角平分线辅助线专题练习
B
角平分线专题
1、 轴对称性：
内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。
思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图，
2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形
3、 定义：带来角相等。
4、 补充性质：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则有AB:AC=BD:DC
针对性例题：
例题1：如图，AB=2AC ,∠BAD=∠DAC,DA=DB
求证：DC ⊥AC
B
例题2：如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH
例题3：如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．：
思路一：利用“角平分线的对称性”来构造
因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有 角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形．
证法1：如图1，在BC 上取BE=AB ，连结DE ，∵BD 平分
∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠A=∠DBE ，AD=DE ，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC ，DE=DC ，
则AD=DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ，
连结DE ，由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△EBF ，则AB=BE ，
BD 平分∠ABC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ），
∴AD=ED ，∠BAD=∠DEB ，又∠BAD+∠C=1800， ∠BED+∠CED=1800
，∴∠C=∠DEC ，则DE=DC ，∴AD=DC ． 说明：证法1，2，都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的．
证法3：如图3，延长BA 至E ，使BE=BC ，连结DE ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD （SAS ），
∴∠C=∠E ，CD=DE ，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800
， ∴∠E=∠DAE ，DE=DA ，则AD=DC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的．
B A
C D E 图1
B A
C
D
E
F 图2
B A
C
D E
图3
思路二：利用“角平分线的性质”来构造
由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以 过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形．
证法4：如图4，从D 分别作BC 、BA 的垂线，垂足为E 、F ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴DE=DF ，又∠BAD+∠C=1800，∠BAD+∠FAD=1800， ∴∠FAD=∠C ，∴△FAD ≌△ECD （AAS ），则AD=DC ．
例题4 已知：如图5，在△ABC 中，∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB .
求证：AC +CD =AB
证明：在AB 上截取AE=AC ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD = ∠DAB ，AD =AD ， ∴△CAD ≌△EAD ，∴∠DEA =90°，∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠B =45°， ∴∠B =∠BDE =45°
∴DE =BE ，∴AC +CD =AE +DE =AE +BE =AB ，即AC +CD =AB .
例题5．已知：如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，沿过B 点的一条 直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合，
当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 中点.
解：当∠A =30°时，点D 恰为AB 的中点.∵∠A =30°，∠C =90°(已知)，∴∠CBA =60°(直角三角形两锐角互余).又△BEC ≌△BED (已知)，∴∠CBE =∠DBE =30°，且∠EDB =∠C =90°(全等三角形对应角相等)，∴∠DBE =∠A (等量代换).∵BE =AE (等角对等边)，又∠EDB =90°， 即ED ⊥AB ，∴D 是AB 的中点(三线合一).
B A C
D F
E 图4
角平分线定理使用中的几种辅助线作法
一、已知角平分线，构造三角形
例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1
()2
BE AC AB =
- 证明：延长BE 交AC 于点F 。
因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD 为∠BAC 的对称轴， 又因为BE ⊥AD 于F ，
所以点B 和点F 关于AD 对称，
所以BE=FE=1
2
BF ，AB=AF ，∠ABF=∠AFB 。
因为∠ABF ＋∠FBC=∠ABC=3∠C ，
∠ABF=∠AFB=∠FBC ＋∠C ， 所以∠FBC ＋∠C ＋∠FBC=3∠C ， 所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ，
所以BE=
12FC=12（AC －AF ）=1
2（AC －AB ）， 所以1
()2
BE AC AB =-。
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。
证明：经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。 因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠1=∠2， 所以PE=PD 。
在Rt △PBE 和Rt △PBC 中
BP BP
PE PD =??
=?
所以Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ）， 所以BE=BD 。
因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ， 所以AE=CD 。
因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中
PE PD PEB PDC AE DC =??
∠=∠??=?
2
1F E
D
C
B
A
N
P
E D
C
B
A
所以△PAE ≌Rt △PCD ， 所以∠PCB=∠EAP 。
因为∠BAP ＋∠EAP=180°， 所以∠BAP ＋∠BCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段 例题、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ． 因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ， 所以PE=PF 。
同理可证PF=PG 。
所以PG=PE ， 又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ， 所以PA 是∠BAC 的平分线， 所以∠1=∠2。
与三角形的角平分线有关的结论的探究
三角形的内角和等于1800
，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论。从结论的探究过程中，希望同学们能从中得到有益的启示：在平时的数学学习中，要学会运用所学知识去探索新的结论，学会探究，从而不断地提高自己的数学发现与创新的能力，提高数学学习水平。
探究一：在ABC ?中，∠A ，∠B 的平分线交于点P ，试探究 ∠BPC 与∠A 的关系？
探究：因为∠BPC 在ΔBPC 中，由三角形的内角和定理，有：
()PCB PBC BPC ∠+∠-=∠0180
而由BP ，CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线 知：∠PBC=
ABC ∠2
1
，∠PCB=ACB ∠21
所以()ACB ABC ACB ABC BPC ∠+∠-=??
?
??∠+
∠-=∠211802121
18000
而在在ABC ?中，A ACB ABC ∠-=∠+∠0
180 所以()
A A BPC ∠+=∠--
=∠2
1
9018021180000
故有结论一：在ABC ?中，∠A ，∠B 的平分线交于点P ，则有A BPC ∠+
=∠2
1
900
。
探究二：在ABC ?中，BP 是∠ABC 的平分线，CP 是ΔABC 的外角∠ACE 的平分线，
G
2
1
P
F E C B
A
C
B
A
试探究：∠BPC 与∠A 的关系？
探究：由CP 是ΔABC 的外角∠ACE 的平分线， 所以有：∠BPC=∠PCE －∠BPC
又BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACE 的平线 所以：∠PBC=
ABC ∠21，∠PCE=ACE ∠21
所以∠BPC=ACE ∠21－ABC ∠21
()A ABC ACE ∠=∠-∠=2
121 故有结论二：在ABC ?中，BP 是∠ABC 的平分线，CP 是ΔABC 的外角∠ACE 的平分线，
则有：A BPC ∠=∠2
1
。
探究三：在ABC ?中，BP ， CP 分别是ΔABC 的两个外角的平分线，
试探究：∠BPC 与∠A 的关系？ 探究：因为∠BPC 在ΔBPC 中，由三角形的内角和定理，有：
()PCB PBC BPC ∠+∠-=∠0180
由BP ， CP 分别是ΔABC 的两个外角的平分线，有： ∠PBC=
EBC ∠21，∠PCB=BCF ∠2
1
而∠ABC+∠CBE=1800
