第十六讲--图形的平移和旋转讲义

第十六讲图形的平移和旋转

一、课标下复习指南

(一)平移变换

1．平移的概念

平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移．

注：平移变换的两个要素：移动的方向和距离．

2．平移的性质

(1)平移前后的图形全等；

(2)对应线段平行(或共线)且相等；

(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等．

3．平移变换的作图

如图16－1所示，将△ABC平移至△A′B′C′，则有AA′∥BB′，且AA′＝BB′；BB′与CC′共线，且BB′＝CC′．

图16－1

说明我们可以根据平移的方向和距离作出平移后的图形；反之，可以根据平移前后的图形，得知平移的方向和距离．

4．用坐标表示平移

(1)点(x，y)点(x＋a，y)或(x－a，y)；

(2)点(x，y)(x，y＋b)或(x，y－b)．

(二)轴对称变换

1．轴对称的概念

把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称．这条直线就是对称轴．两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做对称点．

2．轴对称的性质

(1)关于某条直线对称的两个图形全等；

(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分；

(3)对应线段所在直线若相交，则交点在对称轴上．

3．轴对称变换的作图

如图16－2，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则有△ABC≌△A′B′C′；AA′，BB′，CC′都被直线l垂直平分．

图16－2

说明我们可以根据对称轴作出一个图形的轴对称图形；反之，可以根据两个成轴对称关系的图形，得出对称轴．

4．轴对称图形

如果把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴．

注：一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条．

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6．用坐标表示轴对称

点(x，y)关于x轴对称的点为(x，－y)；

点(x，y)关于y轴对称的点为(－x，y)；

点(x，y)关于直线y＝x对称的点为(y，x)；

点(x，y)关于直线y＝－x对称的点为(－y，－x)；

*点(x，y)关于直线x＝m对称的点为(2m－x，y)；

*点(x，y)关于直线y＝n对称的点为(x，2n－y)．

(三)旋转变换

1．旋转的概念

在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转．这个定点O叫做旋转中心，转动的角称为旋转角．注：旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角．

2．旋转的性质

(1)旋转前后的图形全等；

(2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着：即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上)；

(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

*(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角．

3．旋转变换的作图

(1)明确旋转中心、旋转方向和旋转角，找出能确定原图形的关键点；

(2)将能确定原图形的关键点(多边形一般为每个顶点)与旋转中心连接，并将线段按要求进行旋转，得到这些关键点的对应点；

(3)按原图形顶点的顺序顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形．

说明根据旋转前后的图形可以确定旋转中心、旋转方向和旋转角．

*4．旋转对称图形

如果某图形绕着某一定点转动一定角度(小于360°)后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形．

5．中心对称

把一个图形绕着某个定点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称．这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点．

6．中心对称的性质

中心对称是一种特殊的旋转，因此它具有旋转的一切性质．另外，它还有自己特殊的性质：

(1)对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点所连线段的中点；

(2)对应线段平行或共线．

7．中心对称的作图

如图16－3，若△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则对称中心O是线段AA′、BB′、CC′共同的中点，且AB∥A′B′，AB＝A′B′，BC∥B′C′，BC＝B′C′，CA∥C′A′，CA＝C′A′．

图16－3

说明我们可以根据对称中心作出一个图形的中心对称图形；反之，可以根据两个成中心对称关系的图形，得出对称中心．

8．中心对称图形

一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形．这个定点叫做该图形的对称中心．

*中心对称图形是一个特殊的旋转对称图形(旋转角等于180°)．

9．中心对称与中心对称图形的区别与联系

区别联系

中心对称

中心对称

是指两个图形

的对称关系

把中心对称的两个

图形看成一个(整体)图

形，则称为中心对称图

形；把中心对称图形的

互相对称的两个部分看

成两个图形，则它们成

中心对称

中心对称图形

中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形

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点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(－x，－y)．

二、例题分析

例1 在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的图形沿x轴正方向平移1个单位长度，得到△CDO．

(1)在坐标系中，分别画出△AOB和△COD，并写出点A，C的坐标；

(2)求点A和点C之间的距离；

(3)求点A到点C所经过的路线的长度．

解(1)所画出的△AOB和△COD如图16－4所示，点A的坐标是(－2，0)，点C的坐标

是(1，2)．

图16－4

(2)连接AC ．

在Rt △ACD 中，AD ＝OA ＋OD ＝3，CD ＝2， .1322=+=∴AD CD AC

(3)点A 到点C 所经过的路线的长度是.1π1π180

90+=+?OA 说明 (1)正确画出图形经过几何变换后所得到的图形，是考查我们对概念的理解和空间想象力的具体体现．想一想，△AOB 能否先进行平移、再经过旋转，得到△CDO ?如果可以，请用准确的术语写出这个变换的过程______．

