高中数学教学设计
第四章 数学知识的教学心理
第四节 数学教学设计
报告人：李华 2006级农村教育硕士
基本结构：
教学设计的涵义
数学教学设计的基本原则
数学教学设计中教师的意识
发生型模式 结果型模式 认知建构模式 四、数学解题教学设计 模型建构模式 问题开放模式 研究性学习的内涵
发现学习、探究学习于研究性学习的关系
研究性学习的基本特征
数学研究性学习的教学设计
目前，我国正处在新一轮基础教育课程改革的全面实施阶段，由于新课程的实施增加了教学中的不稳定因素，使得更多的教师在面对它时手足无措，彷徨无计。新的教学目标由知识能力、过程方法、情感态度和价值观多元价值取向组成，教学对象不再是统一规格的，而是个性化的。教学内容综合性加大，需要教师对教材进行再度开发，而教师在教学设计的过程中却未能及时与新课改接轨，要真正实现我国新课程改革所预设的课堂教学目标，教师应与学生一起在已有知识和经验的基础上，经过同化、组合和研究，获得新的知识、能力和态度。在教学的过程中，应重视教学内容的开放性，教学设计的创造性，教学方法的互动性，教学过程的反思性。数学教学设计包括数学课程教学设计和数学课堂教学设计；也分为宏观教学设计，微观教学设计和情境教学设计；本节主要针对数学课堂教学设计进行探讨和研究，以图发挥教学的最大效果。
一、教学设计的基本概述
1.教学设计的涵义
（1）教学设计的背景
教学设计（Instructional Design）是20世纪60年代末在西方形成的一项课堂教学技术，其理论基础历经行为主义联结学习理论、认知凶恶理论和整合化的教学设计理论。20世纪90年代建构主义理论对教学设计理论起了较大的作用。我国的教学设计理论开始于20世纪80年代，一些学者开始研究教学设计，发表一些学术论文，1989年至1994年，教学设计研究进入了繁荣阶段①；在1994至1997年之间，教学设计的研究没有较大的发展，教学实践中大量的教学经验和教学成果未能上升到理论高度；1997年开展了基于建构主义的教学设计研究，提出了一些建构主义的教学模式②；2002年，华东师大举办了课程改革研讨会，从不同侧面探讨了教学设计理论与实践问题，促进了教学设计理论的进一步发展。
（2）教学设计的涵义
教学是通过信息传播促进学生达到预期的特定学习目标的活动。设计上指为了解决某个问题在开发某些事物和实施某些和某些方案之前所采取的系统计划过程。
教学设计指教师为达到一定的教学目标，对教学活动进行的系统规划、安排与决策。运用现代学习与教学心理学，传播学，教学媒体论与技术来分析教学中的问题与需要，设计解决方法、试行解决方法、评价试行结果，并在评价基础上改进设计的一个心头过程。
教学设计应解决①教什么的问题，②怎样教的问题，③教学过程最优化的问题，④设计具有操作性。
（3）数学教学设计
奚定华将数学教学设计定义为：以数学学习论、数学教学论等理论为基础，运用系统方法分析数学教学问题,确定教学目标,设计解决数学教学问题的策略方案、试行方案、评价试行结果和修改方案的过程。③数学教学设计是课堂教学设计理论在数学教学实践中的应用。
（4）数学教学设计的步骤
数学教学设计的方法和步骤：①目标分析，确定主题。对数学课程各单元及每节课进行教学目标分析，确定当前所学知识的主题。②整合资源，创设情境。在目标分析、确定主题之后，就要确定学习本主题所需信息资源的种类和每种资源在学习本主题过程中所起的作用。③自主学习，独立探索。数学学习过程是学生主动建构的过程，学生要在教师指导下成为意义的主动建构者。○4协作会话，激发思维。教师提出一些能激发学生思维的问题，引发学生形成自己的看法。○5变式练习。在初步掌握数学概念和规则后，让学生做一些基本的练习和一些变式练习，使学生完成对知道的意义建构。○6进行反思评价。关注学生的个性差异，用不同的标准、从不同的角度观察和评价学生。④
