人教A版高中数学必修二直观图的画法教案

教学课题：直观图画法

教学目标：1．了解什么叫直观图；

2．了解斜二测画法的规则；

3．掌握正方形、矩形、直角三角形、正三角形、正六边形的直观图的画法．

教学重点：使学生掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，并且能从水平放置的平面图形的直观图想象出原图的形状及其性质

教学难点：使学生掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，并且能从水平放置的平面图形的直观图想象出原图的形状及其性质

教学方法：

教学过程：

师：正方体的六个面都是正方形，为什么在直观图中只有两个面是正方形？；直角三角形中的直角为什么不能画出直角？；矩形中有四个角都是直角，为什么在直观图中都不能画出直角？

师：对，所以要画出空间图形的直观图，使它有立体感，它的基础就是要掌握“水平放置的平面图形的直观图的画法”．也就是说，当我们会看、会画出“水平放置的平面图形的直观图”后，才逐步会看、会画出空间图形的直观图．下面，我们就来研究几种平面图形的直观图的画法．并提出下面三点要求：

（1）师、生同时动手；

（2）画在作业本上；

（3）左边是平面几何中的画法，右边是水平放置的直观图的画法，x轴与x′轴要对齐．

例1 画水平放置的边长为4cm（学生作业本上实际的长度）的正方形的直观图．（如图2）

画法：（1）在已知正方形OABC中，取OA所在的直线

生：如果正方体的六个面都画出正方形，势必得把正方体展开，这时得出的正方体的展开图，而不是立方体的直观图；如果把直角三角形的直角画成直角，这时过直角顶点垂直于直角三角形所在平面的直线（小棍），只能画成一个点，就完全没有了立体感；同样，如果把矩形的四个角画成直角，则过它的一个顶点垂直于矩形板所在平面的直线（小棍）也只能画成一个点，也就完全没有了立体感．

为x轴，取OC所在的直线为y轴，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°．

过A′点作A′B′O′C′，连C′B′．则O′A′B′C′就是正方形OABC的直观图．

（注意，为了看清学生动手画图的真实过程，图画好后，不一定要擦去辅助线）

师：下面，我们请一个同学来读课本第7页上所述的这种斜二测画法的规则．

生：“上面画直观图的方法叫做斜二测画法，这种画法的规则是：

（1）在已知图形中取互相垂直的轴Ox，Oy．画直观图时，把它画成对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′=45°（或135°）．它们确定的平面表示水平平面．

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．”

师：根据上述三条规则，我们再来画如下几个图形的直观图．

例2 画水平放置的长为4cm，宽为3cm矩形的直观图．（如图3）

画法：（1）在已知矩形OABC中，取OA所在的直线为x 轴，取OC所在的直线为y轴，画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′=45°．

（2）在x′轴上截取O′A′=4cm，在y′轴上截取O′C′=1.5cm，过A′点作A′B′O′C′，连C′B′，则O′A′B′C′就是矩形OABC的直观图．

（说明，为了突出矩形OABC和它的直观图O′A′B′C′，辅助线要用细实线画出，而矩形和它的直观图的轮廓

线可用粗实线画出）

例3 画水平放置的两直角边分别长为4cm和3cm的直角三角形的直观图．（如图4）

画法：（1）以直角边OA所在的直线为x轴，以直角边BO所在的直线为y轴，再画对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′=45°．

（2）在x′轴上截取O′A′=OA=4cm，在y′轴上截O′

的直观图．

例4 画边长为4cm的正三角的水平放置的直观图．（如图5）

画法：（1）以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，再画对应的x′、y′轴，使∠x′O′y′=45°．

（2）在x轴上截取O′B′=O′C′=2cm，在y′轴上截取

的直观图．

（ii）

画法：（1）以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴，再画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°．

（2）在x′轴上截取O′A′=OA，在y′轴上截取O′B′

△ABC的直观图．

师：为什么对正三角形我们要画出两种水平放置的直观图呢？因为今后在画立体图形的直观图时，根据不同题目中的条件要选择不同的画法．

正三角形的两种水平放置的直观图不论哪一种画法，我们可以看到它们的三边不可能再相等，三个内角不可能再相等，但当我们说它是正三角形的直观图时，我们要想象它们的三边是相等的，它们的三个内角是相等的，而且每一个内角都是60°．同样道理，当我们在例1中说O′A′B′C′为正方形的直观图时，我们就要想象它的四条边都等，四个内角都等于90°，两条对角线相等，并且互相垂直、互相平分．也就是说，我们在立体几何学习中一定要逐步培养这样的能力：“直观图+

这里要特别强调“概念”给“直观图”以界定的重要性．因为严格说起来，平行四边形、矩形、菱形、正方形的水平放置的直观图都只保留下对边平行且相等，所以只从“直观图”来看我们是没有方法加以区别，只能用“概念”来给以界定，以示区别．

例5 画水平放置的边长为2cm的正六边形的直观图．（如图7）

画法：（1）在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD

所在的直线为x轴，取对称轴GH为y轴．画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°．

（2）在x′轴上截取O′A′=OA，截取O′D′=OD，对于不在x轴、y轴上的顶点B，C，E，F，都向x轴作垂线，它们的垂足为M，N．在x′轴上截取O′M′=OM，截取O′N′=ON，过M′，N′作与y′轴平行的直线，在这两直线上截取M′B′=

（3）连A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，则所得的六边形就是正六边形ABCDEF的直观图．

师：我们看正六边形ABCDCD和它的水平放置的直观图六边形A′B′C′D′E′F′二者在形状上有很大的不同，但是我们仍能从直观图A′B′C′D′E′F′这六边形中想象出正六边形的形状和一些性质，这是为什么？

因为在斜二测画法中，直观图仍保留了原图中三个主要的性质：

第一，保平行．在正六边形 ABCDEF中， AB∥FE∥BC，BE∥AF∥CD，FC∥ED∥AB，在直观图六边形A′B′C′D′E′F′中A′D′∥F′E′∥B′C′，B′E′∥A′F′∥C′D′，F′C′∥E′D′∥A′B′．

第二，保共点、共线．在正六边形ABCDEF中，A，O，D 三点共线，B，O，E三点共线，C，O，F三点共线；AD，BE，CF三线共点．在直观图六边形A′B′C′D′E′F′中，A′，O′，D′三点共线，B′，O′，E′三点共线，C′，O′，F′三点共线；A′D′，B′E′，C′F′三线共点．

第三，保平行线段的比不变．在正六边形ABCDEF中，AD∶FE∶BC=2∶1∶1，BE∶AF∶CD=2∶1∶1，CF∶ED∶

AB=2∶1∶1．在直观图六边形A′B′C′D′E′F′中，A′D′∶F′E′∶B′C′=2∶l∶l， B′E′∶A′F′∶C′D′=2∶l∶1， C′F′∶E′D′∶A′B′=2∶1∶l．

正因为有这“三保”，所以直观图的形状虽然有很大的变化，但我们仍能借助于直观图加上概念想象出原图的形状和性质．

教学后记：