露天矿生产的车辆安排

露天矿生产的车辆安排

方嘉伟 刘 黎 秦大伟

摘要

本文主要研究露天矿场一个班次的生产计划安排问题。一个生产计划的内容包括：出动多少辆电铲车，安排在哪些铲位；出动多少辆卡车，安排在哪些线路上，分别运输多少次。对于这些问题，由于已知各铲位到各卸点的距离、卡车的速度和载重量等数据，所以只需求出各铲点到各卸点合理的运输量（单位：万吨），那么就很容易回答以上问题了。为此我们以各铲位j 到各卸点i 之间的合理运输量ij x 为求解目标。为了建立一个较好的生产计划，应当考虑以下两个原则之一：

1． 总运量（万吨公里）最小，同时出动最少的卡车； 2． 获得最大的产量（岩石产量优先）。

对于原则1我们建立目标函数 ∑ij ij x s min ；对于原则2我们以 ∑ij x max 为目标函数。而一个合格的计划还应满足石料产量、矿石质量的要求；另外还要考虑该计划的可行性，这包括：必须利用现有卡车，在一个班次内完成这些运输量；在各铲位不应出现卡车排队等候现象；每个铲位的石料开采量不应大于其石料储量等等。这些要求可由若干个关于ij x 的线性（不）等式来表示。所以，露天矿的车辆安排可以归结为：在这些（不）等式的限制下分别求解两个目标函数。这是典型的线性规划问题，只要条件设定合理，利用计算机软件可以快速有效地给出ij x 的解。

就原则1，在计算出优化的运输量之后，车辆的分配可根据一个简单的原则计算：先在每条需运输的线路上配备该线路所能容纳的最大车辆，然后对每一铲位的卡车数一辆一辆地减少分配，直到出现某一线路不能满足所需运输量，此时所有铲位所需的卡车数量之和，就是需要出动的最少卡车数。这个算法可由计算机做循环判断实现。

就原则2，要尽可能利用现有车辆进行分配，因此在得出某一结果后，可依原则1中所述的方法计算出最少卡车数，并将其与卡车总数进行比较，通过改变优化条件使两者相等；另外要考虑岩石产量优先，此时我们只需使矿石产量达到最低要求即可。

本模型利用所给数据，根据原则1算得：一个可行的车辆安排计划是将7台电铲安排在铲位1、2、3、4、8、9、10，最少运量为8.52万吨公里，须出动17辆车（模型改进后需15辆）；根据原则2，应选择铲位1、2、4、5、8、9、10，总产量为8.62万吨。

一 问题的重述和分析

现代矿业多以露天采矿为主，矿场中主要设备有：电铲车和自卸卡车。矿场效益的最大化直接与它们的利用率有关，所谓“露天矿生产的车辆安排”就是要设计一个生产方案，合理分配铲车和卡车的使用运行，提高它们的利用率，进而提高生产效益。

在露天矿场中，分布有若干个矿位和卸货地点。每个矿位有矿石及岩石两种石料，铲车可根据不同需要选择装载石料，并且每个矿位只能允许一辆铲车进行装载，平均装车时间大约需要5分钟。相应地，矿场中的卸点也分两类，分别卸矿石与岩石。考虑到矿场经济效益和环境因素，矿石卸点矿石的铁含量（品位）应保证在一定范围内，卡车的平均卸货时间为3分钟。同时，每个铲位的石料是有限的，可能被采完；而每个卸点在一个班次内有最低产量的要求，在设计计划时，必须要考虑这两个条件。

所用卡车载重量为154吨，平均时速为28km/h 。由于卡车点火及运输过程中需要消耗很大的能量，所以在一个班次中卡车只点一次火，并要尽量避免在装卸点等待。由于卸车平均时间仅为3分钟，而且有一定的随机因素影响，另外从不同铲位到某一卸点的路程不同，所以从不同铲位到达同一卸点的卡车，它们如果在卸点相遇，相遇时刻也将是随机的，因此我们可以假设不同铲位到达同一卸点的卡车不会发生排队等候现象。

我们所设计的生产计划是一个班次内的生产计划，工作时间是8小时，当这个班次完工时，下一个班次的生产计划由于诸多条件的变动，如某些铲位的产量变小、卡车及铲车的数量有所变化等，此时应适当调整生产计划。而我们所要建立的模型，是指对于任意一个班次，当已知一定数据后，按照所建立的模型，重新输入数据，都能利用快速算法给出一个生产计划。