2.教学设计的基本原则
数学教学设计的原则既要能够准确全面的体现数学教学观、学习观，同时又要具有科学性和操作性，
①彭海雷.我国教学设计研究的回顾与反思[J].甘肃社会科学，2001，（3）：p8
②李芒.建构主义到底给了我们什么[J].中国电化教育，2002，（6）：p10
③奚定华.数学教学设计[M].上海:华东师范大学出版社，2001:p4
④乌美娜.教学设计[M].北京:高等教育出版社.1994.10
有利于教师的应用。①
（1）目标多维性
在以学生发展为本的前提下把数学目标分为：知识掌握、技能习得、能力发展、过程体验、情感态度生成、价值观塑造等子目标，作为教学设计必须有一个明确的主要目标，并且不能只有唯一的目标，而应该是多维的目标体系，才能发挥数学的教育功能。
(2)系统优化性
教学设计要考虑教学中各要素之间的合理组合，教学目标、教学模式、教学策略、教学评价等要素之间相互依存、相互制约，不同要素之间的搭配产生不同的教学效果，要使系统优化，还应该考虑教学过程中可能出现的偏差以及补救措施。
（3）教学活动性
动态的教学观将数学视为由问题、语言、方法、命题及观念组成的复合体，数学教学是伴随知识产生和发展的活动体验，教学设计应充分突出“做中学数学的思想”。数学活动主要是思维活动，分为②数学推理活动，数学连接活动，数学算法活动。对数学活动的理解，有利于教学设计的可操作性。
（4）模式多样性
数学教学的内容、结构是多样的，数学思维方式是多样的，因此，教学设计也应多样化。对不同的教学内容采用不同的教学模式。
（5）便于操作性
教学设计是教学实施的蓝图,所知道的目标、教学程序必须是可以操作的,否则就失去教学设计的意义。
（6）协作交流原则③
设计中应考虑教师的主导性于学生主体性的协作，使数学教学在和谐的活动与交流中进行。同时注意到数学学习的社会性，提供学生之间，学生与社会协作交流的机会。
（7）情境创设原则
将数学的学术形态转化为数学的教育形式，展现知识的背景，促使学生建构活动的发生。
3.教学设计中数学教师应具备的意识④
高中数学课程改革从理念、内容到实施都有交大的变化，教师要认真探究教学设计的基本理论，充分认识数学新课改的理念和目标，体验数学新课改的思想，而学习、体验的结果反映到教学设计上，落实在教学过程中。因此,数学教学设计中教师应具备观念更新意识、问题意识、反思意识、创新意识、分层意识。
（1）观念更新意识
这里的观念主要指数学教育观念，即教师对数学教育本质的认识和感悟。观念更新意识指教师能够清晰明确地认识自己所持有的教育观念，并自觉运用，不断萌生和发展新教育观念、更新自身旧观念的意识。
数学教育观念分为数学观和教育观两个层面：数学观是对数学学科本质的认识，教育观是对学与教的本质的认识。对数学本质的理解有不同的观点：教师认为数学教学的目的是传知，其教学设计就是一种“结果型”的模式，即传统的数学教学设计；认为数学教学的目的是实现人的发展，培养学生的创新意识与创新能力，其教学设计就是一种“建构型”的模式。
每一种观念都有自身合理的一面，因教学内容的不同，教学设计可以以不同的理论作为基础，观念更新要求教师有整合观念的意识、接受新观念的意识、替代旧观念的意识。
（2）问题意识
问题意识是指在人们的认识活动中，活动主体对既有的知识经验和一些难于解决的实际问题或理论问题所产生的怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态，并在其驱动下不断提出问题和解决问题。数学学习即通过“问题解决”来学习数学，问题解决是数学教学的中心，因此，问题意识是影响数学教学设计质量的重要因素。数学教学设计中的问题意识表现在追溯问题产生的背景和缘由意识，提出新问题的意识，培养学