，∠ACB+∠BCF=1800
，
所以∠ABC+∠CBE+∠ACB+∠BCF=3600
所以∠EBC+∠FCB=3600
－（∠ACB+∠ABC ）(
)
A A ∠+=∠--=0
180180360
所以()()
A A FC
B EB
C BPC ∠-=∠+-=∠+∠-
=∠2
1901802118021
1800000
故有结论三：在ABC ?中，BP ， CP 分别是ΔABC 的两个外角的平分线，
则有A BPC ∠-=∠2
1900
。
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 角平分线的性质定
理及其逆定理 水平测试
一、选择题
1.下列说法，错误的是（ ）
A.三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等
B.三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上
C.三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等
D.三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部
E
C B
A
F
P
E A
2.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定
3.如图所示，在R t ABC △中，90ACB ∠=
，BC 的中垂线交斜边AB 于D ，7.8AB =，
3.9AC =，则图中有多少个角等于60 （
）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
4.等腰△ABC 两腰AB ，AC 的垂直平分线交于点O ，下列各式不正确的是（ ） A ．OA BC ⊥ B ．OA 平分BAC ∠ C ．OB OC = D ．OA BC =
5.已知△ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60cm 和38cm ，则△ABC 的腰长和底边BC 的长分别是（ ）
A ．24cm 和12cm
B ．16cm 和22cm
C ．20cm 和16cm
D ．22cm 和16cm 6.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC ，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°
7.若△ABC 三条角平分线的交点到三顶点的距离相等，则该三角形一定为（ ）
A ．等腰三角形，但不一定是等边三角形．
B ．直角三角形．
C ．等腰直角三角形．
D ．等边三角形．
8. 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，在以下结论中：①△ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△ACD ；④AE=AF ；⑤BE=CF ；⑥BD=CD ．其中
正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9.已知P 点在AOB ∠的平分线上，60AOB ∠=
，10OP =cm ，那么P 点到边OA ，OB 的距离分别是（ ）
A ．5cm
，cm B ．4cm ，5cm C ．5cm ，5cm D ．5cm ，10cm
10.如图，△ABC 中，∠C =90o，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，DE=
2
1
BD ，且DE=1.5cm ，则AC 等于（ ）
A ．3cm
B ．7.5cm
C ．6cm
D ．4.5cm
二、填空题
1.已知线段AB 和它外一点P ，若PA=PB ，则点P 在AB 的____________________；若点P 在AB
的
B C D E
A A B
C D E
F
____________________，则PA=PB ．
2.如图，△ABC 中，EF 是AB 的垂直平分线交于D ，12BF =，3CF =，则AC = ．
3. 如图，50ABC AD ∠=
，垂直平分线段BC 于点D ABC ∠，的平分线BE 交AD 于点
E ，连结EC ，则AEC ∠的度数是 ．
4.如图所示，在ABC △中，90C ∠=
，DE 是AB 的垂直平分线，2AB AC =，
18cm BC =，则BE 的长度为
．
5.在锐角三角形ABC 中，60A ∠=
，AB ，AC 两边的垂直平分线相交于点
，则的度数是
．
6.△ABC 中，90C ∠=
，AD 平分BAC ∠，交BC 于
D ，若7DC =，则D 到AB 的距
离是 ．
7.△ABC 的三边长分别为3cm 、4cm 、5cm ，若O 为△ABC 三内角平分线交点，则点O 到斜边AB 的距离等于 ．
8.如图，已知BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN BC ∥，且过点O ，若12AB =，14AC =，则AMN △的周长是 ．
9.如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，2
36m ABC S =△，18cm AB =，
Ｂ
Ｅ
12cm BC =，则DE 的长是
．
10.如图，ABC △中，90C ∠=
，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，DE AB
⊥于E ，且10cm AB =，则DEB △的周长是 ．
三、解答题
1.如图所示，直线OA ，OB 表示两条相互交叉的公路．点M ，N 表示两个蔬菜基地．现要建立一个蔬菜批发市场，要求它到两个基地的距离相等，并且到公路OA ，OB 的距离相等，请你作图说明此批发市场应建在什么地方？
2. 如图△ABC 中，BA BC =，120B ∠=
，AB 的垂直平分线交AC 于D ，求证：
1
2
AD DC =
．
3.用三角尺画角平分线：如图，∠AOB
M 、N
作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画射线OP 理．
4.如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．
求证：AD 垂直平分EF ．
四、探索题
1.如图，在ABC △中，90A ∠=
，AB AC =，BD 是ABC ∠的平分线，请你猜想图中
哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性（证明你的猜想需要用题中所有的条件）．
2.如图所示，在等腰ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=
．
（1）请你作出两腰的垂直平分线． （2）若AB 边的垂直平分线与AB ，BC 分别交于点D ，E ，AC 边上的垂直平分线与AC ，BC 分别相交于点G ，F ，则AEF △是什么形状？你能证明吗？ （3）连结DG ，DG 与BC 有什么关系？
（4）若5cm DG =，试求AEF △的周长．
答案：
一、1D ；2C ；3D ；4D ；5D ；6C ；7D ；8B ；9C ；10D ．
二、1. 垂直平分线上；垂直平分线上；2.15；3.115°；4.12cm ；5.120
；6.7；7.1cm ；
8.26；9.12
cm 5
；10.10cm . 三、1.解：分别作AOB ∠的平分线OC 和线段MN 的垂直平分线DE ，则射线OC 与直线DE 的交点P 即为批发市场应建的地方．
Ｄ
2.证明：连接BD ．AB 的垂直平分线交AC 于D ，DA DB =∴ 又BA BC =，120B ∠=
，30A C ∠=∠=
∴
30A ABD ∠=∠= ∴，90DBC ∠= ∴
Rt △DBC 中，有12BD DC =
，1
2
AD DC =∴． 3.解：∵OM=ON ，OP=OP ，∴Rt △OMP ≌Rt △ONP(HL)，∴∠MOP=∠NOP ，∴射线OP 是∠AOB 的
平分线．
4.证明：AD ∵是ABC △的角平分线， DE AB ⊥，DF AC ⊥，
DE DF =∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． ∴DEF DFE ∠=∠（等角对等边）．
90AED AFD ∠=∠= ∵（垂直定义），
AEF AFE ∠=∠∴（等角的余角相等）． AE AF =∴（等角对等边）
∴A ，D 在EF 的中垂线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分
线上）．
即AD 是EF 的中垂线．
四、1.解：猜想结论：AB AD BC +=，过D 作DE BC ⊥于E ．
BD ∵平分ABC ∠，90A ∠= ，AD DE =∴．
ABD EBD ∴△≌△，AB BE =∴． AB AC =∵，45C ∠= ∴，DE EC =∴． AD EC =∴，AB AD BC +=．
2.解：（1）如图所示．
（2）AEF △是等边三角形．
证明：AB AC =∵，120BAC ∠= ，30B C ∠=∠=
∴．
DE ∵垂直平分线AB ，EB EA =∴，
30BAE B ∠=∠= ∴，60AEF ∠=
∴．
同理可证60AFE ∠=
．AEF ∴△是等边三角形．
Ｄ
（3）因为点D 、G 分别是AB 、AC 的中点，所以DG 是中位线，则1
2
DG BC =． （4）AE BE =∵，AF FC =，
AEF ∴△的周长为：AE EF AF BE EF FC BC ++=++=． 又210cm BC DG ==∵．AEF ∴△的周长为10cm ．
选做题
1.ABC △中，2
2.5B ∠=
，60C ∠=
，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于F
，
BD =AE BC ⊥于E ，求EC 的长．
解：连结AD ．
DF ∵是AB 的垂直平分线，
AD BD =∴=
122.5B ∠=∠=
∴（等边对等角） 2145B ∠=∠+∠= ∴．
又AE BC ∵⊥，
3902904545∠=-∠=-= ∴，
∴ AE DE ∴=（等角对等边）
222DE AE AD +=∵（勾股定理）
222AE =∴，6AE =∴．
在R t ACE △中，60C ∠=
，430∠=
∴
2AC CE =∴（30 所对的直角边等于斜边的一半）
222AC EC AE -=∵（勾股定理）
222(2)CE CE AE -=∴，223CE AE =∴，
212CE =∴，CE =∴
2.如图，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC． 求证：CP 平分∠DCB．
