必修一：幂函数
幂函数
级级： 姓名： 学号： 得分：
一、选择题：（每题5分，共55分）
1.当x ∈(1，+∞)时，幂函数y=a
x 的图象恒在y=x 的下方，则α的取值范围是 （ ）
A ．0＜α＜1
B ．α＜1
C ．α＞0
D ．α＜0 2.函数y ＝(m 2
－m －1)x
－5m －3
为幂函数，则实数m 的值为( )
A ．m ＝2
B ．m ＝－1
C ．m ＝－1或m ＝2
D ．m ＝0
3.已知幂函数?(x )的图像经过点?
?
???2
，22，则?(4)的值为( )
A ．16
B ．116
C ．2
D ．1
2
4.函数2
-=x y 在区间]2,2
1[上的最大值是
（ ）
A ．
4
1
B ．1-
C ．4
D ．4- 5.下列所给出的函数中，是幂函数的是
（ ）
A ．3
x y -=
B ．3
-=x y
C ．3
2x y = D ．13
-=x y 6.函数3
4x y =的图象是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7.下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数α
x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点
C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α
x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 8.函数3
x y =和3
1
x y =图象满足
（ ）
A ．关于原点对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线x y =对称
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案
9.如图1—9所示，幂函数α
x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）
A ．102431<<<<<αααα
B ．104321<<<<<αααα
C ．134210αααα<<<<<
D ．142310αααα<<<<< 10.在函数y
＝ 1x
2，y ＝2x 2，y ＝x 3＋x ，y ＝x 0
中，幂函数的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 11.在同一坐标系内，函数y ＝x a
(a ≠0)和y ＝ax －1a
的图象可能是( )
二、填空题（每题5分，共15分）
12.9
42
--=a a
x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .
13.已知α∈??????－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α
为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.
14.已知幂函数?(x )＝x －12
，若?(a ＋1)
三、解答题（每题10分，共30分）
16.幂函数y ＝(m 2
－m －1)x m 2－2m －3
，当x ∈(0，＋∞)时，y 随x 的增大而减小，求实数m 的值．
17.讨论函数2
3-=x
y 的定义域、值域及函数值y 随x 变化的规律，并画出其图象．
18已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1
为幂函数，且为奇函数．
(1)求m 的值；
(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h （x ）在x ∈????
??0，12的值域．
1α
3α
4α
2α
高中数学必修一幂函数及其性质
幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；
过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）．
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个体差异性辅导教案 学科：数学任课教师:授课时间：年月日(星期） 姓名/班型/ 人班年级教材总课时____第____课 教学目标知识目标:能力目标： 重点 难点 课题： 一、要点回顾 二、课堂导入 三、考点解析 1．幂函数及其图像性质 (1)定义：形如(α∈R）的函数称为幂函数，其中，是自变量，是常数． 注:如图，牢记常见五大幂函数图像与性质； （2）幂函数的图象及性质 ①位置:幂函数图像必过第象限， 必不过第象限，当幂函数为偶函 数时，图像过第象限；当幂函数 为奇函数时，图像过第象限． ②定点：α〉0时，幂函数图像过定 点，α<0时,幂函数图像过定点; ∈第一象限单调性：α>0时，幂函数在(0,＋∞)上单调,α<0时,幂函数在(0，＋∞）上单调； ④凹凸性：第一象限内，当α<0或时,幂函数图像是的；当0〈α〈1时，幂函数图像是的； 注：从x轴正方向按逆时针，幂指数α由变． 四、经典例题 【例1】（1)下列函数：①y＝x3;②y＝2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1;⑤y＝（x－1)2;⑥y＝x；⑦y＝a x（a>1)．其中幂函数有（) A．1个B．2个C．3个D．4个 （2)已知幂函数y＝f(x）的图象过点(4，8）， ①求f(x)的解析式；②画出f（x）的草图． 变式训练1:
1．若函数f(x）是幂函数，且满足f（4)＝3f(2),则f（错误!)=________. 2．请把相应的幂函数图象代号填入表格． ① 2 3 y x =；②2 y x- =；③ 1 2 y x =; ④1 y x- =; ⑤ 1 3 y x =；⑥ 4 3 y x =; ⑦ 1 2 y x- =; ⑧ 5 3 y x =。 3．函数f(x）＝（m2－m－1)x m m 23 ＋－是幂函数，且当x∈（0，＋∞)时，f(x）是增函数，求f(x)的解析式． 【例2】（1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n 在第一象限内的图象，则（） A．－1 高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0]上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0)上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递减 在[0，＋ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 高中数学必修一幂函数 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中数学必修一幂函数教案 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 索一般幂函数的图象规律． 教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 组织探究 材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定 义，并且图象都过点（1，1）； （2）0 > α时，幂函数的图象通过原 点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别 地，当1 > α时，幂函数的图象下凸；当 1 0< <α时，幂函数的图象上凸； （3）0 < α时，幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从 右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼 近y轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴 上方无限地逼近x轴正半轴． 