①喻平.数学教育心理学[M].广西教育出版社.2004:p254~255
②徐斌艳.数学教育展望[J].上海：华东师范出版社.2001:p154~207
③何泉清.基于建构主义的高中数学教学设计的理论与实践研究[D].江西师范大学2004:p13~14
④喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社.2004：p255~258
生发现问题，接受问题的意识。
（3）反思意识
反思是对主体建构活动的再建构，反思学习是智能发展的高层表现。反思意识是指教师借助对自己的教学实践的行为研究，不断批判地审视和分析自我对数学、对学生学习数学的规律、对数学教学的目标、方法、手段以及经验的认识，发展自我专业水平，提高教学实践合理性的活动过程。
在数学教学设计中，教师要对教学目标进行反思，对教学设计的理论基础进行反思，对教学程序的设计及教学策略选择进行反思，对教学实施后进行反思。
（4）创新意识
创新意识是指教师创新的欲望和信念，其核心是自我批判的意识，不受固有思维模式的束缚，勇于立
新。创新设计教学是为了有效达成教学目标，使教学过程最优化。教学设计中的创新包括：○
1教学内容组织的创新，○
2教学模式建构的创新，○3教学组织形式的创新，○4教学技术手段的创新。 二、数学概念教学设计
数学概念的教学不只是让学生记住概念、定理、法则、公式等，而且要通过教学揭示定理的发生与发展过程，从中学习数学思想与方法。数学中的基本概念、基本定理、法则、基本作图等基本知识和技能是知识体系的核心，有了结构化的知识与清晰的因果、整合关系才能激起学生的联想，诱发创新求异的灵感。因此，数学概念教学设计的研究对我们的数学概念教学具有关键性的作用。
(1)理论基础
概念形成模式的理论基础是概念形成的心理学理论(见本章第一节p 196~198页)
(2)操作程序
数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究对象的许多属性中抽出其本质属性概括而成的。数学概念的教学设计一般分为以下几个阶段：
阶段1
由教师提供一组概念的正例供学生观察和分析。
概念的正例：所要学习的概念的外延中的特例，这些例子存在共同的本质属性。
阶段2 学生处理资料，并从这些例子中概括出它们的本质属性。
阶段3 教师和学生共同归纳、概括和抽象出该组实例的本质属性。
阶段4 教师给出概念定义、或者由学生自己给出定义，教师给予批评和修正。
阶段5 采用由学生举出更多概念的正例，教师举出反例让学生判断的方法，强化学生对概念的理解。 阶段6 概念的应用，包括概念的直接应用和讨论概念的性质。
阶段7 形成概念域或概念系。
案例1 函数的奇偶性（详见课本259~260页）
皮亚杰的认知发展论，奥苏伯尔的认知同化理论。
（2）操作程序
阶段1 教师呈现“先行组织者”，为概念的引入作铺垫。
阶段2 教师给出概念的定义。阶段3 教师引导学生深入分析，理解概念。
阶段4 强化概念。阶段5 概念应用。阶段6 形成概念域、概念系。
（1）理论基础
布鲁纳的发现学习理论，萨奇曼的探究学习理论。
（2）操作程序
阶段1 教师创设一个情境，把待学习的概念设置于一个问题之中。
阶段2 教师引导学生解决问题。阶段3 在解决问题的过程中引入概念。
阶段4 强化概念。阶段5 概念应用。阶段6 形成概念域、概念系。
案例2 无理数的概念（详见课本261页）
三、数学命题教学设计
（1）理论基础
布鲁纳、萨奇曼、兰本达的发现—探究学习理论，情境认知学习理论。
（2）操作程序
阶段1 构造问题情境
.
