中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及问题详解

《离散数学》期末复习题

一、填空题（每空2分，共20分）

1、集合A上的偏序关系的三个性质是、

和。

2、一个集合的幂集是指。

3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。

4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。

5、若A是2元集合, 则2A有个元素。

6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则

2*3= 。

7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。

8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元，

是乘法的幂等元。

9、设a,b,c是阿贝尔群的元素，则-(a+b+c)= 。

10、一个图的哈密尔顿路是。

11、不能再分解的命题称为，至少包含一个联结词的命题称

为。

12、命题是。

13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示。

14、与一个个体相关联的谓词叫做。

15、量词分两种：和。

16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的。

17、集合上的三种特殊元是、

及。

18、设A={a, b}，则ρ(A) 的四个元素分别

是：，，，。

19、代数系统是指由及其上的或

组成的系统。

20、设是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满

足、，并且*1和*2满足，则称是格。

21、集合A={a,b,c,d}，B={b }，则A \ B= 。

22、设A={1, 2}, 则∣A∣= 。

23、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示，入度deg-(v)表示

以。

24、一个图的欧拉回路是。

25、不含回路的连通图是。

26、不与任何结点相邻接的结点称为。

27、推理理论中的四个推理规则

是、、、。

二、判断题（每题2分，共20分）

1、空集是唯一的。

2、对任意的集合A，A包含A。

3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。

4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。

5、图G中，与顶点v关联的边数称为点v的度数，记作deg(v)。

6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。

7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取式和合取式。

8、设（A,*）是代数系统，a∈A，如果a*a＝a，则称a为（A，*）的等幂元。

9、设f：A→B，g：B→C。若f，g都是双射，则gf不是双射。

10、无向图的邻接矩阵是对称阵。

11、一个集合不可以是另一个集合的元素。

12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。

13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。

14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。

15、树一定是连通图。

16、单位元不是可逆的。

17、一个命题可赋予一个值，称为真值。

18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。

19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。

20、设f：A→B，g：B→C。若f，g都是满射，则g?f不是满射。

21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。

22、零元是不可逆的。

23、一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。

24、“我正在说谎。”不是命题。

25、用A表示“是个大学生”，c表示“三”，则A(c)：三是个大学生。

26、设F＝{<3,3>,<6,2>}，则F-1＝{<6,3>,<2,6>}。

27、欧拉图是有欧拉回路的图。

28、设f：A→B，g：B→C。若f，g都是单射，则g?f也是单射。

三、计算题（每题10分，共40分）

1、设A={c,d}, B={0,1,2}，则计算A×B，B×A。

2、A = {a,b,c}，B = {1,2}，计算A×B。

3、A = {a,b,c}，计算A×A。

4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。”。

5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。

6、符号化命题“2是素数且是偶数”。

7、设A={a,b,c,d}，R是A的二元关系，定义为：R={,,,, ,,, }，写出A上二元关系R的关系矩阵。

8、设A={1,2,3,4}，R是A的二元关系，定义为：R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>, <3,1>,<4,3>,<4,2>, <4,1>}，写出A上二元关系R的关系矩阵。

9、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。

11、设无向图G如下所示，求它的邻接矩阵。

12、求命题公式┐ (p∧┐q)的真值表。

13、设<2x+y, 5>=<10, x－3y>，求x，y。

14、R1、R2是从{1, 2, 3, 4, 5}到{2, 4, 6}的关系，若R1＝{<1, 2>, <3, 4>, <5, 6>}，R2={<1, 4>, <2, 6>}，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。

15、例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，B={3, 4, 5}, C={1, 2, 3}，A到B的关系R={|x+y=6}，B到C的关系S={|y－z=2}，求R?S。

16、集合A={a, b, c}，B={1, 2, 3, 4, 5}，R是A上的关系，S是A到B的关系。R={,

c>, , , }，S={, , , , }，求R?S，S–1?R–1

17、A＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。

18、设集合A={a,b,c}，A上的关系R={, , }，求R的自反、对称、传递闭包。

19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。

20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。

四、证明题（每题10分，共20分）

1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明R?S是A上的等价关系。

2、证明格拉底论证：凡人要死。格拉底是人，格拉底要死。

3、P→Q，┐Q∨R，┐R，┐S∨P?┐S

4、在群中，除单位元e 外，不可能有别的幂等元。

5、设R和S是二元关系，证明：(R?S)-1=R-1?S-1

6、证明：((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) = (S∧(P→Q))→R.

7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R＝{|x, y ∈I，且x－y可被k整除}，证

明R是等价关系。

8、证明((p→q)→r)? ((┐q∧p)∨r)

9、证明(P∨Q) ∧(P→R) ∧(Q→S)?S∨R

10、证明P→┐Q，Q∨┐R，R∧┐S?┐P

11、证(?x)(P(x)∨Q(x)) ?┐(?x)P(x) →(?x)Q(x)

v0

v2

v1

v4

v3

v5

1

2

1

4

7

5 3

2

6

12、证明定理：设是群，对于任意a, b∈G，则方程a?x=b与y?a=b，在群有唯一解。

《离散数学》复习题参考答案

一、填空题（每空1分，共20分）

1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。

2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。

3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B={a,b,c,d,e}。

4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B={1,3}。

5、若A是2元集合, 则2A有 4 个元素。

6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 3 。

7、设A={a, b,c,d}, 则∣A∣= 4 。

8、对实数的普通加法和乘法，0 是加法的幂等元，1 是乘法的幂等元。

9、设a,b,c是阿贝尔群的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。

10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。

11、不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题。

12、命题是能够表达判断（分辩其真假）的述语句。

13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示王强不是一名大学生。

14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。

15、量词分两种：全称量词和存在量词。

16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。

17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。

18、设A={a, b}，则ρ(A) 的四个元素分别是：空集，{a}，{b}，{a, b}。

19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。

20、设是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称是格。

21、集合A={a,b,c,d}，B={b }，则A \ B={ a, c,d }。