师：引导学生 观察图象，归纳概 括幂函数的的性质 及图象变化规律． 生：观察图 象，分组讨论，探 究幂函数的性质和 图象的变化规律， 并展示各自的结论 进行交流评析，并 填表． 探究与发现 1．如图所示，曲线 是幂函数αx y=在第一象 限内的图象，已知α分别 取2, 2 1 ,1,1 -四个值，则相 应图象依次 为：． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图 象，你能发现什么规律？ （1）3- =x y和3 1 - =x y； （2）4 5 x y=和5 4 x y=． 规律1：在第 一象限，作直线 )1 (> =a a x，它同 各幂函数图象相 交，按交点从下到 上的顺序，幂指数 按从小到大的顺序 排列． 规律2：幂指 数互为倒数的幂函 数在第一象限内的 图象关于直线x y= 对称． 作业回馈 1．在函数 1 , , 2 , 1 2 2 2 = + = = =y x x y x y x y中，幂函数的个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数) (x f y=的图象过点 )2 ,2(，试求出这个函数的解析式． 3．在固定压力差（压力差为常数）下， 当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管 道半径r的四次方成正比． （1）写出函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流 量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半 径为5cm，计算该气体的流量速率． 4．1992年底世界人口达到54．8亿， 若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人 口数为y（亿），写出： （1）1993年底、1994年底、2000年底 的世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y与x的 函数解析式． 高中数学学科测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．已知幂函数f（x）过点，则f（4）的值为（） A．B．1C．2D．8 答案：A 解析： 解：设幂函数f（x）=x a，x＞0， ∵幂函数f（x）过点， ∴，x＞0， ∴，∴， ∴f（4）==． 故选A． 2．幂函数y=（m2+2m-2）的图象过（0，0），则m的取值应是（）A．-3或1B．1C．-3D．0＜m＜4 答案：B 解析： 解：由幂函数的定义得：m2+2m-2=1，且-m2+4m＞0， 解得：m=1， 3．函数y= 的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 答案：C 解析： 解：∵函数y=的定义域是[0，+∞）， ∴排除选项A 和B ， 又∵，∴曲线应该是下凸型递增抛物线． 故选：C ． 幂函数y=x -1及直线y=x ，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一 象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ） A ．④⑦ B ．④⑧ C ．③⑧ D ．①⑤ 答案：D 解析： 解：取x=得∈（0，1），故在第⑤卦限； 再取x=2得∈（1，2），故在第①卦限 5．幂函数f（x）=xα的图象经过点，则的值为（） A．4B．3C．2D．1 答案：C 解析： 解：幂函数f（x）=xα的图象经过点，所以，∴ ∴ 故选C． 二．填空题（共__小题） 6．若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=______． 答案： 解析： 解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23， ∴f（）= = = = =． 故答案为： 7．设，则使函数y=xα的定义域为R且为偶函数的所有的α值为______．答案：，2 高中新课标数学必修一2.3幕函数知识梳理 一.定义 一般地，函数y = √z叫做幕函数，其中X是自变量，α是常数. 典例解析 题型一:幕函数的概念例1 ?有下列函数 (Dy = √x;(2)y = X°；(3)y = 2"; (4)y = x",J (5)y = 3x2; (6) y = X2 +1; ⑺y = _丄. X 貝中，是幕函数的有__________________ （只填序号）? 规律方法： ⑴理解幕函数y = X a的概念应注意以下几点:①以底为自变量的形式呈现;②指数α是常数,且α e R;③ 系数为1? ⑵幕函数与指数函数的区别： 指数函数y=a x-自变量（全体实数） I一底数（大于O且不等于1） 幕函数y=Λ*" --------- 常数〔只研究α=l,2,3，―）?1） I一自变量（与α的取值有关） 例2?已知函数/⑴=（加2_加_1冲-3 ,加为何值时,f（x）： ⑴是幕函数；⑵是幕函数，且是（0, + s）上的增函数：⑶是正比例函数; ⑷是反比例函数；⑸是二次函数. 规律方法： 本题将正比例函数，反比例函数，二次函数和幕函数放在一起考査，转化为系数和指数的取值问题，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：①正比例函^y = kx （k≠0）t②反比例函^y =-（k≠0）t③二次函数y = ^2+^v + c（^≠0）;④幕函数y = xα（α是常数）? 题型二：幕函数的图象 例3?如图所示的曲线是y = Λ"在第一象限的图象，已知αj?4「丄丄则相应于曲线GGG,C4的 4 4 「 值依次为（） 4 1 I A. —4 , ——，一4? B. 4 ,- 4 4 4 C. 一丄.-4,4. 1 ?D. 4 ,丄 4 4 4 32 例4?给泄一组函数解析式: (l)y = F; (2)y = x j; ⑺y = √和一组函数图象，请把图象对应的解析式号码填在图象下而的括号里. 3 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝x 叫做幂函数．其中x 是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R {x|x≠0}[0，＋∞)值域R [0，＋∞)R {y|y≠0}[0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数 单调性在(－∞，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0]上 单调递减，在 (0，＋∞)上单 调递增 在(－∞，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0)上 单调递减，在 (0，＋∞)上单 调递减 在[0，＋∞)上 单调递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝12x ?? ??? ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2； ⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝( ) 22 23 1m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝( ) 22 23 1m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x － 3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x － 3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α (α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件． 