证明：过点P 作PE⊥DC，垂足于E ， ∴3490A ===?∠∠∠， ∵PD 平分∠ADC，∴12=∠∠， ∴PA PE =，
A
D E C
B
P 2
1
4 3
∵P 为AB 的中点，
∴PA PB PE PB ==，， ∵90AD BC A =?，∥∠，
∴P 点在∠DCB 的平分线上． ∴CP 平分∠DCB．
3. CE BF ，分别是锐角三角形ABC 的ACB ∠，ABC ∠的平分线，AF BF ⊥于F ，
AE CE ⊥于E ，试说明：（1）EF BC ∥；（2）1
()2
EF AB AC BC =
+-．
提示：由于BF 是角平分线，且AF BF ⊥，所以延长AF 交BC 于N ，则有ABN △是等腰三角形，从而F 是AN 的中点，且AB BN =，同理E 是AM 的中点，且AC CM =，所以EF BC ∥，且11
()()22
EF BN CM CB AB AC BC =+-=+-．
备用题
1．如果三角形内的一点到三边的距离相等，则这点是（ ）C
A.是三条边中垂线的交点
B.是三角形三条边的中线的交点
C.是三角形三个内角平分线的交点
D.是三角形三条边上的高的交点 2.如图，△ABC 中，∠CAB =120o，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，则∠EAF 等于（ ）C
A ．40o
B ．50o
C ．60o
D ．80o
3.如果ABC △的边BC 的垂直平分线经过顶点A ，与BC 相交于点D ，且2AB AD =，则ABC △中必有一个内角的度数为（ ）D A ．45
B ．60
C ．90
D ．120
4.如图，Rt △ACB ，90C ∠=
，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ，则下列结论中不正确的是（ ）B A ．BD ED BC += B ．DE 平分ADB ∠
B
C ．A
D 平分EDC ∠ D ．ED AC AD +>
5.等腰三角形内有一点P 到底边的两端点距离相等，则连结顶点和P 的直线一定把底边 ．垂直平分
5.如图，在R t ABC △中，90B ∠=
，ED 垂直平分AC 交AC 于点D ，交BC 于点E ，已知:2:5EAB BAC ∠∠=，求C ∠的度数．
解：设2EAB x ∠=，则5BAC x ∠=，3C EAC x ∠=∠=∴．
而90C BAC ∠+∠=
，5390x x +=
∴，11.25x =
，33.75C ∠=
∴．
6.如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，且BD CD =． 求证：BE CF =．
证明：AD ∵是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥ DE DF =∴．（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
又BD CD =∵，Rt Rt HL DBE DCF ∴△≌△（） BE CF =∴．
7.如图，已知在△ABC 中，90C ∠=
，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB
⊥交AC 于E ．
求证：BE 平分ABC ∠．
Ｂ
Ａ
Ｃ
证明：D ∵是AB 的中点，1
2
BD AB =
∴， 2AB BC =∵，1
2
BC AB =
∴，BD BC =∴． 又∵DE AB ⊥，90C ∠= ，90C BDE ∠=∠=
∴，
又BE BE =，∴Rt △BDE ≌Rt △BCE （HL ）， DBE EBC ∠=∠∴，BE ∴平分ABC ∠．
角平分线性质定理之应用
三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明． 一、由角平分线的性质联想两线段相等
例1 如图1，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF
证明 连结DB ，DC ．
∵D 在∠A 的平分线上，∴DE=DF ．
∵D 在BC 的垂直平分线上，∴ 又∠BED=∠CFD=90°， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ．
例2 如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ 求证：∠A+∠C=180°．
证明 延长BA 至F ，使BF=BC ．由BD 在△FBD 与△CBD 中，BF=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD ∴△FBD ≌△CBD ，
∴∠C=∠F ，DF=CD=AD ，∠F=DAF ， ∴∠A+∠C=∠BAD+∠DAF=180°．
三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形
例3 已知：如图3，∠ABC 的平分线BF 与∠ACB 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，求证：BD+CE=DE ．
证明：∵BF 是∠ABC 的平分线 ∴∠DBF=∠CBF 又∵DE ∴∠DFB=∠CBF
∴∠DBF=∠DFB ∴BD=FD ，同理CE=FE ．
∴BD+CE=DF+FE=DE ． 四、实际生活中的应用
A D
B
C
E
图1-1
例4 如图4，有三条公路1l 、2l 、3l 两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？
解析：分别作△ABC
两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作△ABC 相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择．
．
角平分线携“截长补短”显精彩
角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补
短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1 如图1-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .
求证：CD =AD +BC .
分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，
只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.
证明：在CD 上截取CF =BC ，如图1-2 在△FCE 与△BCE 中，
??
?
??=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.
又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，
??
?
??∠=∠=∠=∠43DE
DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC . 例2 已知，如图2-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .
图4 A
D
B C
E F
1
23
4
图1-2
求证：∠BAP +∠BCP =180°.
分析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图2-2 ∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，
?
?
?==BP BP PD
PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .
∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,
??
?
??=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180° 例3 已知：如图3-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.
求证：AB =AC +CD .
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .
证明：方法一（补短法）
延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图3-2 ∴∠ACB ＝2∠E ，
∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,
??
?
??=∠=∠∠=∠AD AD E B 2
1 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）
在AB 上截取AF =AC ，如图3-3 在△AFD 与△ACD 中,
??
?
??=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .
上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体
A
B
C
D
P
12
N
图2-1
D
C
B A 12
图3-1
E
D
C
B A 12
图3-2
F
D
C
B
A 12
图3-3
P
12
N
A
B
C
D
E 图3-2
2-2
题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。
角平分线问题中的一题多解
如图1所示，在△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2。 求证：AB=AC ＋CD 。 证法一：截取法。就是在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等，然后证明另一段等于加法运算的另一条线段。
如图2所示，在AB 上截取AE=AC ，连结DE 。 在△AED 和△ACD 中
12AE AC AD AD =??
∠=∠??=?
所以△AED ≌△ACD ， 所以ED=CD ，∠3=∠C 。
因为∠3=∠B ＋∠4，∠C=2∠B ，
所以∠B=∠4， 所以BE=DE 。
所以AB=AE ＋BE=AC ＋DE=AC ＋CD 。
证法二、补短法。就是在较短的一条线段的基础上通过延长在截取的方法将求和的两条线段连结在一起。本种方法是延长AC ，再在延长线上截取CF=CD 。
如图3所示，延长AC 到点F ，使CF=CD ，连结DF 。 因为CF=CD ，
所以∠3=∠F 。
因为∠ACB=∠3＋∠F ，
所以∠ACB=2∠F 。 又因为∠ACB=2∠B ，
所以∠B=∠F 。 在△ABD 和△AFD 中 12B F AD AD ∠=∠??
∠=∠??=?