阶段2 在问题情境中，教师引导学生去感知、体验、从而归纳出命题。
阶段3 分析证明思路，写出证明过程。阶段4 命题的应用，转入解题教学。
阶段5 在命题应用的基础上，逐步使学生形成命题域和命题系。
案例3 圆幂定理（详见课本262~263页）
（1）理论基础
奥苏伯尔的有意义接受学习理论，加涅的累积学习理论。
（2）操作程序（略）
结果型模式是广大教师经常使用的命题教学模式，应当强调的是，整个教学必须要有学生的积极参与、积极活动，通过启发、协商和交流去建构知识，否则会使教学过程完全被动接受，甚至是机械地学习。
（1）理论基础：杜威的实用主义教学思想，情境认知理论。
（2）操作程序
阶段1 教师创设问题情境，将命题还原为一个现实的问题或者是学生熟知的数学问题。
阶段2 由问题情境引入命题，或者对现实生活问题建立数学模型从而产生数学命题。
阶段3 分析证明思路，写出证明过程。
阶段
4 命题的应用，转入解题教学。
阶段5 在命题应用的基础上，逐步使学生形成命题域和命题系。
问题解决模式有利于发展学生的直觉思维，提高推理能力，培养学生的创新意识，体现了课程的综合性和行为化。
四、数学解题教学设计
1.认知建构模式
认知建构解题教学模式,是通过解题活动去促进学生建构良好认知结构为主要目的,以启发学生自主建构认知结构为主要策略
,以师生互动、生生互动为主要学习环境的一种解题教学模式。
（1）理论基础
认知主义心理学、建构主义心理学理论。
（2）操作程序
阶段1 教师提出问题，引导学生分析问题，师生统统讨论完成问题的解答。
阶段2 教师启发学生积极思考，寻求另外的解题途径。
阶段3 回到问题，对原问题进行变更。
2.自动化技能形成模式
自动化技能形成解题教学模式,是以通过解题活动使学生获得自动化程序知识为主要目的,以学生练习为主要形式的教学模式。在数学问题解决中，就是将陈述性知识转化成程序性知识，使学生的技能形成达到自动化水平。
（1）理论基础
行为主义学习理论，安德森的知识分类说，瓦根舍的范例教学理论。
（2）操作程序
阶段1 教师精选样例，分析解题步骤，给出范例的解答过程。
阶段2 教师精选题组，让学生由浅入深模仿样例解题。
阶段3 教师对学生的练习做形成性评价，引导学生进行反思。
阶段4 教师选遍题组，让学生继续练习，逐步使练习趋于自动化。
3.
模型建构是指对问题建立数学模型.通过解题活动使学生获得策略性知识、培养学生应用数学去分析、描述和解决问题为主要目的，以教师引导学生探究为主要形式的教学模式。
（1）理论基础
杜威的实用主义教育思想，弗赖登塔尔的“数学化”思想，情境认知理论。
（2）操作程序
阶段1 教师创设问题情境。
阶段2 教师引导学生分析问题中各个因素之间的关系，并用数学语言描述和解释。
阶段3 采用恰当的数学工具建立问题的数学模型。
问题开放解题教学模式，是以开放性问题为材料，以通过解题活动使学生巩固陈述性知识、发展探究问题能力、培养创新意识为目的的教学形式。
（1）理论基础：认知学习理论，情境人质学习理论，波利亚的合情推理理论。
（2）操作程序
阶段1 教师创设问题情境。
阶段2 教师引导学生对问题提出种种假想。
阶段3 对提出的假设进行判断。
阶段4 修正假设，回到问题，重新提出假设。
阶段5 若不能通过反驳推翻假设，则证明假设。
阶段6 完成证明后，对问题及解答进行反思。
五、研究性学习及教学设计
1.研究性学习的内涵
研究性学习是指学生在教师的指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定研究专题，主动获得知识，应用知识，解决问题的活动。研究性学习注重学习的过程，培养学生发现问题和解决问题的能力，以及分析和利用信息的能力，使学生形成科学态度和科学道德，增强对社会的责任心和使命感。
2.发现学习、探究学习与研究性学习的关系。
布鲁纳的发现学习主要是一种课程观,强调学生从课程内容的侧面通过发现的方法掌握“学科结构”，基本理论是对既定知识结构的再发现；从知识层面看，发现学习是一种旁观者知识观。研究性学习强调系统知识结构，是一种“参与者知识”观。
探究学习是指学生从问题或任务出发，通过形式多样的探究活动，以获得知识和技能、发展能力、培养情感体验为目的的学习方式。从学习方式看，探究性学习和研究性学习在本质上是一致的。探究性学习的内涵更宽泛，研究性学习是一种特殊的探究性学习。
3.研究性学习的基本特征
（1）研究性学习是一种开放式学习。
研究性学习的课题具有开放性，学习形式的开放性，学习评价的开放性。
（2）研究性学习是一种自主选择性学习。
在研究性学习中，学生是学习的主体，将学习任务交给了学生，使得学生在学习中充分发挥自主性。
（3）研究性学习是一种问题质疑式学习。
研究性学习的核心是问题，它要求学生会解决已有的问题，有提出问题的意识和能力，要求学生有质疑的习惯和思维、有鉴别有用信息和无用信息的决策能力。
4.数学研究性学习的教学设计
研究性学习分为四个阶段：
阶段1 确定课题。课题的选择是研究性学习的起点，课题对学习的效果有直接的影响，教师应逐步引导学生确定研究课题。
阶段2 进行研究。在教师的指导下，以学生自己为主体进行课题研究。
阶段3 成果交流。以班级形式进行交流，介绍各小组的研究过程，交流研究经验和体会，并进行讨论和评价。
阶段4 研究总结。教师对课题的整体情况进行总结和评价，指出研究中的不足，总结研究经验，提出进一步思索的问题。
研究性学习的课题分为课题的来源和课题的分解两部分。
（1）课题的来源
数学研究性学习的课题总体上可以分为数学应用型课题和数学探究型课题。数学应用型课题包括：数学在其他学科中的应用，数学在现实生活中的应用。如：例1和例2（详见课本271~272页）。数学探究型课题包括：对数学问题的深层次探究，数学定理、方法在数学中的应用。如例3,例4,例5（见课本272页）.
(2)课题的分解
课题可以分成子课题研究,分解一般包括平行子课题和递进子课题。平行子课题指各子课题是总课题的横向延拓，各子课题反映了总课题的各个方面。递进子课题指各子课题是总课题的纵向加深，各子课题反映了总课题的不同层面，随着研究的深入，难度也会逐渐加大。
参考文献:
[1]奚定华.数学教学设计[M].上海:华东师范大学出版社，2001
[2]朱德全.数学新课程标准与主题式教学设计[J].课程·教材·教法，2002（12）
[3]罗小伟.数学教育学[M].北京:中国工人出版社,1997
[4]徐斌艳.数学教育展望.上海：华东师范出版社.2001
[5]何泉清.基于建构主义的高中数学教学设计的理论与实践研究.[D]江西师范大学2004
[6]喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社.2004
[7]彭海雷.我国教学设计研究的回顾与反思[J].甘肃社会科学，2001（3）
