角平分线辅助线专题练习

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D

A

B

C

角平分线专题

1、 轴对称性:

内容:角是一个轴对称图形,它的角平分线所在的直线是它的对称轴。

思路和方法:边角等 造全等,也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构:如图,

2、 角平分线的性质定理:注意两点(1)距离相等 (2)一对全等三角形

3、 定义:带来角相等。

4、 补充性质:如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则有AB:AC=BD:DC

针对性例题:

例题1:如图,AB=2AC ,∠BAD=∠DAC,DA=DB

求证:DC ⊥AC

B

例题2:如图,在△ABC 中,∠A 等于60°,BE 平分∠ABC ,CD 平分∠ACB 求证:DH=EH

例题3:如图1,BC >AB ,BD 平分∠ABC ,且∠A+∠C=1800, 求证:AD=DC .:

思路一:利用“角平分线的对称性”来构造

因为角是轴对称图形,角平分线是其对称轴,因此,题中若有 角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形.

证法1:如图1,在BC 上取BE=AB ,连结DE ,∵BD 平分

∠ABC ,∴∠ABD=∠DBE ,又BD=BD ,∴△ABD ≌△EBD (SAS ), ∴∠A=∠DBE ,AD=DE ,又∠A+∠C=1800,∠DEB+∠DEC=1800,∴∠C=∠DEC ,DE=DC ,

则AD=DC . 证法2:如图2,过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ,

连结DE ,由BD 平分∠ABC ,易得△ABF ≌△EBF ,则AB=BE ,

BD 平分∠ABC ,BD=BD ,∴△ABD ≌△EBD (SAS ),

∴AD=ED ,∠BAD=∠DEB ,又∠BAD+∠C=1800, ∠BED+∠CED=1800,∴∠C=∠DEC ,则DE=DC ,∴AD=DC . 说明:证法1,2,都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的.

证法3:如图3,延长BA 至E ,使BE=BC ,连结DE , ∵BD 平分∠ABC ,∴∠CBD=∠DBE ,又BD=BD ,∴△CBD ≌△EBD (SAS ), ∴∠C=∠E ,CD=DE ,又∠BAD+∠C=1800,∠DAB+∠DAE=1800, ∴∠E=∠DAE ,DE=DA ,则AD=DC . 说明:证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的.

B A

C D E 图1

B A

C

D

E

F 图2

B A

C

D E

图3

思路二:利用“角平分线的性质”来构造

由于角平分线上的点到角的两边的距离相等,所以根据这个性质,可以 过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形.

证法4:如图4,从D 分别作BC 、BA 的垂线,垂足为E 、F ,∵BD 平分 ∠ABC ,∴DE=DF ,又∠BAD+∠C=1800,∠BAD+∠FAD=1800, ∴∠FAD=∠C ,∴△FAD ≌△ECD (AAS ),则AD=DC .

例题4 已知:如图5,在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB .

求证:AC +CD =AB

证明:在AB 上截取AE=AC ,∵AD 平分∠CAB ,∴∠CAD = ∠DAB ,AD =AD , ∴△CAD ≌△EAD ,∴∠DEA =90°,∵∠C =90°,AC =BC ,∴∠B =45°, ∴∠B =∠BDE =45°

∴DE =BE ,∴AC +CD =AE +DE =AE +BE =AB ,即AC +CD =AB .

例题5.已知:如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,沿过B 点的一条 直线BE 折叠这个三角形,使C 点与AB 边上的一点D 重合,

当∠A 满足什么条件时,点D 恰为AB 中点?写出一个你认为适当的条件,并利用此条件证明D 为AB 中点.

解:当∠A =30°时,点D 恰为AB 的中点.∵∠A =30°,∠C =90°(已知),∴∠CBA =60°(直角三角形两锐角互余).又△BEC ≌△BED (已知),∴∠CBE =∠DBE =30°,且∠EDB =∠C =90°(全等三角形对应角相等),∴∠DBE =∠A (等量代换).∵BE =AE (等角对等边),又∠EDB =90°, 即ED ⊥AB ,∴D 是AB 的中点(三线合一).

B A

C

D F

E 图4

角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线,构造三角形

例题、如图所示,在△ABC 中,∠ABC=3∠C ,AD 是∠BAC 的平分线,BE ⊥AD 于F 。 求证:1

()2

BE AC AB =

- 证明:延长BE 交AC 于点F 。

因为角是轴对称图形,对称轴是角的平分线所在的直线, 所以AD 为∠BAC 的对称轴, 又因为BE ⊥AD 于F ,

所以点B 和点F 关于AD 对称,

所以BE=FE=1

2

BF ,AB=AF ,∠ABF=∠AFB 。

因为∠ABF +∠FBC=∠ABC=3∠C ,

∠ABF=∠AFB=∠FBC +∠C , 所以∠FBC +∠C +∠FBC=3∠C , 所以∠FBC=∠C ,所以FB=FC ,

所以BE=

12FC=12(AC -AF )=1

2(AC -AB ), 所以1

()2

BE AC AB =-。

二、已知一个点到角的一边的距离,过这个点作另一边的垂线段

如图所示,∠1=∠2,P 为BN 上的一点,并且PD ⊥BC 于D ,AB +BC=2BD 。 求证:∠BAP +∠BCP=180°。

证明:经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。 因为PE ⊥AB ,PD ⊥BC ,∠1=∠2, 所以PE=PD 。

在Rt △PBE 和Rt △PBC 中

BP BP

PE PD =⎧⎨

=⎩

所以Rt △PBE ≌Rt △PBC (HL ), 所以BE=BD 。

因为AB +BC=2BD ,BC=CD +BD ,AB=BE -AE , 所以AE=CD 。

因为PE ⊥AB ,PD ⊥BC , 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中

PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

2

1F E

D

C

B

A

N

P

E D

C

B

A

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