所以△ABD ≌△AFD ， 所以AB=AF 。
因为AF=AC ＋CF=AC ＋CD ， 所以AB= AC ＋CD 。
第三种方法：也是属于补短法，本种方法是延长DC ，再在延长线上截取CM=AC 。 证明：延长DC ，在DC 的延长线上截取CM=AC ，连结AM 。 因为因为CM=CA ， 所以∠3=∠M 。
因为∠ACB=∠3＋∠M ，
43
2
1E D C
B A 图2 3
21F
D C B A 图3
所以∠ACB=2∠M=2∠3。
又因为∠ACB=2∠B，
所以∠B=∠M=∠3，
所以AB=AM。
因为∠4=∠B＋∠1，∠DAM=∠2＋∠3，
∠1=∠2
所以∠4=∠DAM，
所以AM=DM=DC＋CM=DC＋AC，
所以AB=DC＋AC。
练习：如图5所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE ⊥AB于E，并且AB>AC。
求证：BE－AC=AE。
提示：可以将减法运算转化为加法运算，然后利用“截长”或者“补短”法解决问题。
4
3
2
1
M D C
B
A
图4
图3 F
E
D
C
B
A
图5
讲义 角平分线辅助线
人教版八年级上第十二章 全等三角形 12.7 角平分线辅助线添加方法 教师： 学生： 时间： 教学目标：学会解平面几何题常用辅助线作法——题中有角平线的时。 重难点：根据平面几何题中有角平分线时——采用相对应的辅助作法。 知识回顾与新知识准备 【回顾要点】 角平分线的性质： 1、 2、 3、 【新知识】 角平分线辅助线添加1：角分线上点向角两边作垂线构全等 【知识要点】 角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上 的点到两边距离相等的性质来证明问题。 【典型例题】 【例1】如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD A B C D
1、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想， 2、如图，已知∠B=∠C=90。，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，探究线段BM与CM的关系，说明理由。 【例2】如图，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上一点，且∠EDF＋∠BAF=180°，求证：DE=DF. 举一反三：如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG. 角平分线辅助线添加方法2------截取构全等 E B A C D B C M A D
【知识要点】 截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ， 从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 【典型例题】 【例1 方法2】如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD 图1-1 O A B D E F C A B C D
材料科学基础习题及答案
习题课
一、判断正误 正确的在括号内画“√”，错误的画“×” 1、金属中典型的空间点阵有体心立方、面心立方和密排六方三种。 2、位错滑移时，作用在位错线上的力F的方向永远垂直于位错线并指向滑移面上的未滑移区。 3、只有置换固溶体的两个组元之间才能无限互溶，间隙固溶体则不能。 4、金属结晶时，原子从液相无序排列到固相有序排列，使体系熵值减小，因此是一个自发过程。 5、固溶体凝固形核的必要条件同样是ΔG＜0、结构起伏和能量起伏。 6三元相图垂直截面的两相区内不适用杠杆定律。 7物质的扩散方向总是与浓度梯度的方向相反。 8塑性变形时，滑移面总是晶体的密排面，滑移方向也总是密排方向。 9．晶格常数是晶胞中两相邻原子的中心距。 10．具有软取向的滑移系比较容易滑移，是因为外力在在该滑移系具有较大的分切应力值。11．面心立方金属的滑移面是｛１１０｝滑移方向是〈１１１〉。 12．固溶强化的主要原因之一是溶质原子被吸附在位错附近，降低了位错的易动性。13．经热加工后的金属性能比铸态的好。 14．过共析钢的室温组织是铁素体和二次渗碳体。 15．固溶体合金结晶的过程中，结晶出的固相成份和液相成份不同，故必然产生晶内偏析。16．塑性变形后的金属经回复退火可使其性能恢复到变形前的水平。 17．非匀质形核时液体内部已有的固态质点即是非均匀形核的晶核。 18.目前工业生产中一切强化金属材料的方法都是旨在增大位错运动的阻力。 19、铁素体是α-Fe中的间隙固溶体，强度、硬度不高，塑性、韧性很好。 20、体心立方晶格和面心立方晶格的金属都有12个滑移系，在相同条件下,它们的塑性也相同。 21、珠光体是铁与碳的化合物，所以强度、硬度比铁素体高而塑性比铁素体差。 22、金属结晶时，晶粒大小与过冷度有很大的关系。过冷度大，晶粒越细。 23、固溶体合金平衡结晶时，结晶出的固相成分总是和剩余液相不同，但结晶后固溶体成分是均匀的。 24、面心立方的致密度为0.74，体心立方的致密度为0.68，因此碳在γ-Fe(面心立方)中的溶解度比在α-Fe（体心立方）的小。 25、实际金属总是在过冷的情况下结晶的，但同一金属结晶时的过冷度为一个恒定值，它与冷却速度无关。 26、金属的临界分切应力是由金属本身决定的，与外力无关。 27、一根曲折的位错线不可能是纯位错。 28、适当的再结晶退火，可以获得细小的均匀的晶粒，因此可以利用再结晶退火使得铸锭的组织细化。 29、冷变形后的金属在再结晶以上温度加热时将依次发生回复、再结晶、二次再结晶和晶粒长大的过程。 30、临界变形程度是指金属在临界分切应力下发生变形的程度。 31、无限固溶体一定是置换固溶体。 32、金属在冷变形后可形成带状组织。 33、金属铅在室温下进行塑性成型属于冷加工，金属钨在1000℃下进行塑性变形属于热加工。
第五版《大学计算机基础》思考题及答案
大学计算机基础思考题 第一章计算机与信息社会 1. 计算机的发展经历了哪几个阶段？各阶段的主要特征是什么？ 第一代电子计算机——电子管 第二代电子计算机——晶体管电路 第三代电子计算机——集成电路 第四代电子计算机——大规模集成电路 2. 按综合性能指标，计算机一般分为哪几类？ 1 高性能计算机 2 微型计算机（个人计算机） 3 工作站 4 服务器 5 嵌入式计算机 3. 信息与数据的区别是什么？ 数据是信息的载体。信息有意义，而数据没有。但当数据以某种形式经过处理、描述或与其他数据比较时，便赋予了意义。 第二章计算机系统 1. 简述计算机执行指令的过程。 1）取指令2）分析指令3）执行指令4）一条指令执行完成，程序计数器加1，然后回到1）。 2. 存储器的容量单位有哪些？若内存的大小为512MB，则它有多少个字节？ 单位：B KB MB GB TB 512MB＝512×1024×1024 B 3. 指令和程序有什么区别？ 指令是能被计算机识别并执行的一串二进制代码，它规定了计算机能完成的某一种操作。 程序是由一系列指令组成的。 4. 简述机器语言、汇编语言、高级语言各自的特点。 （1）机器语言是由二进制代码0和1按一定规则组成的、能被机器直接理解和执行的指令集合。 （2）汇编语言是使用一些反应指令功能的助记符代替机器语言的符号语言（3）高级语言是一种接近于自然语言和数学公式的程序设计语言。
5．计算机的硬件系统由哪几部分构成？主机主要包括了哪些部件？ 硬件系统由主机和外部设备组成，主机主要包括中央处理器（CPU）和内存，外部设备包括输入设备、输出设备和外存。 6．衡量CPU性能的主要技术指标有哪些？ （1）CPU字长，CPU内部各寄存器之间一次能够传递的数据位，即在单位时间内能一次处理的二进制的位数。 （2）位宽，CPU通过外部总线与外部设备之间一次能够传递的数据位。 （3）x位CPU，通常用CPU的字长和位宽来称呼CPU （4）CPU外频，即CPU总线频率，是由主板为CPU提供的基准时钟频率 （5）CPU主频，也叫工作频率，是CPU内核电路的实际运行频率。 （6）CPU的生产工艺技术，通常用微米来描述，精度越高表示生产工艺越先进。 7. 内存和外存有什么区别？若内存大小为1G，则它有多少个字节？ 内存和外存有很多不同之处： 1）内存可以直接被CPU访问，外存不能直接被CPU访问 2）内存信息是暂时的，外存信息可以永久保存的 3）相对来说，内存容量小价格高，外存容量大价格低 4）内存速度快，内存速度慢。 1G＝1024×1024×1024 B 8. 系统主板主要包括了哪些部件？ CPU插座、控制芯片组、BIOS芯片、内存内插槽、各种接口、AGP总线扩展槽、PCI扩展槽。 9．微型计算机的内部存储器按其功能特征可分为几类？各有什么区别？ (1)随机存取存储器(Random Access Memory,简称RAM)。RAM通常指计算机主存，使用动态随机存储器，制作成内存条形式出现。CPU对它们既可读出又可写入数据。 (2)只读存储器（Read Only Memory,简称ROM）。CPU对他们只取不存，其信息用户无法修改。断电时信息不会丢失。ROM中一般存放计算机系统管理程序。 (3)高速缓冲存储器Cache，是介于CPU和内存之间的一种课高速存取信息的芯片，用于解决它们之间的速度冲突问题。 10．高速缓冲存储器的作用是什么？ 高速缓冲存储器是CPU和RAM之间的桥梁，用于解决他们之间的速度冲突问题。
