八年级初二数学 勾股定理复习题及答案

一、选择题

1．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（）

A．3 B．6C．10D．9

2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）

A．8 B．10 C．12 D．14

3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=53，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短长为（）

A．5B．53C53D．53 4

4．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP12；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP23P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2018的值为( )

A ．2016

B ．2017

C ．2018

D ．2019

5．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2

a b +值为（ ）

A ．25

B ．9

C ．13

D ．169

6．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ?∠=，4=AD ，3BC =．分别以点A ，

C 为圆心，大于

1

2

AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）

A ．22

B ．4

C ．3

D ．10

7．长度分别为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( )

A ．5

B ．4

C ．34

D ．4或34

9．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为

（ ）

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

10．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?，

AD=，则AB的长为（）

BE=，7

4

A．10B．53C．213D．215

二、填空题

11．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)

12．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于_____．

13．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A对应的点B就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.

14．以直角三角形的三边为边向外作正方形P，Q，K，若S P=4，S Q=9，则K S=___

15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．

16．如图，在锐角ABC ?中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，

M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.

17．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC ，D 为AB 的中点，E 为BC 上一点，将△BDE 沿DE 翻折，得到△FDE ，EF 交AC 于点G ，则△ECG 的周长是___________．

18．如图,30AOB ∠=?，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．

19．在等腰Rt ABC △中，90C ∠=?，2AC =，过点C 作直线l

AB ，F 是l 上的一

点，且AB AF =，则FC =__________．

20．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若

12315S S S ++=，则2S 的值是__________．

三、解答题

21．如图，已知ABC ?中，90B ∠=?，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ?边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．

（1）当2t =秒时，求PQ 的长；

（2）求出发时间为几秒时，PQB ?是等腰三角形？

（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

22．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°

（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；

②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；

（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．

23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ?=-

（1）在ABC ?中，若90ACB ∠=?，81AB AC ?=，求AC 的值．

（2）如图2，在ABC ?中，12AB AC ==，120BAC ∠=?，求AB AC ?，BA BC ?的值．

（3）如图3，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ?=，8AC =，

64AB AC ?=-，求BC 和AB 的长．

24．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动

2

3

秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．

设点E 的运动时间为t :（秒）

（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）

（2）当1t =时，将OEF ?沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设

MBN ?的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．

25．如图，ABC ?是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．

（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ．

①如图2，求证：60BGE ∠=?；

②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=?=，则BCG ?的面积为______________．

26．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，2BC AC =.

(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ?的面积.

(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点

M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.

27．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:

(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;

(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2

a b +的值.

28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ?，ADE ?，AFO ?均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ?内部，点E 在

ABC ?的外部，32=AD ，30DOE ∠=?，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .

（1）求点A 的坐标；

（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ?的周长.

29．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离

()

()2

2

121212PP x x y y =

-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂

直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.

已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．

（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．

30．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．

（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段

AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 做点F 做FH

AD ⊥交AD 于点H ，因此要求出EF 的长，只要求出EH 和HF 即可；由折叠

的性质可得BE=DE=9-AE ，在Rt ABE △中应用勾股定理求得AE 和BE ，同理在

Rt BC F 'Rt ABE △中应用勾股定理求得BF ，在Rt EFH 中应用勾股定理即可求得EF ． 【详解】

过点F 做FH AD ⊥交AD 于点H ．

∵四边形EFC B '是四边形EFCD 沿EF 折叠所得， ∴ED=BE ，CF=C F '，3BC CD '== ∵ED=BE ，DE=AD-AE=9-AE ∴BE=9-AE

∵Rt ABE △，AB=3，BE=9-AE ∴()2

2293AE AE -=+ ∴AE=4 ∴DE=5

∴9C F BC BF BF '=-=- ∴Rt BC F '，3BC '=,9C F BF '=-

∴()2

2293BF BF -+= ∴BF=5，EH=1

∵Rt EFH ，HF=3，EH=1 ∴22223110EF EH HF =+=+=

故选：C ．

【点睛】

本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

2．B

解析：B 【分析】

过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ，此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．由DC ＝2，BD ＝6，得到BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，于是得到∠CBC ′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】

解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．

此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小． ∵DC ＝2，BD ＝6， ∴BC ＝8，

连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°， ∴∠CBC ′＝90°，

∴BC ′⊥BC ，∠BCC ′＝∠BC ′C ＝45°， ∴BC ＝BC ′＝8，

根据勾股定理可得DC ′＝22228610BC BD '+=+=． 故选：B ．

【点睛】

此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．

3．C

解析：C

在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，易证△AB’D≌△ABE，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．

【详解】

解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，

∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴△AB’B是等边三角形，

∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，

∵△ADE是等边三角形，

∴∠DAE=60°，AD=AE，

∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，

∴∠B’AD=∠BAE，

∴△AB’D≌△ABE（SAS），

∴∠ABE=∠B’=60°，

∴点E在直线BE上运动，

过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，

∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，

∴∠BCH=30°，

∴BH=1

2

BC=

5

2

，

∴CH=22

BC BH

=53

．

即BE的最小值是53

．

故选C．

【点睛】

本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E的运动轨迹是直线是解决此题的关键．

4．D

解析：D

【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.

