离散数学第三讲

二、容斥原理与鸽巢原理 1、 容斥原理(§1。3。) （计数原理、包含排斥原理） 容斥原理（包含排斥原理）： 设A ，B 是有限集，则

B

A B A B A -+=

容斥原理的相关推论： (i)

C B A C A C B B A C B A C

B A +---++= (ii) 利用归纳法

n

n n

k j i k

j

i

n

j i j

i

n

i i n A A A A A

A A

A A A A A A 211111321)1(-<<≤≤<≤=-+++

-

=∑∑∑

(iii)

U A A =+, A U A -=

(iv)

n

n A A A U A A A 2121-=

（注意基的具体含义）

设S 是有限集，r

P P P ,,,

21 是r 条性质，

i

A 是S 中具有性质

i P 的子集，即

}{

i

i P x S x x

A 具有性质,∈=

（i=1,2,…，r ） 则 （1）S 中至少具有性质

r

P P P ,,,21 一条的元素数是：

r

r r

k j i k

j

i

r

j i j

i

r

i i r A A A A A

A A

A A A A A A 211111321)1(-≤<<≤≤<≤=-+++

-

=∑∑∑

（2）S 中不具有性质r

P P P ,,,21 的

元素数是：

r

r A A A U A A A 2121-=

e.g 1 设2≥n ，)(n ?表示不超过n 且与n 互质的 正整数的个数，求)(n ?

该函数在计算机中称为EURTER 函数。 解：

}{n S ,,3,2,1 =

不妨令：

r

r

p p p n ααα??= 1121 r p p p ,,,21 为互异的质

数； 设

}

{r i p x S x x A i i ,,2,1, =∈=且

则

j

i j i i

i p p n

A A p n A =

=,

r A A A n 21)(=?……

2、 鸽巢原理（抽屉原理、鞋盒原理）（教材P63）

n+1个鸽子飞进n 个鸽巢，则可以找到一鸽巢里至少有2只鸽子。 或者：

如果k+1个或更多的物体放入k 个盒子，那么至少有一个盒子包含了2个或更多的物体。

e.g 1 把10个点放入边长为1的正三角形内，证明，可以

找到两个点，它们之间的距离不超过三分之一。

（具体问题，找鸽子，做笼子）

推广1、n 个鸽洞，（多于）1+?n r 个鸽子，必有一个鸽洞住有至少r+1 只鸽子。

推论2、 （平均数原理） 设

i x 是自然数，且

r n

x x x n

>+++ 21 )(N r ∈ 则 ? k x ，使得 1+≥r x k 。

证明：……

e.g 2 一个园盘划分为36个扇形，把1~36这36个数放入扇形中，每格一个数，证明无论怎样放，总可以找到三个连续的扇形，使得这三个扇形中的数之和 56。 解：…… 练习

No1 有n 个乒乓球运动员比赛，每人至少赛一场，同一对手至多比赛一场，证明这n 个运动员可以找到二个运动员，他们比赛的场数一样。 No2 设

n x x x ,,,21 是n 个正整数，

证明，其中至少存在若干个（下标）连续的数，使得它们的和是n 的倍数。

e.g 3 假定一组6个人，任意两个人或者是朋友或者是敌人，证明在这组人中或存在3个人彼此都是朋友，或存在3个人彼此都是敌人。(教材P65：例3.12)

（任意一个人和其他5个人的关系）

三、二元关系（第2章）

利用“有序偶”给出关系的定义，先看两个基本概念 1、 序偶与笛卡儿积

定义1 设A ，B 是两个非空集合，对B b A a ∈∈,，

则称（a,b ）为A 到B 上的一个序偶。

注：序偶讨论的是有序对，不同的书描述的是不一

样的；

显然 （i ）(a,b)=(c,d) a=c 且b=d (ii) (a,b)=(b,a) 一般不成立

定义2 非空集合A 到B 的所有序偶的集合，称为A

到B 上的积或笛卡儿积，

记为：B A ?

Descartes [1596-1650] 法国哲学家、数学家

e.g 1 设 }{}{b a B A ,,3,2,1==

求 （1）B A ?， （2）A B ? （3）B B ?