几何辅助线之角平分线专题
几何辅助线之角平分线专题1、角平分线辅助线四种基本模型 已知：AD是∠BOC的角平分线 （1）（2） （3）（4） 2、补充性质： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC
典型例题 例1、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB 例2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点. 例3、如图，AB=2AC，∠BAD=∠DAC,DA=DB ，求证：DC⊥AC。
B 例4、如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ， F ．求证：AD 垂直平分EF ． 例5、 如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH 例6、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E ，求证： BD ＝2CE 。
例7、如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。 变式练习 请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题： ⑴如图，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断写出FE与FD之间的数量关系； ⑵如图，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由。
一 遇角平分线常用辅助线
第一章 遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法： 一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线 ，补得等腰现 例1．已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求AC ． 邦德点拨：过点D 作DE ⊥AB ，则DE=CD ，AE=AC ， 再利用方程思想、勾股定理解AC ． B E D C
练习1：已知如图，P 为△ABC 两外角∠DBC 和∠ECB 平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC ． 例2．已知如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD ． 邦德点拨：在BC 上截取BF=BA ，问题转化为证CF=CD ． 练习2．已知如图，AD 是△ABC 的内角平分线，P 是AD 上异 A B C E D P A P C B E D A F B
于点A的任意一点，，试比较PB-PC与AC-AB的大小，并说明理由．
例3．已知如图，在△ABC 中（AB AC ），D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC ． 邦德点拨：过C 点作AB 平行线交AE 延长线于点G ， 则∠G=∠BAE ，接下只需证∠G=∠CAE ． 练习3．已知如图，过△ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线，交AB 、BC 及CA 的延长线于点E 、D 、F ．求证：BE=CF ． A E F B C D G F A E B C G D
材料科学基础习题与答案
- 第二章 思考题与例题 1. 离子键、共价键、分子键和金属键的特点，并解释金属键结合的固体材料的密度比离子键或共价键固体高的原因 2. 从结构、性能等方面描述晶体与非晶体的区别。 3. 何谓理想晶体何谓单晶、多晶、晶粒及亚晶为什么单晶体成各向异性而多晶体一般情况下不显示各向异性何谓空间点阵、晶体结构及晶胞晶胞有哪些重要的特征参数 4. 比较三种典型晶体结构的特征。（Al 、α-Fe 、Mg 三种材料属何种晶体结构描述它们的晶体结构特征并比较它们塑性的好坏并解释。）何谓配位数何谓致密度金属中常见的三种晶体结构从原子排列紧密程度等方面比较有何异同 5. 固溶体和中间相的类型、特点和性能。何谓间隙固溶体它与间隙相、间隙化合物之间有何区别（以金属为基的）固溶体与中间相的主要差异（如结构、键性、性能）是什么 6. 已知Cu 的原子直径为A ，求Cu 的晶格常数，并计算1mm 3Cu 的原子数。 （ 7. 已知Al 相对原子质量Ar （Al ）=，原子半径γ=，求Al 晶体的密度。 8 bcc 铁的单位晶胞体积，在912℃时是；fcc 铁在相同温度时其单位晶胞体积是。当铁由 bcc 转变为fcc 时，其密度改变的百分比为多少 9. 何谓金属化合物常见金属化合物有几类影响它们形成和结构的主要因素是什么其性能如何 10. 在面心立方晶胞中画出[012]和[123]晶向。在面心立方晶胞中画出（012）和（123）晶面。 11. 设晶面（152）和（034）属六方晶系的正交坐标表述，试给出其四轴坐标的表示。反之，求（3121）及（2112）的正交坐标的表示。（练习），上题中均改为相应晶向指数，求相互转换后结果。 12.在一个立方晶胞中确定6个表面面心位置的坐标，6个面心构成一个正八面体，指出这个八面体各个表面的晶面指数，各个棱边和对角线的晶向指数。 13. 写出立方晶系的{110}、{100}、{111}、{112}晶面族包括的等价晶面，请分别画出。
遇角平分线常用辅助线
第一章遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线，补得等腰现
练习1：已知如图，P为△ABC两外角∠DBC和∠ECB平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC．
例3．已知如图，在△ABC中（AB≠AC），D、E在BC上，且DE=EC，过D作
例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC, ∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ； （2）ED=2 1（AB+AC+BC ）． 邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形． 练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ． 【homework 】 1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如 果BC=6，求△DEF 周长． 2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ． A D E C B A E D F G C B A D F E C B
B C A D
3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=2 1(AB-AC)． 4．如图，ABC ?中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ． 5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD ． A B H D C A E C M B D A E B D C
材料科学基础课后习题答案第二章
第2章习题 2-1 a ）试证明均匀形核时，形成临界晶粒的△ G K 与其临界晶核体积 V K 之间的关系式为 2 G V ； b ）当非均匀形核形成球冠形晶核时，其△ 所以 所以 2-2如果临界晶核是边长为 a 的正方体，试求出其厶G K 与a 的关系。为什么形成立方体晶核 的厶G K 比球形晶核要大？ 解：形核时的吉布斯自由能变化为 a ）证明因为临界晶核半径 r K 临界晶核形成功 G K 16 故临界晶核的体积 V K 4 r ； G V )2 2 G K G V b ）当非均匀形核形成球冠形晶核时, 非 r K 2 SL G V 临界晶核形成功 3 3( G ；7(2 3cos 3 cos 故临界晶核的体积 V K 3（r 非）3（2 3 3cos 3 cos V K G V 1 ( 3 卸2 3 3cos cos )G V 3 3(書 (2 3cos cos 3 ) G K % G K 与V K 之间的关系如何? G K
G V G v A a3G v 6a2 3 得临界晶核边长a K G V
