2 数学文-沭阳县2012-2013学年高二下学期期中调研测试数学(文)试题

2012～2013学年度第二学期高二年级调研测试

数学试题（文科）

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）．本卷满分为160分，考

试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及

答题卡的相应位置．

3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作

答一律无效．

4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．）

1．若集合{}{}{}0,,2,3,3A m

B A B ===I ，则实数=m ▲ ．

2．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n 是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是 ▲ ． 3．函数0

(4)

2

x y x -=

+的定义域为 ▲ ．

4．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“ ▲ ”．

5．已知复数22

(815)(918)i z m m m m =-++-+为纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ．

6．已知函数33(0)()log (0)x

x f x x x ?≤?=?>??

，则1()4f f ?

?-????= ▲ ．

7．已知集合{}3

(,)

1,,,(,)2,,4y A x y x R y R B x y y ax x R y R x ?

-?

==∈∈==+∈∈??-?

?

，若A B ?=?，则实数a 的值为 ▲ ．

8．已知方程3log

5x x =-的解所在区间为

(,1)()k k k N *

+ ∈，则k = ▲ ．

9．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记3

6的“分裂”中最小的数为a ，

而26的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝ ▲ ．

10．在矩形A B C D 中，5A B =，2B C =，现截去一个角PCQ ?，使P Q 、分别落在边

B C C D 、上，且PCQ ?的周长为8，设P C x =，CQ y =,则用x 表示y 的表达

式为y = ▲ ．

11．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1

y x -=,1

2y x =,2(1)y x =-,3y x =中

有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01m n <<<；③若函数()f x 是奇函数，则

(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④函数()()21f x x x x =?+--有2个零点．

其中正确命题的序号．．

为 ▲ ． 12．当(34)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ▲ ．

13．设1a >,若函数2

()log ()a f x ax x =-在区间

1,62??

????

上是增函数，则a 的取值范围是

▲ ．

14．设不等式2(1)0x px p p +--≥对任意正整数x 都成立，则实数p 的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

设全集是实数集R ,22

{|2730},{|0}A x x x B x x a =-+≤=+<,

（1）当4a =-时,求A B

；

（2）若()R A B B = r e,求负数a 的取值范围. 16．（本题满分14分）

已知复数2

2

(4sin )2(cos 1)z a i θθ=-++，其中a +

∈R ，),0(πθ∈，i 为虚数单

位，且z 是方程2

220x x ++=的一个根． （1）求θ与a 的值；

（2）若w x yi =+（,x y 为实数），求满足1z w z i

-≤+的点(,)x y 表示的图形的面积.

A

B

C

D

P

Q

17．（本题满分14分）

已知定义域为R 的函数2()2x

x

b f x a

-=+是奇函数．

（1）求,a b 的值；

（2）利用定义判断函数()y f x =的单调性；

（3）若对任意[0,1]t ∈,不等式22(2)()0f t kt f k t ++->恒成立，求实数k 的取值范围．

18．（本题满分16分）

经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件．．，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足8万件时，()2

13

W x x x =

+（万元），在年产量不小于8万件

时，()100638W x x x

=+-（万元）. 通过市场分析，每件．．

产品售价为5元时，生产的商品能当年全部售完.

（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件．．）的函数解析式； （注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）年产量为多少万件．．时,在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 19．（本题满分16分）

已知R ∈a ，函数()||m n

f x x x a =?-．

（1）若0,1m n ==，写出函数)(x f 的单调递增区间（不必证明）； （2）若1,1m n ==，当2>a 时，求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值.

20．（本小题满分16分）

已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++，其中01a <<，记函数)(x f 的定义域为D ． （1）求函数)(x f 的定义域D ；

（2）若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值；

（3）若对于D 内的任意实数x ,不等式2222x mx m m -+-+＜1恒成立,求实数m 的取值范围．

2012～2013学年度第二学期高二年级调研测试

数学试题（文科）

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）．本卷满分为160分，考

试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及

答题卡的相应位置．

3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作

答一律无效．

4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．）

1．若集合{}{}{}0,,2,3,3A m B A B ===I ，则实数=m ▲ ．

答案：3

2．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n 是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是 ▲ ． 答案：n 是3的倍数. 3．函数0

(4)

2

x y x -=

+的定义域为 ▲ ．

答案：{}2,x 4x x >-≠且

4．用反证法证明命题“若2

10x -=，则1x =-或1x =”时，假设命题的结论不成立的正确

叙述是“ ▲ ”． 答案：假设x ≠-1且x ≠1.

5．已知复数22

(815)(918)i z m m m m =-++-+为纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ． 答案： 5.

