因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2

=(a+b)(a-b)； %

(2) (a ±b)2

= a 2

±2ab+b 2

——— a 2

±2ab+b 2

=(a ±b)2

；

(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2

)；

(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2

)． 下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2

-ab-bc-ca)；

例.已知a b

c ，，是ABC ?的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ）

：

A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形

解：222222

222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++

222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考

虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++ ？

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- #

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(2

2

ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2

222c b ab a -+- (

解：原式=2

22)2(c b ab a -+- =2

2

)(c b a -- =))((c b a c b a +---

练习：分解因式3、y y x x 392

2

--- 4、yz z y x 22

2

2

---

综合练习：（1）3

2

2

3

y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2

2 （3）1816962

2

2

-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262

2-++- （5）922

34-+-a a a （6）y b x b y a x a 2

2

2

2

44+--

（7）222y yz xz xy x ++-- （8）12222

2++-+-ab b b a a .

（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 33

33-++

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

》

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2

23x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .

解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ?=- >0而且是一个完全平方数。 于是98a ?=-为完全平方数，1a =

例5、分解因式：652

++x x #

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652

++x x =32)32(2

?+++x x 1 3

=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

|

例6、分解因式：672

+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2

--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

？

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x 练习

6、分解因式(1)22

-+x x (2)1522

--y y

(3)24102

--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

~

（2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2

=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132

+-x x

分析： 1 -2 (

3 -5

（-6）+（-5）= -11

解：101132

+-x x =)53)(2(--x x

练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

（3）317102

+-x x （4）101162

++-y y 】

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

21288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2

b b a b b a -?+-++ :

=)16)(8(b a b a -+ 练习8、分解因式

(1)2

2

23y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2

26b ab a --

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2

2

672y xy x +- 例10、232

2

+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 ，

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy

练习9、分解因式：（1）2

2

4715y xy x -+ （2）862

2+-ax x a

综合练习10、（1）1783

6--x x （2）2

2

151112y xy x --

（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2

+--+b a b a $

（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m

（7）342442

2

---++y x y xy x （8）2

2

2

2

)(10)(23)(5b a b a b a ---++

（9）10364422-++--y y x xy x （10）2

222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2

222 ）

五、换元法。

例13、分解因式（1）2005)12005(20052

2---x x

（2）2

)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(2

2 =))(1(a x ax -+

=)2005)(12005(-+x x

（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=2

22)65)(67(x x x x x +++++ $

设A x x =++652，则x A x x 2672+=++

∴原式=2

)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=2

2)66(++x x

练习13、分解因式（1）)(4)(2

2222y x xy y xy x +-++

（2）90)384)(23(2

2+++++x x x x （3）2

22222)3(4)5()1(+-+++a a a

?

例14、分解因式（1）2622

34+---x x x x

观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，

并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=)1162(222x x x x x +-

--=[]6)1

()1(2222-+-+x x x

x x 设t x x =+1，则21

222-=+t x x

∴原式=[

]6)2222

---t t x （

=()10222--t t x =()()2522

+-t t x =??

? ??++??? ??-+215222x x x x x

|

=??? ??++??? ??-+

21··522·x x x x x x =()()

122522

2+++-x x x x

=)2)(12()1(2

--+x x x

（2）144234+++-x x x x

解：原式=2

2

241(41)x x x x x -++

+=???

???+??? ??--??? ?

