中考数学压轴题 易错题测试综合卷检测
一、中考数学压轴题
1.如图,在等边△ABC中,AB=BC=AC=6cm,点P从点B出发,沿B→C方向以1.5cm/s 的速度运动到点C停止,同时点Q从点A出发,沿A→B方向以1cm/s的速度运动,当点P停止运动时,点Q也随之停止运动,连接PQ,过点P作BC的垂线,过点Q作BC的平行线,两直线相交于点M.设点P的运动时间为x(s),△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y(cm2)(规定:线段是面积为0的图形).
(1)当x= (s)时,PQ⊥BC;
(2)当点M落在AC边上时,x= (s);
(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
2.在学习了轴对称知识之后,数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究,请你跟随兴趣小组的同学,一起完成下列问题.
(1)(课本习题)如图①,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD.求证:DB=DE
(2)(尝试变式)如图②,△ABC是等边三角形,D是AC边上任意一点,延长BC至E,使CE=AD.
求证:DB=DE.
(3)(拓展延伸)如图③,△ABC是等边三角形,D是AC延长线上任意一点,延长BC至E,使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论.
3.如图1,正方形CEFG绕正方形ABCD的顶点C旋转,连接AF,点M是AF中点.(1)当点G在BC上时,如图2,连接BM、MG,求证:BM=MG;
(2)在旋转过程中,当点B、G、F三点在同一直线上,若AB=5,CE=3,则
MF=;
(3)在旋转过程中,当点G在对角线AC上时,连接DG、MG,请你画出图形,探究DG、MG的数量关系,并说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC ?的斜边AB 在y 轴上,边AC 与x 轴交于点
D ,A
E 平分BAC ∠交边BC 于点E ,经过点A D E 、、的圆的圆心
F 恰好在y 轴上,
⊙F 与y 里面相交于另一点G . (1)求证:BC 是⊙F 的切线 ;
(2)若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -,求⊙F 的半径及线段AC 的长; (3)试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
5.如图,在等边ABC ?中,延长AB 至点D ,延长AC 交BD 的中垂线于点E ,连接
BE ,DE .
(1)如图1,若310DE =,23BC =,求CE 的长;
(2)如图2,连接CD 交BE 于点M ,在CE 上取一点F ,连接DF 交BE 于点N ,且
DF CD =,求证:12
AB EF =;
(3)在(2)的条件下,若45AED ∠=?直接写出线段BD ,EF ,ED 的等量关系
6.如图,在ABC ?中,14AB =,45B ∠=?,4
tan 3
A =
,点D 为AB 中点.动点P 从点D 出发,沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动,点P 关于点D 对称点为
点Q ,以PQ 为边向上作正方形PQMN .设点P 的运动时间为t 秒.
(1)当t =_______秒时,点N 落在AC 边上.
(2)设正方形PQMN 与ABC ?重叠部分面积为S ,当点N 在ABC ?内部时,求S 关于
t 的函数关系式.
(3)当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ?的分为面积相等的两部分时,直接写出
t 的值.
7.如图,直线y =
12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,抛物线y =ax 2﹣3
2
x+c 经过A ,B 两点,与x 轴的另一交点为C . (1)求抛物线的解析式;
(2)M 为抛物线上一点,直线AM 与x 轴交于点N ,当
3
2
MN AN =时,求点M 的坐标; (3)P 为抛物线上的动点,连接AP ,当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.
8.如图,平面上存在点P 、点M 与线段AB .若线段AB 上存在一点Q ,使得点M 在以PQ 为直径的圆上,则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点. 已知点P (0,1),点A (﹣2,﹣1),点B (2,﹣1).
(1)在点O (0,0),C (﹣2,1),D (3,0)中,可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ;
(2)点K 为x 轴上一点,若点K 为点P 与线段AB 的共圆点,请求出点K 横坐标x K 的取值范围;
(3)已知点M (m ,﹣1),若直线y =1
2
x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点,请直接写出m 的取值范围.
9.如图,抛物线2
y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,且点B
与点C 的坐标分别为()3,0B ,()0,3C ,点M 是抛物线的顶点.
(1)求二次函数的关系式.
(2)点P 为线段MB 上一个动点,过点P 作PD x ⊥轴于点D .若OD m =,PCD 的面积为S .