[8]李芒.建构主义到底给了我们什么[J].中国电化教育，2002（6）
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[10]朱维宗等.从“建构主义”谈中学数学高效益思想[J].云南民族学院报,2000，(10)
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[12]王书臣.数学新课程教学设计[M].沈阳:辽宁师范大学出版社,2002
高中数学新课程创新教学设计案例等比数列
高中数学新课程创新教学设计案例等比数列 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
47 等比数列 教学内容分析 这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用． 教学目标 1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用． 2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力． 3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感． 任务分析 这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较． 教学设计 一、问题情景 在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列： 1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型． 细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1，2，4，8，… 2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1，20，202，203，…
（3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是 本利和＝本金×（1＋利率）存期 例如，现在存入银行10000元钱，年利率是%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）： 表47-1 时间年初本金（元）年末本利和（元） 第1年10000 10000× 第2年10000×10000× 第3年10000×10000× 第4年10000×10000× 第5年10000×10000× 各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列： １００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５． 问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究 二、建立模型 结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列 叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即 ［问题］ 1. ｑ可以为0吗有没有既是等差，又是等比的数列 2. 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗如果能得出，试用以上例子加以检验． 对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式． 3. 你如何论证上述公式的正确性．
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
高中数学教学设计模版及案例
联系已学知识，可以解决这个问题。 对应问题1. 第三边c 是确定的，如何利用条件求之？ 首先用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a 从而2222cos c a b ab C =+-，同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论 对应问题2 公式有什么特点？能够解决什么问题？ 等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。 对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出）
222cos 2+-=b c a A bc ； 222cos 2+-=a c b B ac ； 222 cos 2+-=b a c C ba [理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ②已知三角形的三条边求三个角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若?ABC 中，C=90，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 教学情境三 例题与课堂练习 例题．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：2222cos =+-b a c ac B =222+-?cos 045=2121)+-=8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A 解法二：∵0sin sin sin45a A B = 又 a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A 评述：解法二应注意确定A 的取值范围。 课堂练习 在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=120°） 教学情境四 课堂小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 （3）正、余弦定理从数量关系的角度解释了三角形全等，已知边角求做三角形两类问题，使其化为可以计算的公式。 习题设计 1． 在?ABC 中，a=3,b=4,?=∠60C ,求c 边的长。 2． 在?ABC 中，a=3,b=5，c=7,求此三角形的最大角的度数。 3． 若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,求此三角形的最大角与最小角的和的大小。 4． △ABC 中，若()222tan a c b B +-=，求角B 的大小。 5． ?ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,求角C 的大小） （本案例由河北师大附中 刘建良设计，由汉沽五中 纪昌武 在目标设计和习题设计方面略作改动） 编写要求： 1、页面设置：A4，上、下、左、右边距都为2cm ；教学课题：小四宋体加粗；问题设计：课本上没有的有价值的情境、问题、例题、习题用五号黑体字，并简要说明设计意图。其他都用五号宋体。“目标设计、情境设计、问题设计、习题设计”要加粗。 2、目标设计主要写知识目标的设计。目标要具体明确、具有可操作性、可测性。