……

e.g 2 R ( 全体实数集) （x,y ）平面坐标系中的

一个坐标、

R R ? 的一个序偶

e.g 3 +N Z ,

+∈∈N q Z p q p ,,

),(

将 q p q p ??→?定义成

),( ； 如 53)5,3(-??→?-定义成

则+?N Z 可看成全体有理数

以前遇到的很多事物和现象都可以看成序偶处理 e.g 4 设}2,1{=A ；写出 A A P ?)(

本书只讨论二元

另 A=B 时，记 2

A A A

B A =?=? e.g 5 设

n B m A ==,

； 则 n m B A ?=?

有了笛卡儿积，进一步讨论关系的概念

2、 二元关系（§2。1 二元关系及其表示形式） e.g 1 姓名与成绩

}{}{99,95,85,65,,,,==S d c b a C

联系：

}{R

d c b a ?→

?,)85,(),85,(),99,(),65,(

联系…关系 即集合S C ?的一个子集。

1） 定义3 若 )(B A P R ?∈ ，则称 R 是A 到B 上的一个二元关系。

即 （i ）R 是集合B A ?上的一个子集；

（ii ）R 是B A ?幂集)(B A P ?上的一个元素 （iii ）R 中的元素（a,b ）是集合A 到B 上的

一个序偶组成.

定义4

记

}{R

b a B b A a a domR ∈∈?∈=),,,使得（且

(domain)称为R 的前域。

}

{R b a A a B b b ranR ∈∈?∈=),,,似的（阿且

（range ）称为R 的值域。

上例 }{d c b a domR ,,,=，}{99,85,65=ran

另 （i ） 若,),(R b a ∈称a 与b 有关系R ，记为aRb (ii) 若 B=A 则称R 是A 上的关系。

e.g 1 设 }2010

{级信计班学生是x x A = R 1 ：xR 1y 表示x 与y 同姓 R 2 ：xR 2y 表示x 与y 同一寝室。 e.g 2 设

}6,5,4,3,2{=S

定义R ：若y x （整除）；则 xRy . R 是S 上的关系

即 )}6,6(),5,5(),4,4(),6,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2{(=R

定义5 设R 是A 上的一个关系，

即A A R ??或 )(A A P R ?∈ 则称 )(A A P ?∈Φ ：空关系

)(A A P A A ?∈?：全域关系，记为 E

A

A A A a a a ??

∈}),{(：恒等关系 I

A

e.g 3 若

m

B n A ==,

有多少种不同的A

到B 上的二元关系？ ……

e.g 4 设

}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=A ，

R 是A 上的模4同余关系，即当A b a ∈,，且a 和b 被4除后余数相同时，有aRb,用例举法写出关系R 。

2）关系的表示法：（P21）

(I)

表格表示法：……

(II) 矩阵表示法：……

(III) 图形表示法……

问题：设21,R R 是A 到B 上的两个关系，

关系矩阵为21,R R M M 如何求 2

121,

R R R R M M

21R R ：关系矩阵2

1

1

2R

R R R M M M ⊕=

矩阵的对应元素相加，但为逻辑加；即

001

100111=⊕=⊕=⊕=⊕ 21R R ：关系矩阵21

1

2R R

R R M M M ?=

矩阵的对应元素相乘ij ij ij b a c ?=，

但为逻辑乘；即

1

110001001=?=?=?=? e.g 1 设

}6,5,4,3,2{=A ，

R 是A 上的整除关系，S 是A 上的小于等于关系， 求.,S R S R

解：关系矩阵

???????????

?????=10000

01000001001001010101

R M ，??

??

???

?

???

??

???=100001100

01110

0111101111

1S M ???

????

?

????????=∴

10000

11000111001111011111S

R M ，??

??

???

?

?????