6．已知函数33(0)()log (0)x x f x x x ?≤?=?>??

，则1()4f f ?

?-????= ▲ ．

答案： -12

.

7．已知集合{}3

(,)

1,,,(,)2,,4y A x y x R y R B x y y ax x R y R x ?

-?

==∈∈==+∈∈??-?

?

，若A B ?=?，则实数a 的值为 ▲ ．

答案：

14

8.已知方程3log 5x x =-的解所在区间为(,1)()k k k N *+ ∈，则k = ▲ ． 答案： 3.

9.对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记36的“分裂”中最小的数为a ，而26的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝ ▲ ． 答案：42

10.在矩形A B C D 中，5A B =，2B C =，现截去一个角P C Q ?，使P Q 、分别落在边

B C C D 、上，且PCQ ?的周长为8，设P C x =，CQ y =,则用x 表示y 的表

达式为y = ▲ ． 答案：y=

8328

x x --(0

11．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,1

2y x =,2(1)y x =-,3

y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01m n <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④函数()()21f x x x x =?+--有2个零点． 其中正确命题的序号．．为 ▲ ． 答案：③④

12.当(34)x ∈，时，不等式2

40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ▲ ． 答案：m ≤-5.

13．设1a >,若函数2

()log ()a f x ax x =-在区间1,62??

????

上是增函数，则a 的取值范围是

▲ ．

A

B

C

D

P

Q

答案： a>2.

14．设不等式2(1)0x px p p +--≥对任意正整数x 都成立，则实数p 的取值范围是 ▲ ．

答案：1-2≤p ≤1+2

二、解答题：本大题共6小题，共90分.（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

15. （本小题满分14分）

设全集是实数集R ,22{|2730},{|0}A x x x B x x a =-+≤=+<, （1） 当4a =-时,求A B

；

（2） 若()R A B B = r e,求负数a 的取值范围. 解：（1） 1{|

3}2

A x x =≤≤ ………………………………………………4分

当4

a

=-时,{|22}B x x =-<< …………………………………………………4分

{|23}A B x x =-<≤ ………………………………………………… 8分 (2）

1{|}2

R A x x =<或x>3r e ………………………………………10分

∵0a

<,

∴{|}B x a x a =--<<-, …………………… 12分 当()R A B B

= r e时,有R B

A ?r e，要使R

B A

?r e,只需

12

a -≤

成立,

解得104

a -

≤<………………14分

16．（本题满分14分）

已知复数2

2

(4sin )2(cos 1)z a i θθ=-++，其中a +

∈R ，),0(πθ∈，i 为虚数单位，

且z 是方程2

220x x ++=的一个根． （1）求θ与a 的值；

（2）若w x yi =+（,x y 为实数），求满足1z w z i

-≤

+的点(,)x y 表示的图形的面积．

解：（1）由方程x 2+2x+2=0得x=-1±i ………………………………………2分

2(cos 1)0θ+≥

∴z=-1+I ……………………………………………………………………4分

又 z=(a 2-42

sin θ)+2(cos θ+1)i

∴22a -4sin 1

2(cos 1)1θθ?=-?

+=?

…………………………………………………………………… 6分 a ∈（0，+∞）

，),0(πθ∈ ∴θ=

23

π，a=2 …………………………………………………………………… 8分

（2）

110125

z i z i

i

--==

+-+ …………………………………………………… 10分

∴1015

w -≤

，表示以(1,0)为圆心，

105

为半径的圆，………………………… 12分

∴面积为2

102(

)5

5

ππ=

………………………… 14分

17．（本题满分14分） 已知定义域为R 的函数2()2x

x

b f x a

-=+是奇函数．

(1)求,a b 的值；

(2) 利用定义判断函数()y f x =的单调性；

(3)若对任意[0,1]t ∈,不等式22(2)()0f t kt f k t ++->恒成立，求实数k 的取值范围．

解： （1）1101

(0)011111(1)(1)2

21

b b a f a a

b f f a

a -?

-=?

?==

=???+∴+???=?

??-=-=

?