【对点训练】 函数f(x)＝( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的 解析式． 解：根据幂函数的定义得 m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3 在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f(x)＝x 3. 题型二、幂函数的图象 2.3.幂函数教学设计 【教学分析】 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究2 11 32,,,,x y x y x y x y x y =====-等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数0>α时，幂函数的图象都经过点()0,0和()1,1，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数0<α时，幂函数的图象都经过点()1,1，且在第一象限单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质.其中，学生在初中已经学习了1 2 ,,-===x y x y x y 等三个简单的幂函数，对它们的图像和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法.因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 【课前准备】 1.教师准备：PPT 课件，几何画板《幂函数》导学案. 2.学生准备：课前预习幂函数定义，完成导学案1,2，并画出1 2 ,,x y x y x y ===的图象. 【教学目标】 1.知识与技能 （1）通过实例，了解幂函数的概念. （2）通过具体实例了解几个常见幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. （3）学会研究函数图象和性质的一般方法和思想. 高一数学必修一函数必背知识点整理 高一数学必修一函数必背知识点 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+ba>0,a、b属于Q a^a^b=a^aba>0,a、b属于Q ab^a=a^a*b^aa>0,a、b属于Q 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 幂函数y=x^aa属于R 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. 1所有的幂函数在0，+∞都有定义并且图象都过点1，1; 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 3时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1 代数法求方程的实数根; 2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数. 1△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 幂函数（学案） 学习目标 1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数； 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律； 3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象； 学法指导 自学课本108页——109页例1上方。 通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。 特别强调：指数决定曲线的趋势。 ; 自学检测 1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数. 注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。 练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1 y x =； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5 1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=. ` 练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________ 练习3：函数3 22 )1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。 | 2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗 （1）0<α<1时， （2） α=1时， （3） α>1时， ` （4） α<0时， 4.研究函数1 2 132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表： 课堂小结 幂函数的的性质及图象变化规律： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点 ； （2）0α>时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0,)+∞上是 （增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； — （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是 （增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x y 1 = 在第一象限的图象） 能力提升 求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。 （1） 32 x y =（2）23x y =（3）5 3x y =（4）0 x y =（5）3 2-=x y （6） 2 3x y - =（7）5 3- =x y 幂 函 数 一般地，形如)R a (x y a ∈=的函数称为幂函数，其中a 为常数。 幂函数中，当12 1 321a -=，，，，时性质如下表所示： 函数 特征 性质 y=x y x =2 y x =3 y x = 12 y x =-1 定义域 R R R [0，+∞） {|}x x ≠0 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {|}y y ≠0 x ∈+∞[)0，增 x ∈+∞()0，增 单调性 增 x ∈-∞(]，0减 增 增 x ∈-∞()，0减 所过定点 （1，1） （0，0） （1，1） （0，0） （1，1） （0，0） （1，1） （0，0） （1，1） 结合以上特征，得幂函数的性质如下： （1）所有的幂函数在()0，+∞都有定义，并且图象都通过点（1，1）； （2）当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数； （3）如果a>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间)0[∞+，上是增函数； （4）如果a<0，则幂函数在区间()0，+∞上是减函数 诊断练习： 1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－ 的定义域是 3．函数y ＝5 2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝ 2 21 m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _． 