一个生产计划应当包括以下几个内容：出动几台电铲，分配在哪些铲位上；出动几辆卡车，分配到哪些线路上，各运输多少次的石料。而一个合格的生产计划具体必须满足以下要求：

1. 产量要求：由于每一个卸点都有各自的最低产量要求，所以从各个铲位运往该点的石料总和显然应不小于该最低产量。

2. 质量要求：对于卸点矿石漏、倒装场1、倒装场2，由于它们所卸的是矿石，所以必须考虑石料的品质，使总的含铁量为29.5%±1%。所谓总的含铁量，是指整个班次内各铲位运往该点的石料搭配起来的含铁量。

3. 可行性要求：由于铲位的石料有限，铲车和卡车的数量也有限，所以这个计划所安排的运输量（单位：万吨）有可能在一个班次(即8小时) 内不能完成，一个合格的计划必须考虑到它的可行性。

而一个好的计划还应考虑以下两条原则之一：

1. 尽量小的运输成本：总运量（单位：万吨公里）最小，同时出动最少的卡车。

2. 尽量大的产量：利用现有车辆获得最大产量。岩石产量优先，即在完成矿石最低产量要求后，即将所有资源用于运输矿石，显然矿石产量也应满足最低产量的要求。

为此，我们先假设有m 个卸点，n 台电铲，电铲数n 不小于铲位数q ，将铲位j 到卸点i 的石料运输量设为未知数ij x ，距离已知为ij s 。同时，在进行优化时，要严格区分运量（单位:万吨公里）和运输量（单位：万吨）的概念。

针对原则1，我们以总运量： ∑∑

==n

j ij ij m

i s x 11

min

为目标函数；而要求1-3则可

以转化为关于ij x 的若干个线性（不）等式，在这些（不）等式的限制下求该目标函数的极值，这是一个典型的线性规划问题。此时得到的解只是各条线路上的运输量，我们将这些运输量换算成卡车需要运输的车次，然后由计算机给出卡车的分配方案，具体实现的思想如下：由于每条线路都有最大车容量，我们先以最大车容量在需要运输的线路上工作，然后在每一铲位上，一辆一辆地减少该铲位的车辆，判断是否能满足运输量要求，直到不能减少为止，此时求出的车辆总和即为该运量下的最少分配车辆。

当电铲n 少于铲位q 时， 应当有一种合理的方法选出必须闲置的铲位，具体方法如下：对于先前算出的优化运量，我们先选择总运量最小的铲位，由于它对全局的优化运量贡献很少，所以可以将它闲置，然后对剩余的q-1个铲位再用上述方法进行计算，得出结果后再将这q-1个铲位中运量最小的铲位闲置，此时还剩余q-2个铲位待分配，如此作循环，直到电铲数与待分配的铲位相同。

对于原则2我们以总运输量：∑∑==n j m

i ij

x

11

max

为目标函数。但由于要考虑岩石产

量优先，所以我们在矿石产量满足最低要求后，便尽量多地开采岩石。此时，只需在线性规划的限制条件里加入一等式便可，即要求矿石卸点的产量等于最低产量便可，这样就解决了岩石产量优先的原则；另外，由于要求产量尽量大，所以如果不加限制，最后得出的运输量所需要的卡车数可能超过可分配的车辆数，该模型考虑用最大运输车时来限制卡车数。加入这两个限制条件，之后的优化过程与原则1的优化过程相同，车辆的分配也可用前述方法来计算给出。

二 问题的假设

1. 每个铲位只能安置一台电铲机，电铲不能同时为2台或2台以上的卡车服务；

2. 卸点在一个班次内不改变位置；

3. 假设铲位装车时间为5分钟，卸车时间为3分钟，时间不变，途中不出现堵车现象；

4. 卡车每次运输均为满载，即154吨/车次，时速为28公里/小时不变；

5. 每辆卡车在一个班次内只从一固定的铲位上运输石料，即对每一辆卡车来说，它的装货点在一个班次内始终不变，而卸点可以根据需要改变；

6. 从不同铲位到达同一卸点的卡车将不产生排队等候现象。

三 文中符号说明

ij x ：卸点i 和铲位j 之间的石料运输量 m : 卸点的数量 ij s ：卸点i 和铲位j 之间的距离 q : 电铲车的数量 j b 1：铲位j 的最大矿石产量 n : 铲位的数量 j b 2：铲位j 的最大岩石产量 T : 一个班次的时间