高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一
2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出
高中数学优秀教学案例设计汇编(上册)
高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部）
目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）……………………………………………………
21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用………………………………………
高中数学《排列与排列数公式》公开课优秀教学设计
《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计 一．教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。
(新)高中数学教学设计
等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。
[复习]高中数学课题教学设计案例.docx
高中数学课程可选内容的资源 ——数学建模、数学课题学习的教学设计的案例 1.升旗中的数学问题 （一）问题情景和任务 问题情景：在不同地区，同一天的H出和H落吋间不尽相同；对一个地区而言，H岀日落时间又是随FI期的变化而变化的。北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起、伴着太阳降落，下表给出了是天安门广场2003年部分LI期的升、降旗时刻表： 任务1：试根据上表提供的数据，分析升、降旗时间变化的人致规律；建立坐标系，将以上数据描在坐标系中； 任务2：分别建立I」出时间和I」落时间关于I」期的近似函数模型；利用你建立的函数模型，计算“五一”国际劳动节、“十一”国庆节的升、降旗时间； 任务3：利用年鉴、互联网或其它资料，查阅北京天安门2003年升旗时间表，检验模型的准确度，分析误差原因，考虑如何改进口己的模型。 任务4：你所生活地区（城市、省、乡村等）某年不同的日期的“日出和FI落”的时间, 建立一个函数关系。 （二）实施建议与说明 通过对升旗中数学问题的求解和讨论，进一步了解相关数学知识的意义和作用，体验数学
建模的基木过程，增强数学知识的应用意识。理解用函数拟合数据的方法，捉高对数据的 观察、分析、处理、从中获取有益信息的能力。 在这个探求活动屮，要特别重视观察、分析、处理数据的一般方法、现代技术的合理使用、数学得到的结果与实际情况不同的原因分析。 1?组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，形成可行的探究方案，独立思考，完成每个人的“成果报告”。 2.任务1的建议： 为了便于在坐标系中观察表中数据，选择适当的计最单位，如升旗时刻以10分之为一个单位，H期可以天为单位，即1月1 H为第0天，12月31日为第364天；可借助图形计算器或其它工具绘制各点， 3.任务2的建议： 利用自己的生活经验，或者访问家长、地理老师等，结合散点图，选择学过的适当函数, 作为刻画该关系的模型；要应注意关键数据（如最早升（降）旗时间和最迟升（降）旗时间等）在确定拟合函数参数小的作用； 4.任务3的建议： 根据观察坐标平而上所绘制点的走向趋势，对以考虑分段拟合函数。 5.“成果报告”的书写建议 成果报告可以下表形式呈现。 表1：探究学习成果报告表年级 ________ 班—完成时间_________
人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；
高中数学四种命题教学设计
高中数学四种命题教学设计 这是一篇由网络搜集整理的关于高中数学四种命题教学设计的文档，希望对你能有帮助。 高中数学四种命题教学设计1 一、教学目标 1、在初中学过原命题、逆命题知识的基础上，初步理解四种命题。 2、给一个比较简单的命题（原命题），可以写出它的逆命题、否命题和逆否命题。 3、通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力 4、初步培养学生反证法的数学思维。 二、教学分析 重点：四种命题；难点：四种命题的关系 1。本小节首先从初中数学的命题知识，给出四种命题的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。 2。教学时，要注意控制教学要求。本小节的内容，只涉及比较简单的命题，不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题，３．“若p则q”形式的命题，也是一种复合命题，并且，其中的p与q，可以是命题也可以是开语句，例如，命题“若，则x，y全为0”，其中的p与q，就是开语句。对学生，只要求能分清命题“若p则q”中的条件与结论就可以了，不必考虑p与q是命题，还是开语句。
三、教学手段和方法（演示教学法和循序渐进导入法） 1。以故事形式入题 2多媒体演示 四、教学过程 （一）引入：一个生活中有趣的与命题有关的笑话：某人要请甲乙丙丁吃饭，时间到了，只有甲乙丙三人按时赴约。丁却打电话说“有事不能参加”主人听了随口说了句“该来的没来”甲听了脸色一沉，一声不吭的走了，主人愣了一下又说了一句“哎，不该走的走了”乙听了大怒，拂袖即去。主人这时还没意识到又顺口说了一句：“俺说的又不是你”。这时丙怒火中烧不辞而别。四个客人没来的没来，来的又走了。主人请客不成还得罪了三家。大家肯定都觉得这个人不会说话，但是你想过这里面所蕴涵的数学思想吗？通过这节课的学习我们就能揭开它的庐山真面，学生的兴奋点被紧紧抓住，跃跃欲试！ 设计意图：创设情景，激发学生学习兴趣 （二）复习提问： 1．命题“同位角相等，两直线平行”的条件与结论各是什么？ 2．把“同位角相等，两直线平行”看作原命题，它的逆命题是什么？ 3．原命题真，逆命题一定真吗？ “同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真．但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真．学生活动： 口答：（l）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