(2)请注意第(2)、(3)小题的区别．

例2 如图16－5，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在AD 边上的点B ′处，点A 落在点A ′处，折痕分别交AD ，BC 于E ，F ．

图16－5

(1)求证：B ′E ＝BF ；

(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想以a ，b ，c 为边的三角形的形状，并给予证明． 分析 折叠过程体现了轴对称，由轴对称性质可知，B ′F ＝BF ，∠BFE ＝∠B ′FE ，而∠BFE ＝∠B ′EF ，故有B ′E ＝B ′F ＝BF ．

解 (1)证明：由题意，可得B ′F ＝BF ，∠BFE ＝∠B ′FE ．

在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，

∴∠B ′EF ＝∠BFE ＝∠B ′FE ．

∴B ′E ＝B ′F ＝BF

(2)解：以a ，b ，c 为边可以构成直角三角形．

证明：如图16－6，连接BE ，则BE ＝B ′E ．

图16－6

由(1)知，B ′E ＝BF ＝c ，

∴a 2＋b 2＝AE 2＋AB 2＝BE 2＝c 2．

∴以a ，b ，c 为边构成的三角形是直角三角形．

例3 如图16－7，某人有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘，此人立下遗

嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间的池塘也要同时平分，但不知如何去做．你能想个办法吗?

图16－7

分析这个图形实际上是由两个中心对称图形组合而成，要想将其面积平分，只要找一条直线，使其既能平分平行四边形的面积，又能平分圆的面积即可．

解连接平行四边形的两条对角线，其交点A就是平行四边形的中心，而圆的圆心B 就是圆的中心，因此直线AB就能将土地与池塘的面积同时平分了．

说明此题可以推广．

(1)由于经过中心对称图形的对称中心的直线都可以平分该图形的面积，所以只要地和池塘都是中心对称图形，过两个对称中心的直线即可同时平分它们的面积．

(2)一些非中心对称的图形内部也存在这样的点，使得过该点有无数条直线平分该图形的面积．比如梯形，过梯形中位线的中点，且与梯形上、下两底均相交的直线均平分该梯形的面积．请思考：如图16－8，五边形ABCDE中，AB∥CD，AE∥BC，你能找到多少条平分该五边形的面积的直线呢?

图16－8

例4已知△ABC中，AB＞AC，AD为△ABC的角平分线，P为线段AD上一点，分别连接BP和CP，试判断AB－AC和BP－CP的大小关系，并说明理由．

分析AB和AC不共线，BP和CP也不共线，即不是同一个三角形的两条边，要想构造它们的差，可以尝试通过图形变换把它们集中到一条直线上(或集中到一个三角形的三边上)，从而得到线段差(或便于利用三角形的三边关系)．另外，已知中有“AD为△ABC的角平分线”，因此可以利用角平分线的特点作轴对称变换．这样几个关键的线段就都集中了．解如图16－9，在AB上截取AC′＝AC，连接PC′，

图16－9

则有AB－AC＝AB－AC′＝BC′．

∵AD平分∠BAC，

∴∠C 'AP＝∠CAP．

又AC′＝AC，AP＝AP，

∴△APC′≌△APC(SAS)．

∴C′P＝CP．

①若点P与A重合，则BP＝AB，C′P＝CP＝AC．

∴BP －CP ＝AB －AC ．

②若点P 与A 不重合，则在△BC ′P 中，BP －C ′P ＜BC ′．即BP －CP ＜AB －AC ′＝AB －AC ．

综上所述，AB －AC ≥BP －CP ．

例5 如图16－10，P 是矩形内一点，已知PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求PD 的长．

图16－10

分析 如图16－10，考虑通过平移将四条线段PA ，PB ，PC ，PD 集中到一起，构成一个封闭图形(四边形)．再考虑到题目中有垂直的条件，在平移后保持不变，于是可能运用勾股定理求出PD 的长．

解 如 图16－11，分别过P ，D 作AD ，AP 的平行线，交于点P ′，则四边形APP ′D 为平行四边形．

图16－11

∴PP ′∥AD ∥BC ，PP ′＝AD ＝BC ．

∴四边形PBCP ′为平行四边形．

∴P ′D ＝PA ＝3，P ′C ＝PB ＝4．

又∵AD ⊥CD ，PP ′∥AD ，∴PP ′⊥CD ．

设PP ′与CD 相交于点O ，

则P ′C 2＋PD 2＝(P ′O 2＋OC 2)＋(OD 2＋OP 2)＝P ′D 2＋PC 2． 解得.23 PD

例6 已知O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB ＝110°，∠BOC ＝135°，试问：

(1)以OA ，OB ，OC 为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；

(2)如果∠AOB 的大小保持不变，那么当∠BOC 等于多少度时，以OA ，OB ，OC 为边的三角形是一个直角三角形?