临界形核功 将两式相比较 可见形成球形晶核得临界形核功仅为形成立方形晶核的 1/2。 2-3为什么金属结晶时一定要有过冷度？影响过冷度的因素是什么？固态金属熔化时是否 会出现过热？为什么？ 答：金属结晶时要有过冷度是相变热力学条件所需求的， 只有△ T>0时，才能造成固相的自 由能低于液相的自由能的条件，液固相间的自由能差便是结晶的驱动力。 金属结晶需在一定的过冷度下进行，是因为结晶时表面能增加造成阻力。固态金属熔 化时是否会出现过热现象，需要看熔化时表面能的变化。如果熔化前后表面能是降低的， 则 不需要过热；反之，则可能出现过热。 如果熔化时，液相与气相接触，当有少量液体金属在固体表面形成时，就会很快覆盖 在整个固体表面(因为液态金属总是润湿其同种固体金属 )。熔化时表面自由能的变化为： G 表面 G 终态 G 始态 A( GL SL SG ) 式中G 始态表示金属熔化前的表面自由能； G 终态表示当在少量液体金属在固体金属表面形成 时的表面自由能；A 表示液态金属润湿固态金属表面的面积；b GL 、CSL 、CSG 分别表示气液相 比表面能、固液相比表面能、固气相比表面能。因为液态金属总是润湿其同种固体金属，根 据润湿时表面张力之间的关系式可写出：b SG 》6GL + (SL 。这说明在熔化时，表面自由能的变 化厶G 表w o ,即不存在表面能障碍，也就不必过热。实际金属多属于这种情况。如果固体 16 3 3( G v )2 1 32 3 6 2 (G v )2 b K t K 4 G V )3 G V 6( 4 G v )2 64 3 96 3 32 r K 2 ~G ?， 球形核胚的临界形核功 (G v )2 (G v )2 (G v )2 G b K 2 G v )3 16 3( G v )2
2017大学计算机基础答案
2017大学计算机基础答案 电子计算机的诞生 1 物理器件采用晶体管的计算机称为第（）代计算机。 A 、一 B 、二 C 、三 D 、四 正确答案：B 2 时至今日，计算机仍采用存储程序原理，原理的提出者是（）。 A 、莫尔 B 、冯. 诺依曼 C 、比尔. 盖茨 D 、图灵 正确答案：B 3 计算机科学的奠基人是（）。 A 、查尔斯巴贝奇 B 、莫奇利和埃克特 C 、阿兰. 图灵 D 、冯. 诺依曼 正确答案：C 4 世界上第一台电子计算机诞生于（）年。 A 、1939 B、1946 C、1952 D、1958 正确答案：B 5 计算机的发展经历了 4 个时代，各个时代划分的原则是根据（）。 A 、计算机所采用的电子器件 B 、计算机的运算速度 C 、程序设计语言 D 、计算机的存储量 正确答案：A 6 （）是现代计算机的雏形。 A 、查尔斯巴贝奇于 1834 年设计的分析机 B 、宾夕法尼亚大学于 1946 年 2 月研制的 ENIAC C 、冯. 诺依曼小组研制的 EDVAC D、阿兰. 图灵建立的图灵机模型 正确答案：A 计算机系统的发展 1 下列（）是衡量微处理器的主要指标。 A 、主频 B 、字长 C 、速度 D 、工艺正确答案：A ， C 2 计算机系统的发展趋势不包括（）。 A 、巨型化 B 、微型化 C 、智能化 D 、复合化正确答案：D 3 将 CPU 集成在一块芯片上所形成的元器件称为（） A 、微处理器 B 、ROM C、CMOS D、Cache 正确答案：A 4 下列（）不属于输入设备。 A 、扫描仪 B 、键盘 C 、硬盘 D 、体感设备正确答案：C
专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法
专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法 类型之一线段垂直平分线的辅助线作法 1．如图4－ZT－1，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB ＋BC＝BE，则∠B的度数是() A．45°B．60°C．50°D．55° 图4－ZT－1 2．如图4－ZT－2，AB＋AC＝7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为________． 图4－ZT－2 3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接OB，OC，若∠BAC等于84°，求∠OBC的度数． 图4－ZT－3 4．如图4－ZT－4，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC交于点F，求∠A的度数．
图4－ZT－4 类型之二角平分线的辅助线作法 5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且DC＝8 cm，则点D到AB的距离是() A．16 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 图4－ZT－5 6．如图4－ZT－6，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于() A．10 B．7 C．5 D．4 图4－ZT－6 类型之三线段垂直平分线和角平分线综合运用的辅助线作法 7．如图4－ZT－7所示，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB 和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，试说明：BE＝EF＝FC(提示：三个内角相等的三角
材料科学基础习题要点
查看文本 习题 一、名词解释 金属键; 结构起伏; 固溶体; 枝晶偏析; 奥氏体; 加工硬化; 离异共晶; 成分过冷; 热加工; 反应扩散 二、画图 1在简单立方晶胞中绘出（）、（210）晶面及[、[210]晶向。 2结合Fe-Fe3C相图，分别画出纯铁经930℃和800℃渗碳后，试棒的成分－距离曲线示意图。 3如下图所示，将一锲形铜片置于间距恒定的两轧辊间轧制。试画出轧制后铜片经再结晶后晶粒大小沿片长方向变化的示意图。 4画出简单立方晶体中（100）面上柏氏矢量为［010］的刃型位错与（001）面上柏氏矢量为［010］的刃型位错交割前后的示意图。 5画图说明成分过冷的形成。 三、Fe-Fe3C相图分析 1用组织组成物填写相图。 2指出在ECF和PSK水平线上发生何种反应并写出反应式。 3计算相图中二次渗碳体和三次渗碳体可能的最大含量。 四、简答题 1已知某铁碳合金，其组成相为铁素体和渗碳体，铁素体占82%，试求该合金的含碳量和组织组成物的相对量。 2什么是单滑移、多滑移、交滑移？三者的滑移线各有什么特征，如何解释？。 3设原子为刚球，在原子直径不变的情况下，试计算g-Fe转变为a-Fe时的体积膨胀率;如果测得910℃时g-Fe和a-Fe的点阵常数分别为0.3633nm和0.2892nm,试计算g-Fe转变为a-Fe的真实膨胀率。 4间隙固溶体与间隙化合物有何异同？ 5可否说扩散定律实际上只有一个？为什么？ 五、论述题 τC 结合右图所示的τC（晶体强度）—ρ位错密度 关系曲线，分析强化金属材料的方法及其机制。 晶须 冷塑变 六、拓展题 1 画出一个刃型位错环及其与柏士矢量的关系。 2用金相方法如何鉴别滑移和孪生变形？ 3 固态相变为何易于在晶体缺陷处形核？ 4 画出面心立方晶体中(225)晶面上的原子排列图。 综合题一：材料的结构 1 谈谈你对材料学科和材料科学的认识。 2 金属键与其它结合键有何不同，如何解释金属的某些特性？ 3 说明空间点阵、晶体结构、晶胞三者之间的关系。 4 晶向指数和晶面指数的标定有何不同？其中有何须注意的问题？ 5 画出三种典型晶胞结构示意图，其表示符号、原子数、配位数、致密度各是什么？ 6 碳原子易进入a-铁，还是b-铁，如何解释？ 7 研究晶体缺陷有何意义？ 8 点缺陷主要有几种？为何说点缺陷是热力学平衡的缺陷？
《材料科学基础》习题与思考题电子教案
《材料科学基础》习题与思考题
《材料科学基础教程》复习题与思考题 一、选择与填空 1-1下列组织中的哪一个可能不是亚稳态，即平衡态组织？ a）马氏体+残余奥氏体b）上贝氏体c）铁素体+珠光体d）奥氏体+贝氏体 1-2下列组织中的哪一个可能不是亚稳态？ a）铁碳合金中的马氏体b）铁碳合金中的珠光体+铁素体 c）铝铜合金中的a +GPZ d铁碳合金中的奥氏体+贝氏体 1-3单相固溶体在非平衡凝固过程中会形成成分偏析： a）若冷却速度越大，则成分偏析的倾向越大； b）若过冷度越大，则成分偏析的倾向越大； c）若两组元熔点相差越大，则成分偏析的倾向越小； d）若固相线和液相线距离越近，贝U成分偏析的倾向越小。 1-4有两要平等右螺旋位错，各自的能量都为E1，当它们无限靠近时，总能量为—a）2E1 b） 0 c） 4E1 1-13两根具有反向柏氏矢量的刃型位错在一个原子面间隔的两个平行滑移面上相向运动以后，在相遇处___________ 。 a）相互抵消b）形成一排间隙原子c）形成一排空位 1-15位错运动方向处处垂直于位错线，在运动过程中是可变的，晶体做相对滑动的方向—。 a）随位错线运动方向而改变b）始终是柏氏矢量方向c）始终是外力方向 1-16位错线张力是以单位长度位错线能量来表示，则一定长度位错的线张力具有— 纲。 a）长度的b）力的c）能量的 1-17位错线上的割阶一般通过—形成。