高中数学新课程创新教学设计案例 角的概念的推广
31 角的概念的推广 教材分析 这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键． 教学目标 1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义． 2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法． 3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系． 任务分析 这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握． 教学设计 一、问题情境 ［演示］ 1. 观览车的运动． 2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作． 3. 钟表秒针的转动． 4. 自行车轮子的滚动．
［问题］ 1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角 2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角 3. 钟表上的秒针（当时间过了时）是按什么方向转动的，转动了多大角 4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角 显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备． 二、建立模型 1. 正角、负角、零角的概念 在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角． 2. 象限角 当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 3. 终边相同的角 在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即 390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）． 设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和． 三、解释应用 ［例题］ 1. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
高中数学教学设计大赛获奖作品汇编
对数函数及其性质（1） 一、教材分析 本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计
高中数学教学设计模版及案例
教学情境一：（问题引入）在ABC中，已知两边a,b和夹角C，作出三角形。 联系已学知识，可以解决这个问题。
对应问题1. 第三边c 是确定的，如何利用条件求之 首先用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a 从而2222cos c a b ab C =+-，同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论 对应问题2 公式有什么特点能够解决什么问题 等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。 对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角 从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出） 222cos 2+-=b c a A bc ； 222cos 2+-=a c b B ac ； 222 cos 2+-=b a c C ba [理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ②已知三角形的三条边求三个角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系 （由学生总结）若?ABC 中，C=90，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 教学情境三 例题与课堂练习 例题．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：2222cos =+-b a c ac B =222+-?cos 045=2121)+-=8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos 2221,22+-==b c a A bc ∴060.=A 解法二：∵0sin sin sin45a A B b = 又 a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A 评述：解法二应注意确定A 的取值范围。
高中数学教学设计案例分析参考
高中数学教学设计案例分析参考 高中数学《圆锥曲线定义的运用》教学案例的反思 一、教学内容分析 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低
学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。 3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣. 五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解
2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程 教学难点: 巧用圆锥曲线定义解题 六、教学过程设计 【设计思路】 （一）开门见山，提出问题 一上课，我就直截了当地给出—— 例题1：(1) 已知A（－2，0）， B（2，0）动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是（）。 （A）椭圆（B）双曲线（C）线段（D）不存在
高中数学教学设计获奖作品《等差数列》