j b 3：铲位j 的矿石平均铁含量 i d : 卸点i 的产量要求

v ：卡车速度 l ：一辆卡车的载重量 1t ：平均装车时间 2t ：平均卸车时间。

Ω ：所有矿石卸点集合 ∏：所有岩石卸点集合

k ：车辆总数

四 模型的建立和求解

本模型的建立基于线性规划的有关理论。

在建立模型之前，已知各卸点i 和各铲位j 之间的距离ij s （单位:公里）,将他们拼成距离矩阵，记为 ()ij s a =

（一）根据原则1建立模型

先假设电铲数不小于铲位数，即 n q ≥ 建立目标函数： ∑∑

==n j ij ij m

i s x 11

min

（1）

下面进行规划：

一个合格的计划，必须满足：

1．产量要求：对于卸点i ,从所有铲位运来的石料量总和应不小于该卸点的最低产量要求，即

i n

j ij

d x

≥∑=1

m i ,,1???= （2）

2．品质要求：由于露天矿的开采对岩石没有品质要求，所以我们只需考虑矿石卸点的品质。考虑一个班次内搭配的含铁量，在该班次内运往矿石卸点i 的总石料量为

∑=n

j ij

x

1

，含铁量为∑=n

j ij j x b 1

3，于是得到如下不等式：

%1%5.291

1

3≤-∑∑==n j ij

n

j ij

j

x

x b

(Ω∈i )

化简得到：

∑=≤-n

j ij j

x b

130)305.0( (Ω∈i ) （3）

且 0)285.0(1

3≤--∑=ij n

j j x b (Ω∈i ) （4）

3．铲位的最大产量限制：每一个铲位的两种石料的量有限，从它运往各卸点的石料总量不能超过它的相应石料的储量。具体地，对于任意铲位j 有：

矿石储量限制： ∑Ω

∈≤i j ij b x 1 （5）

岩石储量限制： ∑∏

∈≤i j ij b x 2 （6）

4．工作时间限制：由于生产计划要在一个班次内完成，而且每辆卡车一个班次内只从一个铲位上运输石料, 所以对于任意铲位j ，需要完成该铲位运输总量所需要的时

间必须小于T 。对于运输任务ij x ，需要运输的车次是???

???l x ij ，用ij c 表示从铲位j 到卸点

i 线路上所能容纳的最大车辆数，卡车在这条线路上一个来回用的时间是

212t t v

s ij

++，

于是易知完成该铲位运输总量所需要的时间为：

)2(21t t v

s c l x ij

ij ij ++?????

?

????

? 由于本模型对时间的要求不是很精确，故上式取整符号可以去掉。所以时间要求的限制条件是 T t t v s c l x m

i ij

ij

ij ≤++∑=121)2(* (7) 其中 ?????

?

???

??

?++=1

21)2(t t t v s c ij

ij

综合以上所有条件，即线性不等式（2）—（7），利用线性规划即可求得目标函数（1），同时得到对应的ij x 。

下面讨论n q <时的情况：

首先按照上述方法得出各条线路上的运量，按照总运输量最小的原则将某一铲位闲

置，具体做法如下：

求 ),,min(

1

1

1

∑∑==???m

i m

i in i x x

找出该值所对应的铲位，将该铲位闲置。（若出现两个或两个以上解的情况则任选其一）。

此时还剩下1-n 个铲位需要分配。再用前述方法重新计算最优运量，然后再按该最优运量，用上述方法选出第二个需要闲置的铲位，直至剩下的需分配的铲位数等于电铲数。

接着针对每个铲位根据需要运输的线路分配卡车。在某个铲位j 上，到各卸点运输的先后次序由ij c 的大小决定，ij c 越大的线路越优先。

首先在该铲位上分配)(max ij i c Φ

∈辆车，其中Φ取遍铲位j 需要运输的所有卸点，观察能否在规定时间内完成运输任务。然后将该分配车数递减，每次减少1辆车，判断一下此时还能否完成所需运输量， 直至出现某一铲位的卡车数不能满足运输要求，这个过程可由计算机做循环判断来完成。之后可以得到任一铲位j 到卸点i 线路需要的最少车辆数，设为ij h ，由于条件4已限定了某一铲位到各卸点的运输时间的总和，要小于一个班次的时间，所以铲位j 所需的最小车辆即为()ij i

h max ，这样就可以求出总共需要的最少卡车数，以及一个较为合理的车辆分配

方案。当每条线路上的运输量及卡车数量确定后，很容易就可以算出每辆卡车所需运输的次数。

（二）根据原则2建立模型

目标函数： ∑∑==-m i n

j ij

x

11

min

此时要得到一个合格的计划，规划的条件仍应满足线性不等式（2）—（7）。此外，考虑到岩石产量优先，我们认为矿石产量达到其最低产量要求即可，即

i n

j ij

d x

=∑=1

Ω∈i （8）

又车辆总数有限，如果出动所有车辆不间断的运输石料，在一个班次内的最大车时为T k ?，显然由模型得到的总车时不应大于该数值，即

T k t t v s l x n m i n

j ij ij

?≤???

?