范例分析： 例1比较下列各组数的大小： （1）1.53 1，1.73 1，1； （2）2 3 2- ，（－ 107 ）3 2 ，1.1 3 4- ； （3）3.83 2-，3.952 ，（－1.8）5 3； （4）31.4，51.5 . 例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值． 例3幂函数2 7323 5 ()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式. 反馈练习： 《幂函数》教学设计 一、设计构思 1、设计理念 注重发展学生的创新意识。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。 注重提高学生数学思维能力。课堂教学是促进学生数学思维能力发展的主阵地。问题解决是培养学生思维能力的主要途径。所设计的问题应有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。本节主要安排应用类比法进行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。 注重学生多层次的发展。在问题解决的探究过程中应体现“以人为本”，充分体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习能力是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。 注重信息技术与数学课程的整合。高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、 计算器等进行探索和发现。 另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。 2、教材分析 幂函数是教育普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的容。该教学容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。标准将该容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。其中，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。因此，教材安排学习幂函数，除容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。该容安排一课时。 3、教学目标的确定 鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标： ⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。 ⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。 ⑶加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。 ⑷培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。 ⑸渗透辨证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法 指数函数与对数函数之间是反函数 之间的关系 ★ 指数及指数幂的运算 1.根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,n ∈N + 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，表示为；当n 为偶数时， 正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 . 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质： (1)当n 为奇数时，；当n 为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义： 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： ★指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . n √a n =a n √a n =|a|= a,a ≥0-a,a<0 n √a +n √a n √a (n √a )n =a a n =n √a m m (a>0,m,n ∈N,n>1); (a>0,m,n ∈N,n>1); a n 1 m a n = m (a>0,b>0,r,s ∈Q)(1)a r a s =a r+s (2) (a r )s =a rs (3) (ab)r =a r ·b r y=a x (a>0,且a ≠1) y=a x 且★ 对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若 =N （a>0,a ≠0，N>0），则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ， 其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：x=log a N 等价于a x =N （a>0,a ≠0，N>0） 2.几个重要的对数恒等式 a x a x a x a x a x a x a x y=a x y=a x (a>0,且a ≠1)叫做指数函数 幂函数新旧教材的对比 旧教材：幂函数()y x Q αα=∈，α的情况比较复杂，α=0，1正偶数，正奇数，负奇数，负偶数正分数，负分数，其中还包括分母为奇数，分子为偶数；分子为奇数，分母为偶数；分子分母均为奇数，综合起来从函数的图像来分类有九种情况： α的变化繁多，学生学习起来难度较大，最终从教材中删减。 对于函数的奇偶性最早的教材中是作为一个单独的知识点学习的，是先给出定义，根据定义通过具体函数的性质研究得到函数奇偶性的相关性质。后来教材改革把函数的奇偶性的学习放在了三角函数的学习当中，依然是先给出定义，然后通过三角函数的学习研究得到函数奇偶性的相关性质。但是由于函数的奇偶性 在研究当中会给问题的研究带来很大的方便，从另外一个角度来说，早晚要学习这个内容而且这个内容的学习对学生不困难，有些老师也有把这个内容提前学习，放在函数性质研究中进行，从现在的新教材来看这种选择是正确的。 新教材：此次新课改革，幂函数又被重新编入教材，名称改为简单的幂函数（课时为一课时）。教材考虑到学生已有的数学知识基础只从12,,y x y x y x -===等指数是整数的情况引入幂函数()y x αα=为常数而把α是实数的情况放在今后的学习当中。对幂函数的教学目标定格为：了解指数是整数的简单幂函数的概念。通过研究简单的幂函数的图像和性质，发挥图形在数学学习中的作用，挖掘函数图形对函数概念的性质的理解以及数学思考的辅助功能。教材重在对简单幂函数图像的观察，着重从对称的角度引出函数的奇偶性。教学目标要求通过学习使学生会利用定义证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像的的方法，培养学生从特殊归纳出一般的意识，学会利用图像研究函数奇偶性等能力。课程标准明确规定了对幂函数教学的原则：通过实例，了解幂函数的概念。结合函数 123 121,,,y x ,y=x ,x y x y x y x -=====的图像，了解它们的变化情况，了解奇偶性的含义。习题不可搞得过分。 对新教材安排的理解：人类对量的认识是从常量、等量开始的，但是事物是变化的，是在等与不等的对立统一中发展的，而函数就反映了人们的认识的一次重大飞跃：研究两个量依赖中的变化，研究它们的等与不等，所以数学是人类认识世界，改造世界的重要工具。虽然幂函数本身情况比较繁杂，但是从培养学生的数学思维品质和能力来说，从让学生通过简单的幂函数的研究，对学生体会研究函数加深学生对函数的理解很有必要。