2011级医用高等数学期终考试试卷(A卷)、参考答案及评分标准

川北医学院试卷

(A) c x +2)(arctan （B ）

c x +2)(arctan 21

（C ）c x

x

++2

1arctan （D ） c x +arctan 21 9. 微分方程2x y y ='+''的特解是 A 。 (A) x x x y 23123

+-=

（B ）x x x y 23

123++= （C ）x x x y 23123+--= （D ）x x x y 23

12

3++-=

10. 微分方程044=+'-''y y y 的通解是 B 。 (A) x e c c y 221)(-+= （B ）x e x c c y 221)(+= （C ）x e x c c y 421)(-+= （D ）x e x c c y 421)(+=

二、多项选择题（每小题2分，共10分）

1.设函数)(x f 在0x 处具有一阶导数)(0x f '，则必有 A,B,C 成立。 （A ）0)]()([lim 00

=-→x f x f x x （B ）)()(lim 00

0x f x f x x =+→

（C ）0lim 0

=?→?y x （D ）)()(0x f x f =

2.设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数)(0x f ''，且0)(0='x f ，下列各式正确的有 A,D 。 （A ）当0)(0<''x f 时，则函数)(x f 在0x 处具取得极大值。 （B ）当0)(0<''x f 时，则函数)(x f 在0x 处具取得极小值。 （C ）当0)(0>''x f 时，则函数)(x f 在0x 处具取得极大值。 （D ）当0)(0>''x f 时，则函数)(x f 在0x 处具取得极小值。

3.设函数,],[)(上连续在b a x f ),()(b f a f =且内则在不恒为常数但),(,)(b a x f B,D 。 （A ）必有最大值和最小值 （B ）可能有最大值或最小值 （C ）至少存在一点0)(',=ξξf 使 （D ）函数)(x f 存在原函数

4.对于不定积分?dx x f )( ,下列等式中 A,B,D 是正确的。

(A) )()(x f dx x f dx

d

=? (B)C x f dx x f +='?)()( (C)

C x f dx x f +'=

?)()( (D) dx x f dx x f d ?=)()(

5.?

=xdx x cos sin A,B,C 。

(A)

C x +2sin 2

1

(B) C x +-2cos 21

(C ) C x +-2cos 41 (D) C x +2sin 4

1

三、是非判断题（每小题2分，共20分）

（判断下列各题的说法或计算是否正确，如正确，在题后对应括号内填写√，否则填写×） 1. 1sin lim

=∞→x

x

x （ × ）

2. 若 )(),(x g x f 在点0x 都间断，则)()(x g x f +在点0x 必间断.( × )

3.设函数)(x f 在[]b a ,上连续，且b b f a a f ><)(,)(，则必存在一点),(b a ∈ξ使得

ξξ=)(f .( √ )

4.如果函数)(x f 在),(b a 上连续，在),(b a 上可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ∈),(b a ，使得=-)()(a f b f ))((a b f -'ξ成立. ( × )

5. 函数)(x f 在点0x x =取的拐点，但函数)(x f 在点0x x =可能不连续。( √ )

6.若

C x x dx x f +=

?

cos )(,则='?dx x f x )(C x

x

x +--cos 2sin .( √ ) 7.若函数)(x f ,)(x g 在],[b a 上满足：)()(x g x f ≤，则在],[b a 上有

dx x g dx x f b

a

b

a

?

?

≤

)()( ( × )

8.若函数)(x f 有原函数)(x F 、)(x G ，则C x G x F =-)()(.( √ ) 9.设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则必存在一函数)(x F ，使得)()(x f x F ='.( √ ) 10.如果1y 与2y 是方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解，则2211y c y c y +=

为方程的通解(其中 21,c c 为任意常数)。 ( × ) 四、选择填空题（每空2分，共20分）

1.函数),(),(),(21x f x f x f 满足：)()()(21x f x f x f ≤≤，且a x f x f x x x x ==→→)(lim )(lim 210

，

则 =→)(lim 0

x f x x a

2．函数51222+-=x x y

的单调递增区间是),3(+∞或者3>x 。

3. 设y 是由e x xy e y ++=cos 所确定的函数，则=

'y x

e x

y y

--sin 。 4. 若函数)(x f 在2=x 处可导，且)(x f 在2=x 处取得极大值，则)2(f '= _0 。 5. 已知x

y 1

=

, 则)(n y = )(!)(11+--n n x n 6.=?→2

sin lim

x tdt x

x 2

1 7.

=?

-1

1

2)2sin(dx x x 0 。

8.已知?=3

22sin )

(x x

dt t x G ，则=')(x G 462sin 2sin 3x x x x -

9．由抛物线2x y =、直线1=x 及x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得的体积为

2

π。 10. 一阶线性微分方程 x y y x sin =+'的通解为)cos (1C x x

y +-=或者C x xy +-=cos 。

五、计算题（每小题5分，共20分）

1．已知

3

2

2)1()1(-+=

x x x y ,求dy 2.求不定积分

dx x

x ?

+21

解：上式两边取对数得： 解：dx x x dx x x ??+=+)1(112 (2分)

))1ln(2)1ln((ln 31ln 2--++=x x x y (1分) dx x x )1

1

1(?+-= (2分)

)1

2121(3112--++='x x x x y y (2分) C x x ++-=|1|ln ||ln 1分) )1

2121()1()1(312322

--++-+='x x x x x x x y (2分)

3.求定积分?

+3

316dx x

解：

?

+3

316dx x

=?

++3

2

1)316()316(3

1

x d x (2分)

=03)316(3

2312

3x +? =9121 (3分)

4.求微分方程y x y x

'=''+2)1(2

的通解。

解：令p y =' ，则dx dp

y =

''代入原方程 xp dx

dp x 2)1(2=+ (2分) 则

dx x

x

dp p 2121+= 两端积分

??+=dx x x dp p 2121

12ln )1ln(ln C x p ++= )1(21x C p += (2分)

即

)1(21x C dx

dy

+= 所求通解为 23

1)3

1(C x x C y ++

= (1分) 六．应用题（10分）

某种类型的抗癌药物进入血液系统的量称为有效药量，其进入速率可表为函数 )40()4()(2

≤≤-=t t t t f

试求（1）何时速率最大？这时的速率是多少？

（2）有效药量是多少？

解:（1）已知2)4()(-=t t t f 在[]4,0上连续 (2分)

)4(2)4()(2

/

-+-=t t t t f

令：0)(/=t f 得4,3

4

==

t t (2分) ∴ 由最大值最小值定理知)(t f 在4,3

4

,0=t 点取得最大值

∵0)4(,27256

3

4)34(,0)0(34==

==f f f ∴ 当34=t 时速率最大为27

256 (2分) （2）

??

-=40

24

)4()(dt t t dt t f (2分)

=

dt t t t ?

+-40

23)168(

=40234)2

16384(t t t +- =1244=364

(2分)