?+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21

222+=+y x x

∴原式=22(43)x y y -+=2

(1)(3)x y y --

=)31)(11(2----x

x x x x =()()1312

2----x x x x

练习14、（1）673676234+--+x x x x

。

（2）)(2122

234x x x x x +++++

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）4323+-x x

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式=33123+-+x x 原式=44432

3++--x x x x

=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2

++--x x x x =)331)(1(2

+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x

=)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2

+-+x x x :

=2

)2)(1(-+x x =2

)

2)(1(-+x x

（2）33

69-++x x x

解：原式=)1()1()1(3

6

9

-+-+-x x x

=)1()1)(1()1)(1(3

33363-++-+++-x x x x x x =)111)(1(3

3

6

3

+++++-x x x x =)32)(1)(1(3

6

2

++++-x x x x x

%

练习15、分解因式

（1）893+-x x （2）4

2

2

4

)1()1()1(-+-++x x x （3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++

（5）4

4

4

)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++

七、待定系数法。 %

例16、分解因式61362

2-++-+y x y xy x

分析：原式的前3项2

2

6y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++

解：设613622

-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++

∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62

2

∴

613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622

对比左右两边相同项的系数可得??

?

??-==-=+6

13231

mn m n n m ，解得???=-=32n m

∴原式=)32)(23(+--+y x y x

，

例17、（1）当m 为何值时，多项式652

2-++-y mx y x 能分解因式，并分

解此多项式。

（2）如果82

3+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必

为))((b y x a y x +-++

解：设652

2

-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++

则652

2

-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(2

2

比较对应的系数可得：?????-==-=+65ab a b m b a ，解得：?????==-=132m b a 或??

?

??-=-==132m b a

∴当1±=m 时，原多项式可以分解；

{

当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ； 当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x

（2）分析：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，

因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式。 解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++

则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(2

3

+++++

∴?????=+=+=82323c c b c a 解得???

??===4147c b a ， ∴b a +=21

;

练习17、（1）分解因式291032

2-++--y x y xy x

（2）分解因式675232

2+++++y x y xy x

（3） 已知：p y x y xy x +-+--146322

2能分解成两个一次因式

之积，求常数p 并且分解因式。 （4） k 为何值时，25322

2+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次

因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全 经典一： ：

一、填空题

1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式： m 3

-4m= . 3.分解因式： x 2

-4y 2

= __ _____. 4、分解因式：2

44x x ---=___________ ______。

5.将x n

-y n 分解因式的结果为(x 2+y 2

)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .

6、若5,6x y xy -==，则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。

二、选择题

"

7、多项式32

2

23

15520m n m n m n +-的公因式是( ) A 、5mn B 、22

5m n C 、2

5m n D 、2

5mn

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )

A 、()()2339a a a +-=-

B 、()()22a b a b a b -=+-

C 、()2

4545a a a a --=-- D 、

23232m m m m m ?

?--=-- ?

?? 10.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y 2 (D)x 2

-4x+4 11．把（x －y ）2

－（y －x ）分解因式为（ ）

·

A ．（x －y ）（x －y －1）

B ．（y －x ）（x －y －1）

C ．（y －x ）（y －x －1）

D ．（y －x ）（y －x ＋1）

12．下列各个分解因式中正确的是（ ）

A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac （5b 2

＋3c ）

B ．（a －b ）2－（b －a ）2＝（a －b ）2

（a －b ＋1）

C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）

D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2

＝（a －2b ）（11b －2a ）

，

13.若k-12xy+9x 2

是一个完全平方式，那么k 应为（ ）

三、把下列各式分解因式：

14、nx ny - 15、2

294n m -

》

16、()()

m m n n n m -+- 17、322

2a a b ab -+

18、

()2

2

2

416x x +- 19、2

2)(16)(9n m n m --+；

.

五、解答题

20、如图，在一块边长a =的正方形纸片中，挖去一个边长b =的正方形。求纸片剩余部分的面积。

-

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径

45d cm =，外径75D cm =，长3l m =。利用分解因式计算浇制一节这样

的管道需要多少立方米的混凝土(π取，结果保留2位有效数字)

*

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。

()()()()()()()()()()()()()()

24284216842(1) 111(2) 1111(3) 11111(4) 111111(5) _________________________________________________x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+--=++--=+++--=++++-

(

经典二： 爱特教育

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

-

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。

）

1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取

公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321

=-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()()

()()

()()()

解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-

=-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244

2

2

2211111121111()()()