①求S 与m 的函数关系式,写出自变量m 的取值范围. ②当S 取得最值时,求点P 的坐标.
(3)在MB 上是否存在点P ,使PCD 为直角三角形?如果存在,请直接写出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.
10.如图1,抛物线2
3y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ,与y 轴交于点C ,顶
点D 的横坐标为1,对称轴交x 轴交于点E ,交BC 与点F .
(1)求顶点D 的坐标;
(2)如图2所示,过点C 的直线交直线BD 于点M ,交抛物线于点N . ①若直线CM 将BCD ?分成的两部分面积之比为2:1,求点M 的坐标; ②若NCB DBC ∠=∠,求点N 的坐标.
11.问题背景:如图,四边形ABCD 中,AD BC ∥,8BC =,17AD =+
32AB =,45ABC ∠=?,P 为边AD 上一动点,连接BP 、CP .
问题探究
(1)如图1,若30PBC ∠=?,则AP 的长为__________. (2)如图2,请求出BPC △周长的最小值;
(3)如图3,过点P 作PE BC ⊥于点E ,过点E 分别作EM PB ⊥于M ,EN PC ⊥于点N ,连接MN
①是否存在点P ,使得PMN 的面积最大?若存在,求出PMN 面积的最大值,若不存在,请说明理由;
②请直接写出PMN 面积的最小值.
12.注意:为了使同学们更好地解答本题的第(Ⅱ)问,我们提供了一种分析问题的方法,你可以依照这个方法按要求完成本题的解答,也可以选用其他方法,按照解答题的一般要求进行解答即可.
如图,将一个矩形纸片ABCD ,放置在平面直角坐标系中,()0,0A ,()4,0B ,
()0,3D ,M 是边CD 上一点,将ADM 沿直线AM 折叠,得到ANM .
(Ⅰ)当AN 平分MAB ∠时,求DAM ∠的度数和点M 的坐标; (Ⅱ)连接BN ,当1DM =时,求
ABN 的面积;
(Ⅲ)当射线BN 交线段CD 于点F 时,求DF 的最大值.(直接写出答案) 在研究第(Ⅱ)问时,师生有如下对话:
师:我们可以尝试通过加辅助线,构造出直角三角形,寻找方程的思路来解决问题. 小明:我是这样想的,延长MN 与x 轴交于P 点,于是出现了Rt NAP △. 小雨:我和你想的不一样,我过点N 作y 轴的平行线,出现了两个Rt NAP △.
13.附加题:在平面直角坐标系中,抛物线2
1y ax a
=-与y
轴交于点A ,点A 关于x 轴的对称点为点B , (1)求抛物线的对称轴;
(2)求点B 坐标(用含a 的式子表示); (3)已知点11,
P a ??
???
,(3,0)Q ,若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,结合函数图像,求a 的取值范围.
14.已知,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ∥DC ,点E 在BC 延长线上,连接DE ,∠A +∠E =180°.
(1)如图1,求证:CD=DE ;
(2)如图2,过点C 作BE 的垂线,交AD 于点F ,请直接写出BE 、AF 、DF 之间的数量关系_______________________;
(3)如图3,在(2)的条件下,∠ABC 的平分线,交CD 于G ,交CF 于H ,连接FG ,若∠FGH=45°,DF=8,CH=9,求BE 的长.
15.在平行四边形ABCD 中,60B ∠=?,点E ,F 分别在边AB ,AD 上,且
60ECF ∠=?.
(1)如图1,若AB BC =,求证:AE AF BC +=;
(2)如图2,若4AB BC ==,且点E 为AB 的中点,连接BF 交CE 于点M ,求
FM ;
(3)如图3,若AB kBC =,探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系,说明理由. 16.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC △的斜边在AB 在x 轴上,点C 在y 轴上
90ACB ∠=?,OC 、OB 的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两个根,且OC OB <.
(1)求点A 的坐标;
(2)D 是线段AB 上的一个动点(点D 不与点A ,B 重合),过点D 的直线l 与y 轴平
行,直线l 交边AC 或边BC 于点P ,设点D 的横坐标为t ,线段DP 的长为d ,求d 关于
t 的函数解析式;
(3)在(2)的条件下,当1
2
d =
时,请你直接写出点P 的坐标.