a）位错的交割b）共格界面c）小角度晶界 1-7位错上的割阶一般通过 _形成。 a）孪生b）位错的交滑移c）位错的交割 1-23刃形位错的割阶部分—。 a）为刃形位错b）为螺形位错c）为混合位错 1-24面心立方晶体中Frank不全位错最通常的运动方式是 _。 a）沿｛111｝面滑移b）沿垂直于｛111｝的面滑移c）沿｛111｝面攀移 1-25位错塞积群的一个重要效应是在它的前端引起______ 。 a）应力偏转b）应力松弛c）应力集中 1-26面心立方晶体中关于Shcockley分位错的话，正确的是_____ 。 a）Shcockle y分位错可以是刃型、螺型或混合型； b）刃型Shcockley分位错能滑移和攀移； c）螺型Shcockley分位错能交滑移。 1-27汤普森四面体中罗-罗向量、不对应罗-希向量、希-希向量分别有个。 a）12, 24, 8，12 b）24, 24, 8，12 c）12，24, 8，6 1-32 ______ ，位错滑移的派—纳力越小。 a）相邻位错的距离越大b）滑移方向上的原子间距越大c）位错宽度越大 1 —33层错和不全位错之间的关系是__ 。 a）层错和不全位错交替出现；b）层错和不全位错能量相同； c）层错能越高，不全位错柏氏矢量模越小；d）不全位错总是出现在层错和完整晶体的交界处。 1 —34位错交割后原来的位错线成为折线，若—。
等腰三角形常用辅助线专题练习含答案
等腰三角形常用辅助线专题练习 （含答案） 1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。 证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。∵AB=AC，AD=AE 又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。∴BD=CE. 2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由 解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．
解法2： 过A点作△ABC底边上的高， 再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE 3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。 证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=
∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形． 4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC; 若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。 若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。 5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD. 证明：连接AC,AD ∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)
角平分线辅助线专题练习
D A B C 角平分线专题 1、 轴对称性： 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图， 2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。 4、 补充性质：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则有AB:AC=BD:DC 针对性例题： 例题1：如图，AB=2AC ,∠BAD=∠DAC,DA=DB 求证：DC ⊥AC
B 例题2：如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH 例题3：如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．： 思路一：利用“角平分线的对称性”来构造 因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有 角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形． 证法1：如图1，在BC 上取BE=AB ，连结DE ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠A=∠DBE ，AD=DE ，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC ，DE=DC ， 则AD=DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ， 连结DE ，由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△EBF ，则AB=BE ， BD 平分∠ABC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴AD=ED ，∠BAD=∠DEB ，又∠BAD+∠C=1800， ∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC ，则DE=DC ，∴AD=DC ． 说明：证法1，2，都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的． 证法3：如图3，延长BA 至E ，使BE=BC ，连结DE ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠C=∠E ，CD=DE ，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800， ∴∠E=∠DAE ，DE=DA ，则AD=DC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的． B A C D E 图1 B A C D E F 图2 B A C D E 图3
大学计算机基础思考题
大学计算机基础思考题 1.在计算机运行过程中，五大部件是如何协调工作的？P10 当控制器要执行指令时，先向内存发出地址码，从指定的内存单元中读取要执行的指令送入控制器，进行译码和分析；根据指令的功能，再将操作控制信号发送到相关的部件（输入设备、运算器或输出设备） 当输入设备输入数据（程序、命令）时，先由输入设备组织数据，当一个数据准备完毕时，向控制器提出输入请求。当控制器执行到输入命令时，根据指令中的内存地址，将接收到的数据或程序存储到内存中。当输入设备空闲（就绪）或忙于输入数据是，将相应的状态反馈给控制器。 当运算器接收到运算指令时，先根据指令中的内存地址取出操作数，然后进行运算，最后再根据指令中的目标内存地址保存运算结果。在运算过程中，将运算器的某些状态信息（如运算正常完成、产生进位或溢出等）反馈给控制器，为进一步的操作提供参考依据。 当输出设备空闲（就绪）时，先向控制器发出输出请求，随后等待控制器发布输出指令，当控制器执行到输出指令时，根据指令中的内存地址取出数据发送给输出设备。当输出设备正忙于输出数据或发生故障时，将相应的状态反馈给控制器，以便控制器作进一步处理。 2.计算机哪些是串行接口，哪些是并行接口？串行：RS—232，USB接口，IEEE1394接口SATA接口并行：LPT/Parallel，IDE接口 3.BIOS与CMOS的作用及关联是什么？ BIOS作用：(1)自检测程序（2）系统启动自举程序（3）系统设置程序（4）中
断例程 CMOS：用于保存用户通过BIOS系统设置程序配置的系统日期及时间、开机密码和某些硬件参数等信息。 BIOS中有系统设置程序即CMOS设置程序，其中的一些信息保存在CMOS中4.主板上北桥芯片和南桥芯片各自作用是什么？ 北桥：提高通信性能，协助CPU对内存储器、显示器、PCI插槽等进行管理 南桥：主要协助CPU对键盘控制器、USB、磁盘驱动器和电源管理器等进行管理 5.多道批处理系统和分时系统有哪些异同点？ 多道批处理系统和分时系统都是宏观上同时执行多个程序。在多道批处理系统中，一个程序一旦得到CPU，在执行I/O操作或程序结束之前一直占用CPU，没有时间限制；而在分时系统中，除了I/O操作或程序结束时释放CPU外还有时间片的限制 6.OSI参考模型与TCP/IP体系结构有哪些异同点？ TCP/IP中网络接口层对应OSI模型中的物理层和数据链路层，应用层对应OSI 模型中的应用层，表示层，会话层。而且TCP/IP体系中网络层核心是网际协议，应用层有协议。OSI模型中，通信协议在应用层 7.顺序存储结构和链式存储结构各自的优缺点是什么？ 顺序存储结构的优点是每个节点占用存储空间最少；缺点是当数据元素很多时，可能找不到一块足够大的连续存储单元，不能很好地利用空闲存储单元，容易产生碎片。链式存储结构优点是充分利用空闲存储单元；缺点是需要保存每个节点的指针，占用较多的存储单元
