中考尺规作图及衍生题型

尺规作图及衍生题型

1、垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等

2、角平分线上任意一点到角两边的距离相等

3、轴对称

4、旋转

5、圆

6、等腰三角形、直角三角形（等腰两圆一线，，直角画圆，点到直线的距离判断点的个数）

7、固定角（两定点，一动点形成固定角，常用手段确定圆心、半径画圆） 8、面积等分 9、黄金分割 10、相似及位似

类型一

1、为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等（A 、B 、C 不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．

要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

2、如图，在平面直角坐标系中，点A （0,8），点B （6,8）.

(1)只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法） ①点p 到A ，B 两点的距离相等； ②点P 到∠xoy 的两边的距离相等. (2)直接写出点P 的坐标.

3、尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设

计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷

树。如图，要求黄桷树的位置点P 到边AB 、BC 的距离相等，并且点P 到点A 、D 的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P （不写作法，保留作图痕迹）．

x y O B A D A

4、如图，在ABC ?中，分别以点A 和点B 为圆心，大于

1

2

AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ?的周长为10，

7AB =，则ABC ?的周长为（ ）

A.7

B.14

C.17

D.20

A B

类型二

1、如图所示，AB//CD,∠ACD=0

72．

⑴用直尺和圆规作∠C 的平分线CE ,交AB 于E ,并在CD 上取一点F ，使AC =AF ，再连接AF ,交CE 于K ； （要求保留作图痕迹，不必写出作法）

⑵依据现有条件，直接写出图中所有相似的三角形﹒

（图中不再增加字母和线段，不要求证明）

2、（1）如图1，已知∠AOB ，OA ＝OB ，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是平行四边形，请你只．用无刻度的直尺．．．．．．．

在图中画出∠AOB 的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）如图2，在10×10的正方形网格中，点A （0，0）、B （5，0）、C （3，6）、D （－1，3），

①依次连结A 、B 、C 、D 四点得到四边形ABCD ，四边形ABCD 的形状是 ▲ . ②在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）； 此时，点P 的坐标为 ▲ ，最短周长为

A F O E

B A

B

C D

3、已知：如图1，一次函数y ＝mx ＋5m 的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与函数y ＝

－

2

3x 的图像交于点C ，点C 的横坐标为－3． (1) 求点B 的坐标；

(2) 若点Q 为直线OC 上一点，且S △QAC ＝3S △AOC ，求点Q 的坐标；

(3) 如图2，点D 为线段OA 上一点，∠ACD ＝∠AOC ．点P 为x 轴负半轴上一点，且点

P 到直线CD 和直线CO 的距离相等．

① 在图2中，只利用圆规．．．．．

作图找到点P 的位置； (保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．) ② 求点P 的坐标．

类型三

A 、

B 两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A 的坐标是（2，2），点B 的坐标是（7，3）．

（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C ，使C 点到A 、B 两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．

（2）若在公路边建一游乐场P ，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P 的位置，并求出它的坐标．

C O A x

y B

（图1）

C

O A

D

x y B

（图2）

C

O A

D

x

y B

（备用图）

类型四

1、我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．

（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①

（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．

（保留必要的作图痕迹）

图①图②

4,点D的坐标是（5,0）∠BDO=15o,将△BDE旋2、如图，在△BDE中，∠BDE=90o,BD=2

转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标是____________

类型五

1、如图，要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．

（1）请你用直尺圆规画出来(要求用直尺和圆规作用，保留作图痕迹，不要求写作法)．（2）若AC=BC=4，求半圆的半径.

2、如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A 、B 、C 。 （1）请完成如下操作：

①以点O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD 、CD 。

（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：

①写出点的坐标：C 、D

； ②⊙D 的半径= （结果保留根号）；

③若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果保留π）；

④若E （7，0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由。

3、如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝1，BC ＝2．

（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边CB 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心O ；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点,以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为s ，你认为能否确定s 的最大值？若能，请你求出s 的最大值;若不能,请你说

明不能确定s 的最大值的理由．

4、如图，直线l 1//l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于B 、C 两点，连结AC 、BC ．若∠ABC ＝54°，则∠1的大小为C

（Ａ）36°． （Ｂ）54°． （Ｃ）72°． （Ｄ）73°．

5、如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为

半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于___________．

B 第23题

图2

图1Y

X

C

C

A

A

类型六

1、用尺规作图的方法(作垂线可用三角板)找出符合下列要求的点.(保留作图痕迹) (1)在图1中的直线m 上找出所有能与A,B 两点构成等腰三角形的点P,并用12,P P L 等表示; (2) 在图2中的直线m 上找出所有能与A,B 两点构成直角三角形的点Q,并用12,Q Q L 等表示;

( 图1) ( 图2)

(备用图) (备用图)

2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A 与∠B 有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。 （1）如图①△ABC 中，∠C=90°，∠A =24°

①作图： ②猜想： ③验证：

（2）如图②△ABC 中，∠C =84°，∠A =24°.

C

B A

（第23题图

m B

A

m

B

A

m

A

m A

①作图： ②猜想： ③验证：

类型七

1、画△ABC,使其两边为已知线段a 、b ，夹角为β.

（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不

写作法）. 已知：

求作：

2、如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，在△PAB 、△PBC 和△PAC 中，如果存在

一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．

⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点．

⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．

①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

（第23题图

C

B

A

19题图

a

b

β

3、已知A(-2，0)，B(6,0)，点P 为y 轴上一点 （1）当∠APB=90°，则点P 的坐标是______ （2）当∠APB=45°，则点P 的坐标是______ （3）当∠APB=135°，则点P 的坐标是______

4、如图，一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙角处，此时BC 为1米，当A 点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB 的中点P

运动的路径长为 \ 米．

5、如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点

F 所经过的路径长为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的

上有一运动的点P ．从点P 向半径

OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在上从点A 运动到点B 时，内

心I 所经过的路径长为 _________ ．

B

B

B C

C C

D

P

E

①

②

③

(第27题)

类型八

1、操作与实践

（1）如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线

（2）如图2，已知L1∥L2,点E,F在L1上，点G,H在L2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等

（3）如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线

2、如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．

(Ⅰ) 该正方形的边长为_________。(结果保留根号)

(Ⅱ) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：_________。

3、阅读理解：如图，已知直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，容易证明：△ABC面积=△ABD面积。

根据上述内容解决以下问题：已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CG为边作正方形GCEF．

（1）如图（2），当点G与点D重合时，△BDF的面积为

（2）如图（3），当点G是CD的中点时，△BDF的面积为

探索应用：小张家有一块正方形的土地如图（4），由于修建高速公路被占去一块三角形BCP区域．现决定在DP右侧补给小张一块土地，补偿后，土地变为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BP上，请你在图中画出M点的位置，并简要叙述作法．

4、我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”

（1）试说明直线AE是“好线”的理由；（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）

5、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（BC AB =，且AC BC ≠），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）． 背景介绍：这条分割直线．．即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线”． 尝试解决：

（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出

这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．

（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C 画了一条直线CD 交

AB 于点D ．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．

（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB ＝BC ＝5

cm ，AC ＝6 cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．

类型九

（1）如图1，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 为半径画弧交边AB 于E ．求证：

=

．（这个比值

叫做AE 与AB 的黄金比．）

（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC ．

（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）

A B C A

B C

图 1 图 2