17.已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C (点A 在点C 左侧),交y 轴于点B .
(1)求A ,B ,C 三点坐标;
(2)如图1,点D 为AC 中点,点E 在线段BD 上,且BE=2DE ,连接CE 并延长交抛物线于点M ,求点M 坐标;
(3)如图2,将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ,连接CG ,点P 为△ACG 内一点,连接PA 、PC 、PG ,分别以AP 、AG 为边,在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ,求PA+PC+PG 的最小值,并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标(直接写出结果即可).
18.将一个直角三角形纸片ABO ,放置在平面直角坐标系中,点0(3)A ,,点
()0, 3B ,点(0,0)O
(I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ,O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ,沿着DE 折叠该纸片,点B 落在射线BO 上的点F 处. ①如图,当D 为OB 中点时,求E 点的坐标; ②连接AF ,当AEF ?为直角三角形时,求E 点坐标:
(Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合),将AOP ?沿OP 所在的直线折叠,得到
'A OP ?,连接'BA ,当'BA 取得最小值时,求P 点坐标(直接写出结果即可).
19.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=﹣x+4与x轴交于点A,过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B,且点B的横坐标为1.
(1)该抛物线的解析式为;
(2)如图1,Q为抛物线上位于直线AB上方的一动点(不与B、A重合),过Q作QP⊥x 轴,交x轴于P,连接AQ,M为AQ中点,连接PM,过M作MN⊥PM交直线AB于N,若点P的横坐标为t,点N的横坐标为n,求n与t的函数关系式;在此条件下,如图2,连接QN并延长,交y轴于E,连接AE,求t为何值时,MN∥AE.
(3)如图3,将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C,点T为线段OA 上的一动点(不与O、A重合),以点O为圆心、以OT为半径的圆弧与线段OC交于点D,以点A为圆心、以AT为半径的圆弧与线段AC交于点F,连接DF.在点T运动的过程中,四边形ODFA的面积有最大值还是有最小值?请求出该值.
20.已知:AB为⊙O的直径,点C为弧AB的中点,点D为⊙O上一点,连接CD,交AB 于点M,AE为∠DAM的平分线,交CD于点E.
(1)如图1,连接BE,若∠ACD=22°,求∠MBE的度数;
(2)如图2,连接DO并延长,交⊙O于点F,连接AF,交CD于点N.
①求证:DM2+CN2=CM2;
②如图3,当AD=1,10时,请直接写出
....线段ME的长.
21.如图,在矩形ABCD中,点E为BC的中点,连接AE,过点D作DF AE
⊥于点F,过点C作CN DF
⊥于点N,延长CN交AD于点M.
(1)求证:AM MD
=
(2)连接CF,并延长CF交AB于G
①若2
AB=,求CF的长度;
②探究当AB
AD
为何值时,点G恰好为AB的中点.
22.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ,斜边AB 在
x 轴上,且点A 的坐标为()9,0-,点D 是AC 的中点,点E 是BC 边上的一个动点,抛
物线2
12y ax bx =++过D ,C ,E 三点.
(1)当//DE AB 时, ①求抛物线的解析式;
②平行于对称轴的直线x m =与x 轴,DE ,BC 分别交于点F ,H ,G ,若以点D ,
H ,F 为顶点的三角形与GHE △相似,求点m 的值.
(2)以E 为等腰三角形顶角顶点,ED 为腰构造等腰EDG △,且G 点落在x 轴上.若在
x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时,请直接写出....
点E 的坐标. 23.如图所示,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A=90°,AB=12,BC=21,AD=16.动点P 从点B 出发,沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q 同时从点A 出发,在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动,当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t (秒). (1)设△DPQ 的面积为S ,求S 与t 之间的关系式; (2)当t 为何值时,四边形PCDQ 是平行四边形? (3)分别求出当t 为何值时,①PD=PQ ;②DQ=PQ .
24.问题探究
(1)如图1.在ABC 中,8BC =,D 为BC 上一点,6AD =.则ABC 面积的最大值是_______.
(2)如图2,在ABC 中,60BAC ∠=?,AG 为BC 边上的高,O 为ABC 的外接
圆,若3AG =,试判断BC 是否存在最小值?若存在,请求出最小值:若不存在,请说明
理由.
