概率统计习题及答案

. . .

作业2（修改2008－10）

4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面

都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布.

解 对于2,3,

k =,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1

k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布

11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,

k =.

5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

第1个能正确回答的概率是5/8,

第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.

设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布

6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算

3

1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k

k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.

2) 用泊松近似律计算 331004

1000

04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!

k

k k k

k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑

∑

.

8. 设X 服从泊松分布,分布律为

(),0,1,2,

!

k

P X k e k k λλ-==

=.

问当k 取何值时{}P X k =最大？ 解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,

k =,则

1/!/(1)!k k k e k a k

e k λλλλ

λ+--==-,

数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.

若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得

1) 若1λ<,则(0)P X =最大.

2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=?≥+≤?-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有

[]

{}1P X k k λλλλλ?=?=?-?

不是整数最大或是整数.

12. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形. 解 ()

(,0)[0,1)0

()()()0()

0x x

x

F x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞

-∞

-∞

==?+?+?

??

?

()01

[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞

-∞

+?++-?

?

?

()

12[2,)

1

2

()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞

+∞-∞

+?++-+??

???

()()

1

1

2

[0,1)[1,2)[2,)0

1

1

()()

(2)()

(2)x x

I x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-??

??

?

22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.

11. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤.

解 10

2

100

1()502

cx p x dx cxdx c +∞

-∞

===

=?

?

, 1/50c =.

2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0

()()()()()()50100

x

x

v x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞

==+=+?

?

. 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤

8

28

8

2

22

()3/550100x x p x dx dx ====?

?.

15. 设随机变量X 的密度为2

x x

ce -+.求常数c .

解 222

1/2(1/2)1/41/41/1x t x x

x t ce

dx c e dx ce e dt ce π=++∞+∞+∞-+--+--∞

-∞-∞

====?

?

?

.

由上式得1/41/2c e π--=.

15. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:

Y X 0 1 2 3 0 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0 0.1 0.1 0.1 2

0.1

0.2

求边缘分布.解 X 有分布

k x

0 1 2 ()k P X x =

0.4

0.3

0.3

Y 有分布

k y

0 1 2 3 ()k P Y y =

0.1

0.2

0.3

0.4

因为

0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===?,

所以X ,Y 不独立.

18． 设随机向量

(,)

X Y 服从矩形

{(,):12,02}D x y x y =-≤≤≤≤上的均匀分布,求条件概率(1|)P X X Y ≥≤.

解 1

()(622)/62/32P X Y ≤=-??=,

1

(,1)(11)/61/122P X Y X ≤≥=??=,

(,1)1/12

(1|)1/8()2/3

P X Y X P X X Y P X Y ≤≥≥≤===≤.

22. 随机向量(,)X Y 有联合密度

(,)(,)E p x y x y =

,

其中222{(,):0}E x y x y R =<+≤.求系数c 和(,)X Y 落在圆222{(,):}D x y x y r =+≤内的概率. 解

(

)

2

2

2

cos sin 200

01(,)2x r y r R

x y R

p x y dxdy d cdr cR θ

θ

π

θπ==+∞+∞

-∞

-∞

<+≤==

=

=????

??

因而12c R

π=

.而

222

{(,)}(,)D

x y r P X Y D p x y dxdy +≤∈==

????

()

cos sin 20

1

/2x r y r r

d dr r R R θθ

πθπ===

=??

.

27. 设2~(,)X N μσ,分别找出i k ,使得()i i i P k X k μσμσα-<<+=.其中1,2,3i =,

10.9α=,20.95α=,30.99α=.

解1

22()/(2)()i i k x i i i k P k X k dx μσμσμσ

αμσμσ+---=-<<+=?

2/2

()()2()1i

i

x t k t i i i k

dt k k k σμ

=+--=

=Φ-Φ-=Φ-?. ()(1)/2i i k αΦ=+.

代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.

解2 设1

~(0,1)2

X Z N -=

,则~(0,1)Z N . ()i i i i i k k X P k X k P μσμμσμμαμσμσσσσ--+--??

=-<<+==<<

???

()()()2()1i i i i i P k Z k k k k =-<<=Φ-Φ-=Φ-. ()(1)/2i i k αΦ=+.

代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.

28. 某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内. 解 设200

~(0,1)X Z N σ

-=

,则~(0,1)Z N .

195200

205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1P X P Z σσσσσ--??<<=≤≤=Φ-Φ-=Φ- ???

.

{195205}0.982(5/)10.98P X σ<<≥?Φ-≥

15/(0.99) 2.335/2.33 2.15σσ-?≥Φ=?≤=.

28. 设X 服从自由度为k 的2χ分布,即X 有密度

/21/2(0,)/2

1()()2

(/2)

k x X k p x x e I x k --+∞=

Γ.

求Y . 解1

当0y <时,()())0Y F y P Y y P y =≤==,()()0Y Y p y F y '==.

当0y >时,22()())()()Y X F y P Y y P y P X ky F ky =≤=≤=≤=, 222/21/2

2(0,)/2

1()()2()2()()2(/2)

k ky Y Y X k p y F y kyp ky ky ky e I ky k --+∞'===?

Γ ()

()

2/2

1/22/2/2k k ky k y e k --=

Γ. 因而

()

()

2

/2

1/2

(0,)2/2()()/2k k ky

Y k p y y e I y k --+∞=

Γ.

解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.

设()y f x ==x V ∈,则f 有反函数

12()f y ky ?-==, y G ∈,

其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ??'=

22/21/22(0,)/21

2()()2(/2)

k ky k ky ky e I ky k --+∞=?Γ()()2/2

1/22/2/2k k ky k y e k --=

Γ.

29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell )分布,即密度为

2

2

2

/(0,)

()()x

X p x I x α-+∞.

其中参数0α>.求分子的动能2/2Y mX =的密度. 解1

当0y <时,2()()(/2)0Y F y P Y y P mX y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.

当0y >时,2()()(/2)(Y X F y P Y y P mX y P X F =≤=≤=≤=,

22/()

(0,)

()()y m Y Y X p y F y p I α-+∞'=

222/()2/()

y m y m αα--==

. 因而

22/()

(0,)()()y m Y p y I y α-+∞.

解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.

设2()/2y f x mx ==, x V ∈,则f 有反函数

1

()f y ?-==y G ∈,

其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ??'=

22/()

(0,)

y m X p I α-+∞

22/()

(0,)()y m I y α-+∞.

30. 设X 服从[1,2]-上的均匀分布,2Y X =.求Y 的分布.

解 X 有密度[1,2}1

()()3X P x I x -=.Y 有分布函数

()()Y F y P Y y =≤ 2()P X y =≤

[0,)()(I y P X +∞=

[0,)()()X

I y x dx +∞=

[0,)[1,2]

()()I y x dx +∞-=

[0,1)[1,4)[4,)1()()()3

I y I y I y dy +∞-=++

[0,1)[1,4)[4,)()()()y y I y +∞=+.

31. 质点随机地落在中心在原点,半径为R 的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.

解 设落点极坐标是(,)R Θ,则Θ服从[0,2]π上的均匀分布,有密度

[0,2]1

()()2p I πθθπ

Θ=

. 设落点横坐标是X ,则cos X R =Θ,X 的分布函数为

()()(cos )X F x P X x P R x =≤=Θ≤.

当1x <-时,()0X F x =.当1x >时,()1X F x =.当11x -≤≤时

1()(cos )arccos 2arccos arccos X x x x F x P R x P R R R πππ?

???=Θ≤=≤Θ≤-=- ? ??

???.

因而落点的横坐标X 有概率密度

(1,1)

()()()X X

p x F x x -'==.

.