分析 由于OA ，OB ，OC 的长度直接不易求，但角的信息比较多(除了直接给的∠AOB 与∠BOC 外，还有正△ABC 的三个内角均为60°)，故可以考虑将这三条线段通过旋转变换集中到一起，便可直接得知它们能否拼接成一个三角形了．比如，这里可以将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°，这样OA ，OB ，OC 就集中为一个四边形的边了．

解 (1)如图16－12，过点B 作BP ，使得∠OBP ＝60°，在BP 上截取BP ＝BO ，连接OP ，CP ．

图16－12

∵正△ABC 中，∠ABC ＝60°，又∠OBP ＝60°，

∴∠ABC －∠OBC ＝∠OBP －∠OBC ．

∴∠ABO ＝∠CBP ．

又∵AB ＝CB ，BO ＝BP ，

∴△ABO ≌△CBP (SAS)．

∴PC ＝OA ，∠BPC ＝∠BOA ＝110°．

∵△OBP 中，BO ＝BP ，∠OBP ＝60°，

∴△OBP 为正三角形．

∴OP ＝OB ，∠BOP ＝∠BPO ＝60°，

亦即在△OPC 中，PC ＝OA ，OP ＝OB ，OC ＝OC ，

∴以OA ，OB ，OC 为边能构成一个三角形，且这样的三角形与△OPC 全等．

在△OPC 中，

∠POC ＝∠BOC －∠BOP ＝135°－60°＝75°．

∠OPC ＝∠BPC －∠BPO ＝110°－60°＝50°．

∠OCP ＝180°－∠POC －∠OPC ＝180°－75°－50°＝55°．

(2)∵∠AOB 大小不变，

∴∠BPC 大小也不变，即总有∠OPC ＝50°．

①若△OPC 中，∠POC ＝90°，则∠BOC ＝∠POC ＋∠BOP ＝90°＋60°＝150°．

②若△OPC 中，∠OCP ＝90°，

则∠POC ＝180°－∠OPC －∠OCP ＝180°－50°－90°＝40°．

∴此时∠BOC ＝∠POC ＋∠BOP ＝40°＋60°＝100°．

综上所述，当∠BOC ＝150°或100°时，由OA ，OB ，OC 为边的三角形为直角三角形． 说明 一个图形经过平移、轴对称、旋转变换后都与原图形全等，因此可以用这三种变换来构造全等图形，从而“转移”边、角、面积的条件，使图形中一些分散的边与角相对集中，便于发现关系．

例7 已知抛物线2)1(2

1:2--=x y C ，请分别写出满足下列条件的抛物线的解析式：

(1)抛物线C 关于y 轴对称的抛物线：

__________________；

(2)抛物线C 关于x 轴对称的抛物线：

__________________；

(3)抛物线C 关于原点对称的抛物线：

__________________；

(4)抛物线C 关于其顶点对称的抛物线：

__________________；

(5)抛物线C 沿y 轴向上平移3个单位长度所得的抛物线：

__________________；

(6)抛物线C 沿x 轴向左平移3个单位长度所得的抛物线：

__________________．

分析 解决这类问题的关键是根据变换的规律确定所得抛物线的顶点坐标和开口方向，而抛物线的形状不变(即|a |不变)．

解 抛物线C 的顶点为(1，－2)，开口向上，且?=21a (1)抛物线C 关于y 轴对称的抛物线的顶点为(－1，－2)，开口方向不变，,21=

a 故所得抛物线为.2)1(2

12-+=x y 本题也可理解为抛物线对称后，只有对称轴变为直线x ＝－1．

(2).2)1(2

12+--

=x y (3).2)1(212++-=x y (4)抛物线C 关于其顶点对称后，顶点不变，开口向下21-

=a ， 故所得抛物线为.2)1(2

12---=x y (5)平移后抛物线的顶点为(1，1)，方向、形状不变所得抛物线为.1)1(212+-=

x y (6)平移后抛物线的顶点为(－2，－2)，所得抛物线为.2)2(2

12-+=x y 例8 如图16－13，在平面直角坐标系中有四个点A (－6，3)，B (－2，5)，C (0，m )，D (n ，0)，当四边形ABCD 的周长最短时，求m ，n 的值．

图16－13

分析 本题等价于：在平面直角坐标系中，已知A ，B 两点的坐标，在x 轴，y 轴上各求一点D ，C ，使得四边形ABCD 的周长最小．由于A ，B 两点的位置确定，分别可作A ，B 两点关于x 轴，y 轴的对称点A ′，B ′，则线段A ′B ′与x 轴，y 轴的交点为所求作的点D ，

C ．

解 如图16－14，作点A 关于x 轴的对称点A ′(－6，－3)，点B 关于y 轴的对称点B ′(2，5)，则有CD ＋BC ＋AD ＝CD ＋B ′C ＋DA ′．