问题解决:
如图3,王老先生有一块矩形地ABCD ,6212AB =+,626BC =+,现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ,且满足点E 在CD 上,AD DE =,点F 在BC 上,且6CF =,点M 在AE 上,点N 在AB 上,90MFN ∠=?,这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值;若不存在,请说明理由. 25.定义:两个相似等腰三角形,如果它们的底角有一个公共的顶点,那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”.如图,在ABC ?与AED ?中,,BA BC EA ED == ,且
,ABC
AED ??所以称ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,设它们的顶角为α,连接
,EB DC ,则称
DC
EB
会为“关联比". 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程,请阅读后,解答下列问题: [特例感知]
()1当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且90α?
=时,
①在图1中,若点E 落在AB 上,则“关联比”
DC
EB
=
②在图2中,探究ABE ?与ACD ?的关系,并求出“关联比”
DC
EB
的值.
[类比探究]
()2如图3,
①当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且120a ?=时,“关联比”
DC
EB
= ②猜想:当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且n α=?时,“关联比”DC
EB
= (直接写出结果,用含n 的式子表示) [迁移运用]
()3如图4, ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”.若90,4,ABC AED AC ?∠=∠==点
P 为AC 边上一点,且1PA =,点E 为PB 上一动点,求点E 自点B 运动至点P 时,点
D 所经过的路径长.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、中考数学压轴题 1.B
解析:(1)1.5;(2)3;(3
)(
)
))2
22
3.0 1.515344x y x x x x x x ??
???=?
??+-?
??
≤≤≤≤<< 【解析】 【分析】
(1)令PQ ⊥BC ,表示出BP 和BQ 的长,利用余弦的定义得出方程,求解即可; (2)根据△ABC 是等边三角形得出BQ=CM ,表示出PC 的长,结合余弦的定义得出方程,求解即可;
(3)根据(1)和(2)中结论,分0≤x <1.5时,1.5≤x≤3时,3<x≤4时三种情况画出图形,求出相应边长,可得函数解析式. 【详解】
解:(1)当PQ ⊥BC 时, BP=1.5x ,BQ=6-x ,
∴BQ= 1.5cos cos60BP x
ABC =∠?
,即6-x=1.512
x
,
∴6-x=3x , 解得:x=1.5,
∴当x=1.5时,PQ⊥BC;
(2)∵△ABC是等边三角形,QM∥BC,∴AQ=AM,BQ=CM,
PC=6-1.5x,
CM=
6 1.5
123
1
cos60
2
PC x
x
-
==-
?,
∴BQ=12-3x,AQ=x,
∴12-3x+x=6,
解得x=3,
∴当点M落在AC上时,x=3(s);
(3)当0≤x<1.5时,过Q作QE⊥BC于E,
∵BQ=6-x,
∴QE=BQsin∠B=BQsin60°,而DP=BPtan∠B=BPtan60°,y=S△BPQ-S△BPD
=
11
22
BP QE BP DP
?-?
=()()
11
sin60tan60
22
BP BQ BP BP
?-?
=2
9333
42
x x
-;
当1.5≤x≤3时,过点Q作QD⊥BC于D,
可知:四边形QDPM为矩形,
∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°,
PM=MC·sin60°=BQ·sin60°,
则y=S △PQM
=1
2QM PM ? =()1
cos60sin 602
BP BQ BQ -????? =2315393
242
x x -
+-
;
当3<x≤4时,
如图所示,过点Q 作QE ⊥BC 于点E , 可知四边形QEPM 为矩形, ∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan ∠B=1.5x-1
2
(6-x )=2x-3, ∵QM ∥BC ,
∴△AQO 为等边三角形,∠MON=∠C=60°, ∴AQ=OQ=AO=x , ∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3, ∵PC=6-1.5x ,∠C=60°, ∴NP=PC·
tan ∠C= PC·tan60°=3632x ??
-? ???
, ∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·
sin ∠B-NP=(6-x )·sin60°-3632x ??
-? ??
?
=333x -,
y=S △PQM -S △NOM =
11
22
MQ PM OM MN ?-?
=2242x x -
+-
-1
2
(x-3
-)
=2x -故y 关于x
的函数解析式为(
)
))2
22
2
423.0 1.515344x x y x x x x x x ?-?
???=-
+-???+-???