角平分线垂直平分线及辅助线专题
角平分线垂直平分线及辅助线专题
1在ABC V 中，90C ∠=°，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，且4BE cm =，5BD cm =则，BC =＿＿＿＿＿＿＿ 2.如图，已知,AC BC AD ⊥平分,BAC DE AB ∠⊥，下列结论正确的是（ ） A BD+ED=BC B DE 平分ADB ∠ C DA 平分EDC ∠ D D E AC AD +> 3.如图ABC V 中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，若10,6BC BD ==，则点D 到AB 的距离是 4.如图所示，ABC V 中，90C ∠=°，,AC BC AD =平分CAB ∠，交BC 与点D ，DE AB ⊥垂足与E ，且6AB cm =，则DEB V 的周长为＿＿＿＿ 5.在ABC V 中，90ACB ∠=°，4,3AC BC ==，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，若 DE AB ⊥，垂足为E ，求BDE V 的周长
于F，垂足为N，求EAF 的度数 10. 中，和分别是边AB和的垂直平分线，，则的周长 V V =8 ABC DE FG AC BC EAG 11.ABC V中，AB边的垂直平分线交BC于E，垂足为M，AC边的垂直平分线交BC于F，垂足为N， BC=12，求EAF V的周长 12.在ABC ，，AB的垂直平分线，与边V中，AB=AC DE BC所在的直线相交所成锐角为50°，
ABC B V的底角的大小为 ∠ 13.在ABC ，°， ∠ V中，AB=AC A=50 AB的垂直平分线DE交AC于 点D，垂足为E，则DBC ∠的度数是 14.如 图，在 ABC BC=8AB AB D AC V中，，的垂直平分线交于点，交边于点 cm ，BCE V的周长等于18cm,则AC 的长等于＿＿＿＿＿＿ 15.如图， ABC AB=AC DE AB AB=8BC=436 V中，，是的垂直平分线，，，°，则 ∠ ∠＿＿＿＿＿＿BDC DBC= V的周长为＿＿＿＿＿
大学计算机基础试题及答案(完整版)
大学计算机基础模拟题 一、单选题 1、完整的计算机系统由（C）组成。 A、运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备 B、主机和外部设备 C、硬件系统和软件系统 D、主机箱、显示器、键盘、鼠标、打印机 2、以下软件中，（D）不是操作系统软件。 A、Windowsxp B、unix C、linux D、microsoft office 3、用一个字节最多能编出（D）不同的码。 A. 8个 B. 16个 C. 128个 D. 256个 4、任何程序都必须加载到（C）中才能被CPU执行。 A. 磁盘 B. 硬盘 C. 内存 D. 外存 5、下列设备中，属于输出设备的是（A）。 A、显示器 B、键盘 C、鼠标 D、手字板 6、计算机信息计量单位中的K代表（B）。 A. 102 B. 210 C. 103 D. 28 7、RAM代表的是（C）。
A. 只读存储器 B. 高速缓存器 C. 随机存储器 D. 软盘存储器 8、组成计算机的CPU的两大部件是（A）。 A、运算器和控制器 B. 控制器和寄存器 C、运算器和内存 D. 控制器和内存 9、在描述信息传输中bps表示的是（D）。 A、每秒传输的字节数 B、每秒传输的指令数 C、每秒传输的字数 D、每秒传输的位数 10、微型计算机的内存容量主要指（A ）的容量。 A.RAM B.ROM C.CMOS D.Cache 11、十进制数27对应的二进制数为( D )。 A.1011 B. 1100 C. 10111 D. 11011 12、Windows的目录结构采用的是（A）。 A、树形结构 B、线形结构 C、层次结构 D、网状结构 13、将回收站中的文件还原时，被还原的文件将回到（D）。 A、桌面上 B、“我的文档”中 C、内存中 D、被删除的位置
一遇角平分线常用辅助线
邦德点拨：过点 D 作 DEL AB 」DE=CD AE=AC 再利用方程思想、勾股定理解 AC. 练习1:已知如图，P ABC 两外角/ DBC 和/ ECB 平分线的交点，求证: ?角边相等，可造全等 在角的两边取相等线段，可得全等三角形. 如图，若 0P 为/ AOB 角平分线，可在 0B 上取OF=OE 则可用结论有：（1）证得△ 0卩瞪厶OPE 第一章 遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法: ?点在平分线，可作垂两边 ?角边相等，可造全等 ?平分加平行，可得等腰形 四?平分加垂线，补得等腰现 ?点在平分线，可作垂两边 例1 ?已知如图, O 在厶 ABC 中，/ C=90 °，AD 平分/ CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求 AC . AP 平 C . BA D A A B D E C C
(2) 证得PF=PE OF=OE (3)证得/ PFO=Z PEO / OPF=/ OPE 例2.已知如图，AB//CD , BE平分/ ABC, CE平分/ BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD 邦德点拨：在BC上截取BF=BA问题转化为证CF=CD 练习2.已知如图，AD是厶ABC的内角平分线，P是AD上异于点与AC- AB的大小，并说明理由. 三?平分加平行，可得等腰形 1?过角平分线上一点，作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相 似； 则可用结论有：（1）证得△ OEF是等腰三角形； 1 （2）证得/ E=^ / AOB A B F C P A 的任意一点，E，试 如图，若OP为/ AOB平分线，过直线OB上一点E，作OP平行线交OA于点F，
材料科学基础习题答案_整理版
2-1 名词解释：配位数与配位体，同质多晶与多晶转变，位移性转变与重建性转变，晶体场理论与配位场理论 答：配位数：晶体结构中与一个离子直接相邻的异号离子数。 配位体：晶体结构中与某一个阳离子直接相邻、形成配位关系的各个阴离子中心连线所构成的多面体。 同质多晶：同一化学组成在不同外界条件下（温度、压力、pH值等），结晶成为两种以上不同结构晶体的现象 多晶转变：当外界条件改变到一定程度时，各种变体之间发生结构转变，从一种变体转变成为另一种变体的现象 位移性转变：不打开任何键，也不改变原子最邻近的配位数，仅仅使结构发生畸变，原子从原来位置发生少许位移，使次级配位有所改变的一种多晶转变形式 重建性转变：破坏原有原子间化学键，改变原子最邻近配位数，使晶体结构完全改变原样的一种多晶转变形式。 晶体场理论：认为在晶体结构中，中心阳离子与配位体之间是离子键，不存在电子轨道的重迭，并将配位体作为点电荷来处理的理论。 配位场理论：除了考虑到由配位体所引起的纯静电效应以外，还考虑了 共价成键的效应的理论。 2-2 面排列密度的定义为：在平面上球体所占的面积分数。 （a）画出MgO（NaCl型）晶体（111）（110）和（100）晶面上的原子排布（b ）计算这三面的面排列密度 解：MgO晶体中O2-做紧密堆积，Mg2+填充在八面体空隙中。 （a）（111）（110）和（100）晶面上的氧离子排布情况如图2-1所示。 （b）在面心立方紧密堆积的单位晶胞中， （111）面：面排列密度 = （110）面：面排列密度 = （100）面：面排列密度 = 2-4 设原子半径为R，试计算体心立方堆积结构的（100）、（110）、（111）面的面排列密度和晶面族的面间距。解：在体心立方堆积结构中： （100）面：面排列密度 = 面间距 = （110）面：面排列密度 = 面间距 = （111）面：面排列密度 = 面间距 = 2-8 试根据原子半径R计算面心立方晶胞、六方晶胞、体心立方晶胞的体积。 解：面心立方晶胞： 六方晶胞（1/3）： 体心立方晶胞： 2-9 MgO具有NaCl结构。根据O2-半径为0.140nm和Mg2+半径为0.072nm，计算球状离子所占据的体积分数和计算MgO的密度。并说明为什么其体积分数小于74.05%？ 解：在MgO晶体中，正负离子直接相邻，a0=2(r++r-)=0.424(nm) 体积分数=4×(4π/3)×(0.143+0.0723)/0.4243=68.52% 密度=4×(24.3+16)/[6.023×1023×(0.424×10-7)3]=3.5112(g/cm3) MgO体积分数小于74.05%，原因在于r+/r-=0.072/0.14=0.4235>0.414，正负离子紧密接触，而负离子之间不直接接触，即正离子将负离子形成的八面体空隙撑开了，负离子不再是紧密堆积，所以其体积分数小于等径球体紧密堆积的体积分数74.05%。