函数的奇偶性无论怎么改教材，它在研究函数问题时所起到的作用是无可替代的。 高一数学必修1 1.知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性, (2) 元素的互异性, (3) 元素的无序性, 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.?包含关系—子集 注意：B包含A有两种可能（1）A是B的一部分； （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A不属于B或B不属于A 2．相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等?即：①即任何一个集合是它本身的子集。 ②真子集:如果A属于B,且A不属于B那就说集合A是集合B的真子集。 ③如果 A属于B, B属于C ,那么 A属于C ④如果A属于B 同时 B属于A ，那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 1.规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 2.特点有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 2.7幂函数 一、幂函数定义的应用 〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)： (1)是幂函数； (2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数； (3)是正比例函数； (4)是反比例函数. 〖例2〗已知y=(m 2+2m-2)·2 1 1 m x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值. 二、幂函数的图象与性质 〖例1〗已知 点在幂函数()f x 的图象上，点124? ?- ?? ?，，在幂函数()g x 的图象上．定义 ()()()()()()()≤??=?>??f x f x g x h x g x f x g x ，，，． 试求函数h(x)的最大值以及单调区间. 〖例2〗 已知函数2245()44 x x f x x x ++=++ （1） 求()f x 的单调区间； （2） 比较()f π- 与(2 f - 的大小 （二）幂函数的性质与应用 【例1】(1)试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小. (2)已知幂函数y=x 3m-9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足() () -- +<-m m 3 3 a 132a 的a 的取值范围. 三、幂函数中的三类讨论题 〖例1〗已知函数223 ()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定 ()f x 的解析式． 例2已知函数2 ()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得() g x 在区间(] 4--，∞是减函数，且在区间(40)-， 上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 例3讨论函数2 221 ()k k y k k x --=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况． 高中数学必修一幂函数教案 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 环节教学内容设计师生双边互动 组织探究 材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定 义，并且图象都过点（1，1）； （2）0 > α时，幂函数的图象通过原点， 并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别地，当 1 > α时，幂函数的图象下凸；当1 0< <α时， 幂函数的图象上凸； （3）0 < α时，幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右 边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴上方 无限地逼近x轴正半轴． 师：引导学生观 察图象，归纳概括幂 函数的的性质及图 象变化规律． 生：观察图象， 分组讨论，探究幂函 数的性质和图象的 变化规律，并展示各 自的结论进行交流 评析，并填表． （1）1-=x x ； （2）323-=x x ． 探 究 与 发 现 1．如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限 内的图象，已知α分别取2,21 ,1,1-四个值，则相应 图象依次为： ． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？ （1）3 -=x y 和31- =x y ； （2）4 5 x y =和5 4 x y =． 规律1：在第一象限，作直线)1(>=a a x ，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线x y =对称． 作业回馈 1．在函数1,,2,12 22=+===y x x y x y x y 中，幂函数的 个数为： A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 环节 呈现教学材料 师生互动设计 第二章 2.3 1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5x B ．y ＝x 5 C ．y ＝5x D ．y ＝(x ＋1)3 解析：函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数． 答案：B 2．函数y ＝x 4 3 的图象是( ) 解析：y ＝x 43 为偶函数，图象关于y 轴对称，又43 ＞1，在第一象限内，图象为下凸递增的． 答案：A 3．下列命题中，不正确的是( ) A ．幂函数y ＝x －1是奇函数 B ．幂函数y ＝x 2是偶函数 C ．幂函数y ＝x 既是奇函数又是偶函数 D ．y ＝x 1 2 既不是奇函数，又不是偶函数 解析：∵x －1＝1x ，1－x ＝－1x ，∴A 正确； (－x )2＝x 2，∴B 正确； －x ＝x 不恒成立，∴C 不正确； y ＝x 1 2 定义域为[0，＋∞)， 不关于原点对称， ∴D 正确．故选C. 答案：C 4．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点??? ?9，13，则f (25)＝________. 解析：由题意知13＝9α，∴α＝－12 ， ∴f (25)＝25－12 ＝15 . 答案：15 5．幂函数f (x )＝x α的图象过点(3,9)，那么函数f (x )的单调增区间是________． 解析：由题设知f (3)＝9， 即3α＝9，∴α＝2. ∴f (x )＝x 2，其增区间为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 6．已知函数y ＝(a 2－3a ＋2)x a 2－5a ＋5(a 为常数)，问 (1)a 为何值时此函数为幂函数？ (2)a 为何值时此函数为正比例函数？ 解：(1)根据幂函数的定义， 得a 2－3a ＋2＝1， 即a 2－3a ＋1＝0， 解得a ＝3±52 . (2)根据正比例函数的定义， 得 ????? a 2－5a ＋5＝1，a 2－3a ＋2≠0， 解得a ＝4.高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数
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