≤≤≤≤<<. 【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质,解直角三角形,二次函数的应用—几何问题,难度较大,解题的关键是根据图形的运动情况分情况求解.
2.D
解析:(1)见详解;(2)见详解;(3)DB=DE 成立,证明见详解 【解析】 【分析】
(1)由等边三角形的性质,得到∠CBD=30°,∠ACB=60°,由CD=CE ,则∠E=∠CDE=30°,得到∠E=∠CBD=30°,即可得到DB=DE ;
(2)过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G ,证明△BDC ≌△EDG ,根据全等三角形的性质证明结论;
(3)过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ,由“SAS ”可证△BCD ≌△EFD ,可得DB=DE . 【详解】
证明:(1)∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=∠BCA=60°, ∵点D 为线段AC 的中点, ∴BD 平分∠ABC ,AD=CD , ∴∠CBD=30°, ∵CD=CE , ∴∠CDE=∠CED , 又∵∠CDE+∠CED=∠BCD , ∴2∠CED=60°, ∴∠CED=30°=∠CBD , ∴DB=DE ;
(2)过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G ,如图,
∴∠DGC=∠ABC=60°,又∠DCG=60°, ∴△DGC 为等边三角形, ∴DG=GC=CD ,
∴BC-GC=AC-CD ,即AD=BG , ∵AD=CE , ∴BG=CE , ∴BC=GE ,
在△BDC 和△EDG 中,
60DC DG BCD EGD BC EG =?
?
∠=∠=???=?
, ∴△BDC ≌△EDG (SAS ) ∴BD=DE ; (3)DB=DE 成立,
理由如下:过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ,
∴∠CDF=∠A ,∠CFD=∠ABC , ∵△ABC 是等边三角形
∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°,BC=AC=AB , ∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF , ∴△CDF 为等边三角形 ∴CD=DF=CF , 又AD=CE , ∴AD-CD=CE-CF , ∴BC=AC=EF ,
∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°, ∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°, ∴∠BCD=∠DFE ,且BC=EF ,CD=DF ,
∴△BCD ≌△EFD (SAS ) ∴DB=DE . 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,以及平行线的性质,正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
3.D
解析:(1)证明见解析;(2)29
或5;(3)DG =2MG ,理由见解析. 【解析】 【分析】
(1)连接MG 并延长交AB 于N 点,证明△ANM ≌△FGM 后得到MG=MN ,AN=CG ,进而得到BN=BG ,得到△ANG 为等腰直角三角形,即可证明MG=MB. (2)分两种情况画出图形再利用(1)中的思路结合勾股定理即可求解.
(3)先画出图形,然后证明△ADG ≌△ABG ,得到DG=BG ,又△BMG 为等腰直角三角形,故而得到DG=BG=2MG. 【详解】
解:(1) 连接MG 并延长交AB 于N 点,如下图所示:
∵GF ∥AN , ∴∠NAM=∠GFM 在△ANM 和△FGM 中
∠∠=??
=??∠=∠?
BAM GFM AM FM
NMA GMF ,∴△ANM ≌△FGM(ASA) ∴MG=MN ,CG=GF=AN ∴AB-AN=BC-CG ∴NB=GB
∴△NBG 为等腰直角三角形 又M 是NG 的中点
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知: 故有:MG=MB.
(2)分类讨论:
情况一:当B 、G 、F 三点在正方形ABCD 外同一直线上时
延长MG 到N 点,并使得MG=MN ,连接AN ,BN
∴∠∠=??
=??=?
MN MG AMN GMF AM FM ,∴△AMN ≌△FMG(SAS) ∴AN=GF=GC ,∠NAM=∠GFM ∴AN ∥GF
∴∠NAB+∠ABG=180° 又∠ABC=90° ∴∠NAB+∠CBG=90°
又在△BCG 中,∠BCG+∠CBG=90° ∴∠NAB=∠BCG
∴在△ABN 中和△CBG 中:∠∠=??
=??=?
