知识讲解复数基础

高考总复习：复数

【考纲要求】

1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件;

2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示

3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义【知识网络】

【考点梳理】

考点一、复数的有关概念

1.虚数单位i:

(1)它的平方等于-1，即i2 = _1 ；

2 2

(2)i与—1的关系：i就是—1的一个平方根，即方程x =-1的一个根，方程x =-1的另一个根是-i ；

(3)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；

(4) i的周期性：.4n 4n:>1 . ? 4n:：2 4n:：3 *

i 1，i i，i 1，i i (nN ).

2.概念

形如a bi ( a,b?R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

说明：这里a,b?R容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。

3.复数集

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示；复数集与其它数集之间的关系：N—Z —Q-R—C

4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系:

对于复数z = a ■ bi ( a,b ：= R)，

当且仅当b =0时，复数z=a，bi=a是实数；

当且仅当b = 0时，复数z = a bi叫做虚数；

当且仅当a = 0且b = 0时，复数z = a b^ bi叫做纯虚数;

当且仅当a二b =0时，复数z = a ? bi = 0就是实数0.

所以复数的分类如下：

实数(b=0)；

虚数(b = 0)=当a二0且 b = 0时为纯虚数

5.复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：

如果a,b,c,d R，那么a bi 二c di = a= c且b = d .

特别地：a，bi=O：=a=b=O.

应当理解：

(1)一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样

(2)复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也

只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

6.共轭复数：

两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：

复数a bi和a bi = a -bi ( a, b R )互为共轭复数。

考点二：复数的代数表示法及其四则运算

1.复数的代数形式：

复数通常用字母z表示，即a bi( a,b?R)，把复数表示成a - bi的形式，叫做复数的代数形式

2.四则运算

(a bi) _(c di) =(a _c) (b _d)i ；

(a bi)(c di) = (ac _bd) (bc ad )i ；

a bi (a bi)(c-di) ac bd bc-ad .

复数除法通常上下同乘分母的共轭复数： 2 2 2 2i。

c+di (c+di)(c-di) c+d c+d 考点三：复数的几何意义

1.复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z二a ? bi( a,b ? R)可用点Z(a, b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数。

对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为 (0,0)，它所确定的复数是

点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个 复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

2. 复数的几何表示

(1 )坐标表示：在复平面内以点 Z(a,b)表示复数z = a ? bi ( a, b 三R )；

(2)向量表示：以原点0为起点，点Z(a,b)为终点的向量 0Z 表示复数

a bi .

向量0Z 的长度叫做复数 ^a bi 的模，记作|a bi |.即|z|=|OZ|= a 2

? b 2

_ 0. 要点诠释：

(1) 向量0Z 与点Z(a,b)以及复数z = a bi 有一一对应；

(2) 两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。

3. 复数加法的几何意义：

-J -1

如果复数N 、Z 2分别对应于向量 OR 、0F 2，那么以OR 、OP 2为两边作平行四边形 ORSP 2，对角线 OS 表示的向量OS 就是z ' z 2的和所对应的向量。

4. 复数减法的几何意义：

两个复数的差z , -Z 2与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。 要点诠释：

1. 复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；

2. 求解计算时，要充分利用i 的性质计算问题；

3.

在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用

；

4. 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数

相等的充要条件。 【典型例题】

类型一：复数的有关概念

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■

a

0 0> 0表示是实数。故除了原

【例1】设复数z = lg( m 2 -2m-2) ? (m 2

? 3m ' 2)i，试求实数m 取何值时，复数z 分别满足：

(1) z

是纯虚数；(2) z 对应的点位于复平面的第二象限。

【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。

【答案】

■ - 2

lg(m 2

_2m _2) =0

(i)当 2

m +3m +2 式 0

2

l lg( m 「2m -2) ：：

0 ⑵当2

I m 3m 2

象限.【总结升华】

复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概 念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：

z 二a br R ：= b=0：= z 二zu

z 2

_ 0( a,b ：= R )； z =a bi 是纯虚数a =0且b = 0 = z z = 0 ( z = 0)：= z 2

：： 0 ； 举一反三： 【变式1】复数

为纯虚数，则实数a 为(

).

2 -i

1 1

A . 2 B2 C .—

— D.-

2

2

【答案】A 【解析】

y

1 ai)(2

j 口 Qj ，

2-i (2-i)(2+i) 5

5

由纯虚数的概念知：

= 0，A a = 2.

5

【变式2】求当实数m 取何值时，复数z =(m 2

-m - 2) ? (m 2

-3m ? 2)i 分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数。

【解析】

(1) 当m 2

-3m ? 2 = 0即m =1或m = 2时，复数z 为实数；

(2) 当m 2

-3m ? 2 = 0即m = 1且m = 2时，复数z 为虚数；

f 2

m — m —2 = 0

(3) 当」

即m = —1时，复数z 为纯虚数.

即m = 3时，复数z 是纯虚数;

即 _1 ：：： m ：：： 1 _ ?、. 3 或 1 .3 ::: m ：：： 3 时，复数 z 对应的点位于复平面的第二

、m2 _3m + 2 # 0

【变式2】已知复数z满足|Z| = 1且z2-1,则复数()

z2+1

A.必为纯虚数

B. 是虚数但不一定是纯虚数

C.必为实数

D.可能是实数也可能是虚数【答案】

［法1］设z=abi ( a,b R)，有a2 b2=1,a=0.