()()()[()]()()()

2. 通过变形达到分解的目的

￥

例1. 分解因式x x 3234+-

解一：将32x 拆成222x x +，则有

原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 32222

2

242222212()

()()()()()()()

解二：将常数-4拆成--13，则有

原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 3222

2

1331113314412()

()()()()()()()()

3. 在证明题中的应用

例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

。

证明：()()x x x 2241021100--++

=+---+=+---+=---++()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x 2237100

272310051456100

22

设y x x =-25，则

原式无论取何值都有的值一定是非负数

=-++=-+=--≥∴--++()()()()()()y y y y y y y x x x 146100816440

4102110022

222

4. 因式分解中的转化思想

例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B

（

∴=+--=+++--=+=+=++++原式()()

()()()

A B A B A A B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 333

322333

223333332

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨

例1.在?ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2

/

证明： a b c ab bc 222166100--++=

∴++-+-=+--=+--+=+>∴+>+->-+=+=a ab b c bc b a b c b a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a c b

2222226910250350820

880202即，即于是有即()()()()

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

例2. 已知：x x x x +

=+=121

33，则__________ 解：x x

x x x x 3321111

+=+-+()()

=++--=?=()[()]

x x x x

11

21212

2

说明：利用x x

x x 22

2

1

12+=+-()等式化繁为易。

!

题型展示

1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。 解：100)4)(3)(7(2

----x x x

=--+---=----+-=----+=---≤∴---≤()()()()()()[()()]

()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x 723210051456100

58516540734100

2222222

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。 2.

将

a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。

解：a a a a 22221++++()()

；

=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a 2222

222

22

21211()()()()

∴++=++==6742366143184922222() 说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟

1. 分解因式：

（）（）131083108233315

54322

2

x x x x x a a a a ---+++-++-()()

（）（）323352476

223

x xy y x y x x --+-+-+

>

2. 已知：x y xy x y +==-+6133，，求：的值。

3. 矩形的周长是28cm ，两边x,y 使x x y xy y 32230+--=，求矩形的面积。

【

4. 求证：n n 35+是6的倍数。（其中n 为整数）

5.

已

知

：

a

、

b

、

c

是

非

零

实

数

，

且

a b c a b c b c a c a b

2221111111

3++=+++++=-，()()()，求a+b+c 的值。

、

6. 已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较a b c a b 222224+-和的大小。

经典三：因式分解练习题精选

~

一、填空：（30分）

1、若16)3(22

+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、2

2)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 6

12的公因式是＿

4、若n m y x -=))()((4

222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式235

3515y y y ?=中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22

+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。

·

7、_____))(2(2(_____)2

++=++x x x x 8、已知,0120052004

2

=+++++x x

x x 则.________2006=x

9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。

10、()2

2

)3(__6+=++x x x ， ()2

2

)3(9___-=++x x

11、若2

29y k x ++是完全平方式，则k=_______。

12、若442

-+x x 的值为0，则51232

-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152

-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,42

2=+=+y x y x 则=xy ___。

~

15、方程042

=+x x ，的解是________。 二、选择题：（10分）

1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）

A 、－a 、

B 、))((b x x a a ---

C 、)(x a a -

D 、)(a x a --

2、若2

2)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、 3、下列名式：4

422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公

式分解因式的有（ ）

—

A 、1个，

B 、2个，

C 、3个，

D 、4个

4、计算)10

1

1)(911()311)(211(2232----

的值是（ ）

A 、

21 B 、20

11.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、2

34352x x x -- 2 、 2

633x x -

3 、 2

2)2(4)2(25x y y x --- 4、2

2414y xy x +--

#

5、x x -5

6、13

-x

7、2ax a b ax bx bx -++--2

8、81182

4+-x x

9 、2

4369y x - 10、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x

四、代数式求值（15分） 1、 (

2、

已知3

12=

-y x ，2=xy ，求 4

3342y x y x -的值。