AB BC NAB GCB AN CG ,∴△ABN ≌△CBG(SAS)
∴BN=BG ,∠ABN=∠CBG ∴∠ABC=∠NBG=90°
∴△NBG 是等腰直角三角形,且∠BGN=45° 在Rt △BCG 中,2222=534--=BG BC CG 过M 点作MH ⊥BG 于H 点,∴△MHB 为等腰直角三角形 ∴MH=BH=HG=
1
2
BG=2 在Rt △MFH 中,2222MF=2529+=+=MH HF 情况二:当B 、G 、F 三点在正方形ABCD 内同一直线上时 如下图所示,延长MG 到MN ,并使得MG=MN ,连接NA 、NB ,
同情况一中证明思路,
∠∠=??
=??=?
MN MG AMN GMF AM FM ,△AMN ≌△FMG(SAS) ∴AN=GF=GC ,∠NAM=∠GFM ∴AN ∥GF ∴∠NAB=∠ABG 又∠ABG+∠GBC=90° ∠GBC+∠BIF=90° ∴∠BIF=∠ABG
又∠BIF=∠BCG ,∠ABC=∠NAB ∴∠NAB=∠GCB
∴在△ABN 中和△CBG 中:∠∠=??
=??=?
AB BC NAB GCB AN CG ,∴△ABN ≌△CBG(SAS)
∴BN=BG ,∠ABN=∠CBG ∴∠ABC=∠NBG=90°
∴△NBG 是等腰直角三角形,且∠BGN=45° 在△BCG 中,2222=534-=-=BG BC CG 过M 点作MH ⊥BG 于H 点,∴△MHB 为等腰直角三角形 ∴MH=BH=HG=
1
2
BG=2 ∴HF=HG-GF=2-1=1
在Rt △MFH 中,2222MF=215+=+=MH HF 29 5. (3)由题意作出图形如下所示:
DG 、MG 的数量关系为:2,理由如下: ∵G 点在AC 上 ∴∠DAG=∠BAG=45° 在△ADG 和△ABG 中:
∠∠=??
=??=?
AD AB DAG BAG AG AG ,∴△ADG ≌△BAG(SAS) ∴DG=BG
又由(2)中的证明过程可知:△MBG 为等腰直角三角形 ∴2MG ∴2MG 故答案为:2MG. 【点睛】
本题考查了正方形的旋转、三角形的全等、勾股定理等知识,难度很大,关键是要能正确做出图形,利用数形结合的思想,熟练的使用正方形的性质是解题的关键.
4.E
解析:(1)详见解析;(2)52r =,552
AC =;(3)2AG AD CD =+,理由详见解析. 【解析】 【分析】
(1)连接EF ,根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ,得到FE ∥AC ,根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°,证明结论;
(2)连接FD ,设⊙F 的半径为r ,根据勾股定理列出方程,解方程即可求出半径的长,证
FEB ?∽AOD ?,求出BF 的长,再证BFE ?∽BAC ?,即可求出AC 的长;
(3)过点F 作FR AC ⊥于点R ,得到四边形RCEF 是矩形,得到EF=RC=RD+CD ,根据垂
径定理解答即可. 【详解】
(1)如图,连接EF ,
∵AE 平分BAC ∠,
FAE CAE ∴∠=∠, FA FE =,
FAE FEA ∴∠=∠, FAE EAC ∴∠=∠, //FE AC ∴,
90FEB C ∴∠=∠=?, 又E 为⊙F 上一点, BC ∴是⊙F 的切线; (2)如图,连接FD ,
设⊙F 的半径为r ,
∵点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -,
1,2,1OA OD OF r ∴===-,
5AD ∴=
在Rt FOD ?中,由勾股定理得,222FD OF OD =+,
222(1)2r r ∴=-+,
解得52
r =
, 即⊙F 的半径为
52
, 90ODA OAD EBF OAD ∠+∠=∠+∠=?, ODA EBF ∴∠=∠,
90AOD FEB ∠=∠=?, ∴FEB ?∽AOD ?,
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
安徽省中考数学易错题分类汇编
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
中考数学—分式的易错题汇编含解析