?++?得（需验证）………………4分 （其它解法酌情给分）1

21

2

2(22)

(2

1)(21)

x x

x x -=

++

（2）由（Ⅰ）知121221(),21x

x

f x x x R x x -=

?∈<+、，且

121

21

21

2

1221212(22)

()()2

1

2

1

(2

1)(21)

x x x x

x x x x f x f x ----=

-

=

++++则

1

212

12

12,2

222

0,210,210x x

x

x x x x x <∴<∴-<+>+>

1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<∴<()y f x R ∴=在上为增函数………………9分

（求导数方法酌情给分）

（3）22(2)()0f t kt f k t ++->

2

2

(2)()f t kt f k t ∴+>--

22()()()f x f k t f t k ∴--=- 是奇函数22

(2)()f t kt f t k ∴+>-

()f x 为增函数222

2(1)t kt t k k t t ∴∴+>-∴+>-…………10分

[][]2

2

0.111,21

1

t

t

t t k k t t ∈∴+∈∴>-

∴<

++ 恒成立-

2

2

2

(1)1(1)11111221201

1

1

11

1

t

t t t t t t t t t t -+-=

=

+

=-+

=++

-≥-=++++++……12分

当且仅当0t =时等号成立。2

m in ()01

t

t ∴=+0k ∴>…………14分

18．（本题满分16分）

经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件．．，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足8万件时，()2

13

W x x x =

+（万元），在年产量不小于8万件

时，()100638W x x x

=+-（万元）. 通过市场分析，每件．．

产品售价为5元时，生产的商品能当年全部售完.

（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件．．）的函数解析式； （注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）年产量为多少万件．．时,在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）2

143(08)3

x)=5x-w -3=10035(8)

x x x L x x x ?-+-<

?--≥??

（………………………………6分 ⑵当08x <<时2

2

11()43(6)93

3

L x x x x =-

+-=-

-+

69x ∴==max1当时L ………………………………………………………………………10分

当10010083535()35210015x x x x

x

≥--=-+

≤-=时L(x)=

当且仅当10015x x

=

∴=max2即x=10时等号成立,L ……………………………………14分

1max 210man L L >∴ 当总产量达到万件时利润最大……………………………16分

19．（本题满分16分）

已知R ∈a ，函数()||m n f x x x a =?-．

(1)若0,1m n ==，写出函数)(x f 的单调递增区间（不必证明）； (2)若1,1m n ==，当2>a 时，求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值. 解：(1)当m=0,n=1时，()(),,f x x a a =-+∞增区间为…………4分 （2）当1,1m n ==时，[]()2,1,2f x x a a x =->∈

2

2

2

()()()2

4

a a

f x x a x x ax x ∴=-=-+=--

+

……………………8分

①当m in 33(2)242

2a a y f a ≤≤==-时，即时，…………………11分 ②当

m in 33(1)12

2

a a y f a >

>==-时，即时，…………………14分

综上所述：()min 2431(3)a a y a a ?-≤=?->?

…………………16分

20．（本小题满分16分）

已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++，其中01a <<，记函数)(x f 的定义域为D ． (1)求函数)(x f 的定义域D ；

(2)若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值；

(3)若对于D 内的任意实数x ,不等式2

2

22x mx m m -+-+＜1恒成立,求实数m 的取值范围．

解：（1）要使函数有意义：则有10

30x x ->??+>?

，解得13<<-x

∴ 函数的定义域D 为)1,3(-

…………………………………2分

（2）22

()log (1)(3)log (23)log (1)4a a a f x x x x x x ??=-+=--+=-++??

13<<-x 2

01)44x ++≤∴<-(

10<

∴，即m in ()log 4a f x =， ……5分

由log 44a =-，得4

4a

-=，14

24

2

a -

==

∴． ………………………7分

（注：

1

4242

a -==∴不化简为1

4

242

a -

==∴扣1分）

（3）由题知－x 2+2mx －m 2+2m ＜1在x ∈)1,3(-上恒成立，

2

x

?－2mx +m 2

－2m +1＞0在x ∈)1,3(-上恒成立， ……………………8分

令g (x )=x 2－2mx+m 2－2m+1，x ∈)1,3(-， 配方得g (x )=(x －m )2

－2m +1，其对称轴为x =m ， ① 当m ≤－3时， g (x )在)1,3(-为增函数，

∴g (－3)= (－3－m )2－2m +1= m 2+4m +10≥0， 而m 2+4m +10≥0对任意实数m 恒成立，∴m ≤－3． ………………10分 ②当－3＜m ＜1时，函数g (x )在（－3,－1）为减函数，在（－1, 1）为增函数， ∴g (m )=－2m +1＞0，解得m ＜.21

∴－3＜m ＜

2

1 …………12分

③当m ≥1时，函数g (x )在)1,3(-为减函数，∴g (1)= (1－m )2－2m +1= m 2－4m +2≥0， 解得m ≥22+

或m ≤22-

， ∴

－3＜m ＜2

1 …………14分 综上可得，实数m 的取值范围是 (－∞，

2

1)∪[22+

，+∞) …………16分