始终与线段CD有交点,求k的取值范围. 7.已知直线与坐标轴交于A、B两点,A(-4，0),已知△OAB的面积为12,求直线AB的解析式.
8.已知直线AB,当-2≤x≤4时,函数值y的取值范围为-1≤x≤8,求直线AB的解析式. 9.如图,已知矩形OABC在坐标系中,A(10，0)，C(0，6)，E在AB上,连接CE,将△BCE沿CE折叠,使B点落在OA的F点处. (1)求F点及E点坐标; (2)求直线CE解析式.
10.已知直线经过点)2321(， A 和点B(1，6). (1)求直线AB 的解析式; (2)求直线AB 与x 轴、y 轴的交点坐标C 和D,并求CD 的长; (3)若点E 在y 轴上,当C 、D 、E 三点围成的三角形是等腰三角形,求满足条件的E 点坐标. 11.如图,直线y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点E,F.点E 的坐标为(-8,0)，点A 的坐标为(-6,0). （1）求k 的值； （2）若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点.当点P 运动过程中,试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； （3）探究:当P 运动到什么位置时,△OPA 的面积为8 27,并说明理由．
函数解析式的七种求法(讲解)
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求 )(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴??????=-===32 12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或
求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知 221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的 解析式。 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x
时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直 线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数 )(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 x x y '+'='∴2 把? ??-='--='y y x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y 整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g
函数解析式的求法高中
函数解析式的七种求法 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x ) 解：设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，则 f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a 2x +ab +b ?a =2?a 2=4?a =-2或∴?∴??b =1b =3ab +b =3??? ∴f (x ) =2x +1或 f (x ) =-2x +3 二、配凑法：已知复合函数f [g (x )]的表达式，求f (x ) 的解析式，f [g (x )]的表达式容易配成g (x ) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是g (x ) 的值域。例2 已知f (x +11) =x 2+2 (x >0) ，求 f (x ) 的解析式x x 解：f (x +111) =(x +) 2-2，x +≥2 x x x ∴f (x ) =x 2-2 (x ≥2) 三、换元法：已知复合函数f [g (x )]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知f (x +1) =x +2x ，求f (x +1) 解：令t =x +1，则t ≥1，x =(t -1) 2 f (x +1) =x +2x ∴f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1, ∴f (x ) =x 2-1 (x ≥1) ∴f (x +1) =(x +1) 2-1=x 2+2x (x ≥0) 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数y =x +x 与y =g (x ) 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式2 解：设M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M "(x ", y ") 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点 ?x "+x ?2=-2?x "=-x -4 则?，解得：?，y "+y "y =6-y ??=3?2 点M "(x ", y ") 在y =g (x ) 上 ∴y "=x "2+x " 把??x "=-x -4代入得："?y =6-y 6-y =(-x -4) 2+(-x -4) 整理得y =-x -7x -6 2 ∴g (x ) =-x 2-7x -6
一次函数解析式求法总结
一次函数解析式的求法 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. （1） 定义型 例1. 已知函数y m x m =-+-()3328 是一次函数，求其解析式。 （2）点斜型 例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 （3）两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 （4）图像型 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 （5）斜截型 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为 。 （6）平移型 例 6.①把直线y x =+21向上平移2个单位得到的图像解析式为 。 ②把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为 。 ③把直线y x =+21向左平移2个单位得到的图像解析式
为 。 ④把直线y x =+21向右平移2个单位得到的图像解析式 为 。 规律： （7） 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为 。 （8）面积型 例8. 已知直线y kx =-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 。 （9）对称型 例9. 若直线l 与直线y x =-21关于y 轴对称，则直线l 的解析式为____________。 知识归纳： 若直线与直线y kx b =+关于 （1）x 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =-- （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为 y kx b =-+ （3）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为 （4）直线y x =-对称，则直线l 的解析式为y k x b k =+1 （5）原点对称，则直线l 的解析式为y kx b =- （10）开放型 例10.一次函数的图像经过(－1,2)且函数y 的值随x 的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 . （11）比例型 例11..已知y 与x +2成正比例，且x ＝1时y ＝－6．求y 与x 之间的函数关系式 练习题： 1. 已知直线y =3x －2, 当x =1时，y = 2. 已知直线经过点A （2,3），B （－1，－3），则直线解析式为________________ 3. 点（－1，2）在直线y =2x ＋4上吗？ （填在或不在） 4. 当m 时，函数y =(m －2) +5是一次函数，此时函数解析式 为 。 5. 已知直线y =3x +b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式 为 . 3 2 -m x