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 六年级数学总复习易错题 一、填空题 1. A=2 x 3X a, B=3X a x 7,已知A与B的最大公约数是15,那么 a=(),A与B的最小公倍数是()。 2. 有一个放大镜,在这个放大镜下,一条线段其长度是原来的3倍,在这个放大镜下,正方形面积是原来的()倍,正方体的体积是原来的()倍。 3. 小红1/5小时行3/8千米,她每小时行()千米,行1千米用()小时。 4. 一台榨油机6小时榨油300千克。照这样计算,1小时榨油 ()千克,榨1千克油需()小时。 5. 把3米长的绳子平均分成4段,每段长()米,每段占3米的()。 6. 一个长方体的长、宽、高的比是3:2: 1,已知长方体的棱长 总和是144厘米,它的体积是()立方厘米。 7. 甲数是乙数的60%甲数比乙数少()%乙数比甲数多() 8. 甲班人数比乙班多1/4,则乙班人数比甲班少()。9.水结成冰后,体积比原来增加1/11,冰化成水后,体积减少()。 10. 一项工程投资20万元,比计划节约5万元。节约() %。 11. 男生人数的3/4与女生人数的4/5 一样多,男女生人数的比是 。 12. 一个长方形的周长36分米,宽是长的4/5,长方形的面积是 平方分米。 13. 在一个减法算式里,被减数、减数与差的和是180,减数与差的比是4: 5,被减数是(),差是()。 14. 一本书若定价每本10元,获得的纯利润是25%如果想使获得的纯利润是40%则每本书应定价()元。 15. 一个两位数,十位上的数字是m个位上的数字是n,用含有 字母的式子表示是()。 16. —个两位小数,它的近似值是4.0,这个数最大是(), 最小是()。 二、判断题 1. 大于90°的角都是钝角。() 2. 只要能被2除尽的数就是偶数。() 3.12/15不能化成有限小数。( 4. 能被3整除的数一定能被9整除。 5. 两个锐角之和一定是钝角。( 6. 在比例中,如果两个内项互为倒数, () 7. x+y=ky (k 一定)则x、y不成比例。( 8. 正方形、长方形、平行四边形、圆都是轴对称图形。( ) 9. 比例尺就是前项是1的比。() 10.1千克的金属比1千克的棉花重。( 11.1/100和1%TE是分母为100的分数,它们表示的意义相同。 () 12. 圆锥的体积比圆柱体积小2/3。( ) () ) 那么两个外项也互为倒数18. 比例尺大的,实际距离也大。( 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 小学六年级数学易错题(选择题)_题型归纳 二、选择题: 1、自然数a除以自然数b,商是10,那么a和b的最大公约数是( )。 A、a B、b C、10 2、一个三角形,经过它的一个顶点画一条线段把它分成两个三角形,其中一个三角形的内角和是( )。 A、180 B、90 C、不确定 3、从甲地开往乙地,客车要10小时,货车要15小时,客车与货车的速度比是( )。 A、2:3 B、3:2 C、2:5 4、用3根都是12分米长的铁丝围成长方形、正方形和圆形,则围成的( )面积最大。 A、长方形 B、正方形 C、圆形 5、在除法算式mn=ab中,(n0),下面式子正确的是( )。 A、a>n B、n>a C、n>b 6、过平行四边形的一个顶点向对边可以作( )条高。 A、1 B、2 C、无数 7、用三根同样长的铅丝分别围成圆、正方形和长方形,( )的面积最小。 A、圆 B、正方形 C、长方形 8、甲数与乙数的比值为0.4,乙数与甲数的比值为( ) A.0.4 B.2.5 C. 2/5 9、加工一批零件,经检验有100个合格,不合格的有25个,这批零件的合格率是( ) A、75% B、80% C、100% 10、小数点右边第三位的计数单位是( ) A、百分位 B、千分位 C、0.01 D、0.001 11、等底等高的圆柱体比圆锥体体积( ) A、大 B、大2倍 C、小 12、如果4X=3Y,那么X与Y( ) A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 13、0.70.3如果商是2那么余数是( ) A、1 B、0.1 C、0.01 D、10 14、做一批零件,如果每人的工效一定,那么工人的人数和用的时间( ) A。成正比例B。成反比例C。不成比例 15、两根同样长的绳子,一根剪去3/7,另一根剪去3/7米,第( )根剪去的长一些。 A、第一根长 B、第二根长 C、一样长 D、无法判断 16、一根绳子,剪成两段,第一段长3/7米,第二段占全长的3/7,第( )段长一些。 A、第一段长 B、第二段长 C、一样长 D、无法判断六年级数学总复习易错题整理
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历年中考数学易错题汇编-旋转练习题及答案
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