【详解】∵OP=1，OP 1

OP 2OP 3=2， ∴OP

4 …，

OP 2018 故选D

【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．

5．A

解析：A 【分析】

根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据()2

222a b a ab b +=++即可求解． 【详解】

根据勾股定理可得2213a b +=， 四个直角三角形的面积是：

1

4131122

ab ?=-=，即212ab =， 则()2

222131225a b a ab b +=++=+=． 故选：A ． 【点睛】

本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．

6．A

解析：A 【分析】

连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出=AF FC ．再根据ASA 证明FOA BOC ???，那么==3AF BC ，等量代换得到==3FC AF ，利用线段的和差关系求出==1FD AD AF -．然后在直角FDC ?中利用勾股定理求出CD 的长． 【详解】

解：如图，连接FC ，则=AF FC ．

AD BC ∵∥，

FAO BCO ∴∠=∠． 在FOA ?与BOC ?中， FAO BCO OA OC

AOF COB ∠=∠??

=??∠=∠?

， ()FOA BOC ASA ∴???，

3AF BC ∴==，

3FC AF ∴==，431FD AD AF =-=-=．

在FDC ?中，

90D ?∠=，

222CD DF FC ∴+=， 22213CD ∴+=，

22CD ∴=．

故选A ． 【点睛】

本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．

7．B

解析：B 【解析】

试题分析：解：∵92=81，122=144，152=225，362=1296，392=1521， ∴81+144=225，225+1296=1521，即92+122=152，152+362=392， 故选B ．

考点：勾股定理的逆定理

点评：本题难度中等，主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容．

8．D

解析：D 【详解】

解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，

∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：

x ；

②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：

x 故选：D

9．C

解析：C 【分析】

根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD 的长，即可得出BC 的长. 【详解】

在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，

∴AD ⊥BC ，BC=2BD. ∴∠ADB=90°

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：=4

∴BC=2BD=2×4=8.

故选C. 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.

10．C

解析：C 【分析】

设EC=x ，DC=y ，则直角△BCE 中，x 2+4y 2=BE 2=16，在直角△ADC 中，4x 2+y 2=AD 2=49，由方程组可求得x 2+y 2，在直角△ABC 中，2244AB x y

【详解】

解：设EC=x ，DC=y ，∠ACB=90°， ∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴AC=2EC=2x ，BC=2DC=2y ，

∴在直角△BCE 中，CE 2+BC 2=x 2+4y 2=BE 2=16 在直角△ADC 中，AC 2+CD 2=4x 2+y 2=AD 2=49， ∴2

2

55164965x

y ，即2213x y +=，

在直角△ABC 中，22

44413213AB x y ．

故选：C ． 【点睛】

本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE 和直角△ADC

求得2

2x

y +的值是解题的关键．

二、填空题

11．【分析】

这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】

解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，

另一条直角边长7×3=21（尺）， 222021+=29（尺）． 答：葛藤长29尺． 故答案为：29． 【点睛】

本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 12．【分析】

根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可． 【详解】

∵AB ＝13，EF ＝7，

∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，

∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即1

41202

ab ?=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，

∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289， ∴a +b ＝17， ∵a ﹣b ＝7， 解得：a ＝12，b ＝5， ∴AE ＝12，DE ＝5， ∴AH ＝12﹣7＝5． 故答案为：5． 【点睛】

此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 13．5 【分析】

设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值 【详解】

如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10 设绳索x 尺，则OA=OB=x ∴OC=x+1-5=x-4

在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2 ∴2

2

2

(4)10x x =-+ 得x=14.5（尺） 故填14.5

,

【点睛】

此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 14．5或13 【分析】

根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P +S Q =S K 为从而易求S K ． 【详解】 解：如下图所示，

若A=S P =4．B=S Q =9，C=S K ， 根据勾股定理，可得 A+B=C ， ∴C=13．

若A=S P =4．C=S Q =9，B=S K ， 根据勾股定理，可得 A+B=C ， ∴B=9-4=5． ∴S K 为5或13． 故答案为：5或13．

【点睛】

本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．

15．4

【分析】

根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可

【详解】

∵AC的垂直平分线FG，

∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，

∵∠BAC=120°，

∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，

∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=1

2

（180°-∠BAC）=30°，

∴∠B=∠G，

∴BF=FG，

∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，

∴AG=2AE，

即（2AE）2=AE2+32，

∴

即

同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，

（2EF）2=EF2+2，

∴EF=1（负值舍去），

∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，

故答案为4．

【点睛】

本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

16

【分析】

作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．

【详解】

如图，作点B关于AD的对称点B′，

由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，

∴BM+MN=B′M+MN=B′N，

由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，

∴AB=AB′，

∵∠BAC=60°，

∴△ABB′是等边三角形，

∵AB=2，

∴B′N=2×

3

2

=3，

即BM+MN的最小值是3．

故答案为3．

【点睛】

本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．

17．2

【分析】

连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，

【详解】

解：（1）如图，连接CD、CF.

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，

∴BD=CD=1．2 ,

∵由翻折可知BD=DF，

∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,

∴∠DCF=∠DFC，

∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，

∴GC=GF，

∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，

∴△ECG的周长=EG+GC+CE=BE+EC=BC=2,

故答案为2.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．

18．10

【分析】

首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．

【详解】

作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

根据轴对称的定义可

知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N′=22

+=10．

OM ON

''

故答案为10．

【点睛】

本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．

193131

【解析】

⊥于点D，

如图，l AB，2

AC=，作AD l

∴1AD =， ∵222AF AB ===，且F 有2个，

∴2212213DF DF ==

-=

∵1DC AD ==，

∴1113

CF CD DF =+= 2231CF DF CD =-=．

点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力． 20．5 【分析】

根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可． 【详解】

解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，

12310S S S ++=， ∴得出1

8S y x ，24S y

x ，3S x =，

1

2

3

31215S S S x y

，故31215x y

，

15

4=53x y

， 所以245S x

y

，

故答案为：5．

【点睛】

此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用

12315S S S ++=求出是解决问题的关键． 三、解答题

21．（1）132）83

；（3）5.5秒或6秒或6.6秒