初中奥数讲义_相似三角形的性质
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相似三角形的性质
一、相似三角形的性质(略)
二、典型例题
1.如图,过正方形ABCD 的顶点C 作任意一条直线与AB 、AD 的延长线分别交于点E 、F . 求证:AE+AF ≥4AB .
F
E D C
B A
2.如图,等边△ABC 的边长为a ,D 是BC 边上的一点,且BD ∶DC=2∶3,把△ABC 折叠,使点A 落在BC 边上的点D 处.
(1)设折痕为MN ,求
AM AN
; (2)如果BD n DC m ,求AM AN . N
M
D
C B A
3.如图,AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AC 的中点,连结BP 并延长交AC 于E . 若AC ∶AB=k .求AE ∶EC .
P
E
D C
B A
4.如图,在△ABC 中,D 、E 分别是边BC 、AB 上的点,且∠1=∠2=∠3.如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长依次是12,,m m m .证明:
1254m m m +≤.
5.如图,在矩形ABCD 中,点M 是AD 的中点,N 是BC 的中点,P 是CD 延长线上的一点,PM 交AC 于Q .求证:∠QNM=∠MNP .
6.如图,P 为△ABC 内一点,过P 点作线段DE 、FG 、HI ,分别平行于AB 、BC 和CA ,且DE=FG=HI=d ,AB=510,BC=450,CA=425,求d .
H I
P G
F E
D C
B A
N
M Q P
O D
C B A E
D C B A
32
1
三、练习题
1.已知,如图,正方形DEMN 内接于ABC ,若A D E
C E M S S ∆∆=,4DEMN S =正方形,3BDN S ∆=,求BC 的长.
N M E
D C
B A
2.已知,如图,在△ABC 中,∠C=90°,D 是AB 上一点,DF ⊥AB 交AC 于F ,DE ⊥AC ,垂足为E ,若EF ∶CF=2∶1,DE=2,
BC 的长.
F
E
D C
B A
3.如图,在△ABC 中,D 、E 是AC 、BC 的中点,BF=
13AB ,BD 与FC 相交于G ,连接EG .(1)求证:EG ∥AC ;(2)求
BFG BEG S S ∆∆的比值.
G F E
D C B A
4.如图,P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点,且BP=BQ ,BH ⊥PC 于H , 求证:QH ⊥DH .
5.已知,在△ABC 中,AB 、AC 上各有一点R 、Q ,直线RQ 与BC 延长线交于点P ,求证:
1AQ CQ PC PB AR BR PQ RQ PQ PR QR PR
⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅. R
Q
P C
B A
6.已知平行四边形ABCD ,C 在边AD 、AB 上的射影分别是M 、N ,NM 延长后与BD 的延长线交于P ,求证:PC ⊥AC .
N
M P
D
C B A