???=1000001000

00100

1001010101S R M 又：T 是A 上的小于关系， 求.,T R T R

……

3、 具有某些特性的关系

（§2。2二元关系的基本类型与判定方法） 设R 是非空集合A 上的关系

（集合R ，R 中的元素是序偶，由A A ?的元素组成，

即 },,),{(具有某些特性

、且b a A b A a b a R ∈∈=； 除此之外，A A R ??是一个子集；

）（A A P R ?∈ 幂集的一个元素；

另外

R b a ∈），（即 aRb ）

1）自反的二元关系

定义1设R 是非空集合A 上的关系，

若对,A a ∈?都有aRa 即 R a a ∈),( 则称R 是自反的二元关系，也称R 具有自反性。

e.g 1 设

}205{）班学生信计（表示x x A =

1R ：y xR 1 则x 与y 同姓 …… 1R 是自反的二元关系

e.g 2设

}6,5,4,3,2{=A ，

R 是A 上的整除关系，S 是A 上的小于等于关系， T 是A 上的小于关系;则 ……

e.g 3 设},,{c b a A =；)},(),,(),,(),,{(c c c b b a a a R =

R 不是A 上的自反的关系；R b b ?),(

从关系表示法是看自反关系的特点：

设R 是A 上自反的二元关系，n A = 表格表示法上 对角线上全打钩； 关系矩阵上 对角线上元素全为1；

关系图示法上 元素（每个顶点）自身画圈（环）

2）反自反的二元关系

定义2 设R 是非空集合A 上的关系， 若对,A a ∈?都有R a a ?),(

则称 R 是反自反的二元关系，也称R 具有反自反性。 e.g 4设

}6,5,4,3,2{=A , R 是A 上的小于关系;

则…… e.g 5设

}4,3,2,1{=A ,对于A 上的如下关系

全域关系

空关系,,)}4,4(),3,1(),3,2(),2,1(),1,1{()}

1,2(),3,1{()}4,4(),3,3(),2,2(),1,2(),2,1(),1,1{(54321A A R R R R R ?=Φ====

试确定何者为自反关系何者为反自反关系

解：自反关系：51

,

R R

反自反关系：42

,R R

另：关系矩阵中，自反关系的关系矩阵中，对角

线上元素全为0。

注：自反的反面是否为反自反？ 关系矩阵中对角线上元素有0也有1

(3)

R

3)对称的二元关系

定义3设R 是非空集合A 上的关系， 若有R b a ∈),(，必有R a b ∈),(， 则称R 是A 上的对称关系，也称R 具有对称性。

e.g 1`设

}211{）班学生信计（表示x x A =

1R

：y xR 1

则x 与y 同姓 ……

1R 是对称关系

关系矩阵R

M 是对称矩阵

又2R ：y xR 2 则 x 认识y ，……

2R 不是对称的二元关系

e.g 6 设

}8,7,6,5,4,3,2{=A

关系R ：aRb 则 a,b 都是素数。 ……

4）反对称的二元关系

定义4 设R 是非空集合A 上的关系， 当b a

≠时，若aRb ，必有R a b ?),(；

则称R 为A 上的反对称关系，或称R 具有反对称性。

e.g 4` 设 }6,5,4,3,2{=A , R 是A 上的小于关系;

反对称关系R 中，对b a ≠，aRb 与bRa 至多有一个出现。

反对称关系R 中，对b a ≠，aRb 与bRa 至多有

一个出现。

5）可传递的二元关系

定义5设R 是非空集合A 上的关系，若aRb 且bRc ，则必有aRc ；则称R 是可传递的二元关系，或称R 具有可传递性。 e.g 1``设

}111{班学生信计表示x x A =

1R ：y xR 1 则x 与y 同姓 ……

……

e.g 2设A 是非空集合，

对幂集P （A ）上的关系R ， 对),(,A P b a ∈?若b a

?，则 ;aRb

讨论关系R 特性。

R 具有自反性，反对称性，可传递性。

1、 可传递性的判定方法（ P27） 1） 逐个检查法 2） 关系矩阵检查法 ……P30 ……

2、 相关结论

（i ）设A 是元素个数为n 的集合，则

(1) A 上可定义多少种自反的二元关系? (2) A 上可定义多少种反自反的二元关系? (3) A 上可定义多少种对称的二元关系？ (4) A 上可定义多少种反对称的二元关系？ (5) A 上可定义多少既不是自反的也不是反

自反的二元关系

解：（1）)2

()

1(-n n ；

（2）)2()

1(-n n ；

（3）)2(2

)

1(+n n ;(4) )2

(2

)1(+n n ;

(5) )1(2222

-?-n n n

（ii ）

（1）21,R R 是A 上的自反关系，

则2121,R R R R 仍具有自反性；

（2）21,R R 是A 上的反自反关系，

则212121,,R R R R R R - 仍具有反自反性；

（3）21,R R 是A 上的对称关系，

则212121,,R R R R R R - 仍具有对称性；

（4）21,R R 是A 上的反对称关系，

则2121,R R R R - 仍具有反对称性；

（5）21,R R 是A 上的传递关系，

则21R R 仍具有对称性 证明（3）

4、 等价关系与集合的划分（§2。3 P33） 1） 等价关系的定义

定义1、设R 是集合A 上的二元关系，