奥数六年级千份讲义第五讲行程比例行程问题

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学

“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着

“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析

2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，

；；来表示，大体可分为以下两种情况：知识点拨

1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；

2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；

3、变速变道问题的关键是如何处理“变”；

第五讲

比例行程问题

教学目标

得到s s t v v 甲

乙乙甲，s v s v 甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比

2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，

2个物体所

用的时间之比等于他们速度的反比。s v t s v t 甲

甲甲乙

乙乙，这里因为路程相同，即s s s 乙甲，由s v t s v t 乙乙乙甲甲甲，得s v t v t 乙乙甲甲，v t v t 甲

乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的

反比。

行程问题常用的解题方法有

⑴公式法

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公

式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；

⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图

和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；

模块一、时间相同速度比等于路程比

例题3 3

例题

2 2

例题精讲

例题

1 1

甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A 、 B 两地相距多少千米？B 地在A ，C 两地之间．甲从B 地到A 地去送信，甲出发10分后，乙从B 地出发到C 地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间。(“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A 、B 两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C 处相遇；如果甲出发后在

途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D 处相遇，且中点距C 、D 距离相等，问A 、B 两点相距多少米？

、

模块二、路程相同速度比等于时间的反比

例题7 7

例题6 6

例题5 5

例题4 4

甲、乙两车分别从A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达 B 地

时，乙离A 地还有10 千米．那么A 、B 两地相距多少千米？

早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还

是l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？

从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走15 千米，第二小时比第三小时多走25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30 千米，走下坡路比走平路每小时快15 千米。那么

甲乙两地相距多少千米？

甲、乙两人同时从A 地出发到B 地，经过3小时，甲先到B 地，乙还需要

1小时

到达B 地，此时甲、乙共行了35千米．求A ，B 两地间的距离．

例题11 11

例题

10 10

例题

9 9

例题8 8

在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行， 6 分后两人相遇，再过 4 分甲到达 B 点，又过8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？上午8 点整，甲从A 地出发匀速去 B 地，8 点20 分甲与从 B 地出发匀速去A 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从 B 地出发时是8 点几分．小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的 1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的35

时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽

车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？

例题15

15

例题

14 14

例题

13 13

例题12 12

(2008“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的34前进，最终到达目的地晚 1.5小时．若出发1小时后又前进90公里因故停车0.5

小时，然后同样以原速的34前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为________公里．王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提高1/6，于是提前 1 小时40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达．那

么甲、乙两地相距多少千米？

模块三、比例综合题

例题19 19

例题18 18

例题17 17

例题16 16

甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程．乙火车上午8:00从B 站开往A 站，开出若干分钟后，甲火车从A 站出发开往B 站．上午9:00两列火车

相遇，相遇的地点离A 、B 两站的距离的比是15:16．甲火车从A 站发车的时间是几点几分？

小狗和小猴参加的100米预赛．结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不

公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米．小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？

甲、乙两人同时从A 地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，此时甲、乙共行了35 千米．求A ， B 两地间的距离．A 、B 、C 三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市．开车后1小时A 车出了事故，B 和C 车照常前进．A 车停了半小时后以原速度的45继续前进．B 、C 两车行至距离甲市200千米时B 车出了事故，C 车照常前进．B 车停了半小时后也以原速度的45继续前进．结果到达乙市的时间C 车比B 车早1小时，B 车比A 车早1小时，甲、乙两市的距离为千米．

例题23 23

例题

22 22

例题

21 21

例题20 20

甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方．此后乙每小时多行500米，经过3小时追上

速度保持不变的甲．甲每小时行多少米？

甲、乙两人分别骑车从A 地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车．12分钟后丙也骑车从A 地出发去追甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙．已知乙的速度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西5米处．一列火车以每小时84千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离．若小狗向西迎着火

车跑，恰好能在火车距西桥头3米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头0.5米处被火车追上．问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？

例题25 25

例题24 24

练习1 1

家庭作业

甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，在A 、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的37，并且甲、乙两车第2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第2008 次相遇的地点恰好相距120 千米，那么，A 、B 两地之间

的距离等于多少千米？

如图，8点10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A 、B 两地顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向D 点，甲8点20分到D 后，丙、丁两人立即以相

同速度从D 点出发，丙由D 向A 走去，8点24分与乙在E 点相遇，丁由D 向C 走去，8点30分在F 点被乙追上，则连接三角形BEF 的面积为

平方米．如图，长方形的长AD 与宽AB 的比为5:3，E 、F 为AB 边上的三等分点，某时刻，甲从A 点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E 、F 出发沿

长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5．他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？

1练习4

4练习3

3练习2

2甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2，

他们第一次相遇后甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？

小明和小刚进行100米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变)．当小刚跑了90米时，小明距离终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少

米？

客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3小时后客车到达甲地，货车

离乙地还有22千米，已知货车与客车的速度比为5:6，甲、乙两地相距多少千米？

甲、乙两人从A，B两地同时出发，相向而行．甲走到全程的5

11

的地方与乙相

遇．已知甲每小时走 4.5千米，乙每小时走全程的1

3．求A，B之间的路程．

练习1