高中数学教学设计获奖作品 《等差数列》 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。 二、学生学习情况分析 我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 三、设计思想 1．教法 ⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 ⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2．学法 引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水
位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。 用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学目标 通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。 五、教学重点与难点 重点： ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 难点： ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 ②理解等差数列是一种函数模型。 关键： 等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。 六、教学过程
高中数学教学设计及课件
篇一：高中数学教学设计与教学反思 高中数学教学设计与教学反思 第一章第三节三角函数的诱导公式（一） 一、指导思想与理论依据 数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。 二．教材分析 三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教a版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）．本节是第一课时,教学内容为公式（二）、（三）、（四）.教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，利用对称思想发现任意角与、、终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式（二）、（三）、（四）.同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求.为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位. 三．学情分析 本节课的授课对象是本校高一（1）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容. 四．教学目标 (1).基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式； (2).能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简； (3).创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力； (4).个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观． 五．教学重点和难点 1.教学重点 理解并掌握诱导公式. 2.教学难点 正确运用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式. 六．教法学法以及预期效果分析 “授人以鱼不如授之以鱼”，作为一名老师,我们不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想方法, 如何实现这一目的,要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究.下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析. １．教法 数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质. 在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形
高中数学新课程创新教学设计案例--幂函数
13 幂函数 教材分析 幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，全面掌握有理指数幂和根式的基础上来研究的一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用．从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好的基础．在初中曾经研究过y＝x，y＝x2，y ＝x－1三种幂函数，这节内容，是对初中有关内容的进一步的概括、归纳与发展，是与幂有关知识的高度升华．知识的安排环环紧扣，非常紧凑，充分体现了知识的发生、发展过程．对幂函数进行系统的理论研究，在研究过程中得出相应的结论固然重要，但更为重要的是，要让学生了解系统研究一类函数的方法．这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究． 教学目标 1. 通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力． 2. 使学生理解并掌握幂函数的图像与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力． 任务分析 学生对抽象的幂函数及其图像缺乏感性认识，不能够在理解的基础上来运用幂函数的性质．为此，在教学过程中让学生自己去感受幂函数的图像和性质是这一堂课的突破口．因此，这节课的难点是幂函数图像和性质的发现过程，教学重点是幂函数的性质及运用．首先，从学生已经掌握的最简单的幂函数y＝x，y＝x2和y＝x-1的知识出发，利用实例，由师生共同归纳、总结出幂函数的定义，认清幂函数的特点，深刻理解其定义域．其次，举出几个简单的幂函数引导学生从定义出发研究其定义域、值域、奇偶性、单调性、是否过公共定点这几个性质，让学生自己去探究，把主动权交给学生．然后，再由学生自己结合性质去画幂函数的图像，让学生在获得一定的感性认识的基础上，通过归纳、比较上升为理性认识，从而形成对概念与性质的完整认识．最后通过例题3与练习，让学生利用图像与性质，比较两个数的大小，从而提高学生获取知识的能力． 教学设计 一、问题情景 下列问题中的函数各有什么共同特征？