??++?∑∑

==1

1

21 （9）

综上所述，根据原则2计算最大产量时，规划条件为（2）—（9）。 各线路上的车辆分配原则，与（一）相同。

（三）所给实例的求解：

1．一些已知的参数：

5=m ，10=n ， 7=q ，480608=?=T 分钟 ， 0154.0=l 万吨 h km v /28= ，51=t 分钟 ，32=t 分钟 ，=Ω （1，2，5） ，=∏（3，4），

()()3.19.13.13.12.154

321

=d d d d d （单位：万吨） ；

距离矩阵：

=a (=)ij s ???

???

?

?

?

?50.027.162.178.081.225.216.372.386.342.410.605.572.321.460.274.283.127.176.164.057.006.146.246.265.351.356.461.561.589

.551.309.304.248.125.227.113.190.199.090

.127.164.090.146.274.295.200.421.419.526.5

各矿位矿石、岩石数量（万吨）和的平均含铁量矩阵：

()???

?

? ??==%31%33%31%32%33%31%32%29%28%3025.135.115.105.135.115.105.135.110.125.125.135.130.105.125.110.105.100.105.195.0ij b b

另外根据这些数据可计算出：

()?????

??? ??==2 2 2 2 4 3 4 4 4 5 6 5 4 5 3 3 3 2 3 2 2 2 3 3 4 4 5 6 6 6 4 4 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 3 3 4 5 5 6 6 ij c c

2．根据原则1的算法解模 目标函数为： ∑∑==1015

1

min j i ij

ij x s

条件（2）—（7）：

i j ij d x ≤-∑=10

1

=i 1，…,5 （2）

∑=≤-10

130)305.0(j ij j

x b

(Ω∈i ) （3）

0)285.0(10

1

3≤--∑=ij j j x b (Ω∈i ) （4）

∑Ω

∈≤i j ij

b x

1 （5） ∑∏

∈≤i j ij

b x

2 （6）

480)3560

282(0154.05

1

≤++?∑

=i ij

ij

ij

s c x （7）

利用数学软件matlab 的可以计算出（程序详见附上的软盘）： 应把7台电铲分配在铲位 =i （1 2 3 4 8 9 10）上； 总运量：8.5217万吨；

每条线路所需的运输量（单位：万吨）：

下表表示各线路上所需的最小车数：

由于在做规划时，条件4已经限定了在某一铲位，它往各卸点运输的时间总和要小于8小时，所以当某一铲位需同时向一个以上的卸点运输石料时，分配到该铲位的卡车数就应当是上表中该铲位对应列中的最大值。

因此各铲位应分配车辆数为()2

2

4

2；

2

2

3

需要卡车17辆；

运输路线图如下：

3．根据原则2的算法解模：

将已知数据代入（1）—（9）。考虑到卡车总数有限，而条件9在实际计算时范围较大。因此在解模时逐步减小条件（9）中右端项的大小，直到满足车数限制。并以此为下限，通过对分法求解，得到

总产量：8.62万吨；

各线路的运输量：

各线路所需车辆：

各铲位需要车辆数为（2 6 0 3 2 0 0 3 2 2）；

运输路线示意图：

六．模型的改进方向

注意到假设中的5、6，本模型还可以做进一步的改进。

当去除假设5后，一个班次内卡车便可以在不同的铲点运输。这样在某些运时较少的铲位，当该铲位的卡车完成运输任务后，便可以分配到其它铲位帮助运输，这样有可能减少所需的车辆总数。根据这一思想，在上述模型按原则一计算结果的基础上进行了改进，当去除假设5后，在各线路运输量不变的情况下，卡车总数有所减少：考虑铲位3和铲位4，在铲位3原来需要2辆卡车运输，运输时间由表一易算出，为283分钟左右；同样铲位4原来也需要分配2辆卡车，运输时间也为283分钟左右，我们考虑铲位

3，使其中一辆车运输10车次左右，就派到铲位8继续运输；同样使铲位4中的某一辆车在运输10车次左右后也派到铲位8继续运输，此时大约用去130分钟左右，在这种情况下，固定在铲位8的卡车只需1辆就可以完成其运量，比原来减少了2辆。这样在运量相同的情况下，车辆总数减少为15辆。

对于假设6，如果考虑在卸点产生车辆排队等候的现象，那么就需要重新安排某些铲位的运输次序。如果仍然不能避免等待现象的话，那就要调整生产计划，适当减少该卸点所在某些路线上的运输量，直到不发生冲突。例如，模型（一）中，铲位1和3同时向岩石漏运输石料，而且铲位1离岩石漏距离很近，这样在岩石漏就很可能发生卡车排队等待的情况。

以上两点都应是本模型需要改进的方向。